普通物理学(第六版)上册第三章第一节课件.pdf

一一 碰撞及其分类碰撞及其分类 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 碰撞后粘在一起 不再分开 碰撞后粘在一起 不再分开 以相同以相同的速度的速度运动 机械能损失最大 运动 机械能损失最大 完全完全 弹性碰撞弹性碰撞 碰撞后形变消失 无碰撞后形变消失 无 机械能损失 机械能损失 守恒量 动量 守恒量 动量 守恒量 动量 机械能守恒量 动量 机械能 复复 习习 三三 角动量定理角动量定理 o o dL MrF dt 二二 角动量角动量 LrPrmv 若若 则则CL t L M 0 d d 0 若对某一参考点 质点所受外力矩的矢量和恒为零 则若对某一参考点 质点所受外力矩的矢量和恒为零 则 质点对该点的角动量保持不变 质点对该点的角动量保持不变 质点质点的角动量守恒定律 的角动量守恒定律 例如 地球卫星绕地球转动 相对地球的角动量守恒 例如 地球卫星绕地球转动 相对地球的角动量守恒 讨论 讨论 1 1 孤立体 孤立体 0 外i f 0 外i M 2 2 有心力 有心力 与与位矢位矢 在在同一直线上同一直线上 从而 从而 外 f r 0 外 fr 3 3 当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时 当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时 则则质点的角动量沿此方向的分量守恒 质点的角动量沿此方向的分量守恒 则则例 若例 若CLM xx 0 例例2 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动 其其 半径为半径为r0 角速度为角速度为 现通过圆心处的小孔缓慢地现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳往下拉绳使使 半径逐渐减小半径逐渐减小 求当半径缩为求当半径缩为r 时小球的时小球的角速度及外力的功角速度及外力的功 0 F F r v 解 选取平面上绳穿过的小孔解 选取平面上绳穿过的小孔O O为原点 为原点 oFrM 所以小球对所以小球对O O 点的角动量点的角动量守恒 即守恒 即 00r mvmvr 000 rvrv 0 2 0 2 mrmr 2 0 0 2 r r 因为绳对小球的的因为绳对小球的的拉力沿拉力沿绳绳指向指向小孔小孔 则则力对力对O O 点的力矩 点的力矩 动能定理 动能定理 2 2 2 22 0 0000 2 1111 2222 r Amvmvm rm r r 2 22 0 00 2 1 1 2 r mr r 力学力学中三个中三个守恒定律守恒定律 状态量状态量 外界外界 作用量作用量 基本基本 原理原理 守恒守恒 定律定律 动量动量 角动量角动量 能量能量 冲量冲量 角冲量角冲量 功功 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 功能原理功能原理 PtF dd LtM dd EAA 内非保外 0 F CP 0 M CL 0 内非保外 AA 守恒守恒 条件条件 要特别注意守恒要特别注意守恒条件 条件 tF d tM d rF d CE 前两章我们讨论了质点和质点系的力学规律前两章我们讨论了质点和质点系的力学规律 但是对于机械运动的研究但是对于机械运动的研究 只局限于质点的情况是只局限于质点的情况是 不够的不够的 质点的运动事实上只代表物体的平动质点的运动事实上只代表物体的平动 实实 际物体的运动是很复杂的际物体的运动是很复杂的 既可作既可作平动平动 也可作也可作转转 动动或者或者两者的复合运动两者的复合运动 甚或甚或运动物体的形状运动物体的形状也要也要 发生变化发生变化 第三章第三章 刚体和流体的运动刚体和流体的运动 受力时形状和大小完全不变的的物体为受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体刚体 刚体是一种理想模型刚体是一种理想模型 刚体上的任两点间的距离始终刚体上的任两点间的距离始终 保持不变保持不变 一 刚体一 刚体 1 1 平动平动 刚体刚体上上任意任意两点的连两点的连线在线在运动中保运动中保 持平行持平行 这种这种运动称为刚体的平动运动称为刚体的平动 特征特征 各个各个质点的位移质点的位移 速度速度 加速度相等加速度相等 例 黑板擦例 黑板擦 电梯电梯 活塞的运动活塞的运动 3 3 1 1刚体模型及其运动刚体模型及其运动 二 刚体的平动与转动二 刚体的平动与转动 注意 注意 刚体平动时 运动轨迹不一定刚体平动时 运动轨迹不一定是直线是直线 2 2 转动转动 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动刚体上的各点绕同一直线做圆周运动 所以 刚体定轴转动用角量描述比较方便 所以 刚体定轴转动用角量描述比较方便 1 1 刚体各点的轨迹分别是过该点垂直于转轴的平面刚体各点的轨迹分别是过该点垂直于转轴的平面 内的圆内的圆 圆心是平面与转轴的交点圆心是平面与转轴的交点 半径是该半径是该点到转点到转 轴的距离轴的距离 S P P r O x y 3 3 定轴转动 定轴转动 转轴相对参考系固定不动的转动 转轴相对参考系固定不动的转动 特征 特征 3 3 各各点的线位移点的线位移 线速度线速度 线线 加速度不同加速度不同 2 2 各点的角位移各点的角位移 角速度角速度 角角 加速度相同加速度相同 复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加 复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加 三 自由度三 自由度 确定确定一个物体在空间的位置所需的一个物体在空间的位置所需的独立独立坐标的数坐标的数 目目 它反映了运动的自由程度它反映了运动的自由程度 火车火车 被限制在轨道上运动被限制在轨道上运动 自由度为自由度为1 1 飞机 飞机 在空中飞行 自由度为在空中飞行 自由度为3 3 轮船轮船 在水平面在水平面上运动上运动 自由度为自由度为2 2 运动刚体运动刚体 随质心的平动随质心的平动 绕过质心轴的绕过质心轴的转动转动 自由刚体有自由刚体有6 6个自由度 个自由度 确定质心位置确定质心位置 3个平动自由个平动自由 度度 x y z 确定确定过质心轴过质心轴位置位置 2个个转动转动 自由度自由度 确定确定定轴转动角定轴转动角位置位置 1个转个转 动自由度动自由度 z o A A r F 1 1 作用于刚体的力对空间某点作用于刚体的力对空间某点A A的的力矩力矩 FrM AA 一 作用于刚体的力矩一 作用于刚体的力矩 3 3 2 2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律 2 2 作用 作用于刚体的力对转轴的于刚体的力对转轴的力矩力矩 FrM Z 1 1 力在转动平面内 力在转动平面内 sinrFM Z 大小 有两个方向 有两个方向 Mz有有正负 正负 z M z o r F t F n F z M 2 2 力不在转动平面内 力不在转动平面内 面面 FrM Z z o r F z F 面 F 平行于转轴 对转轴 平行于转轴 对转轴产生的产生的力矩为零力矩为零 z F 合合力矩的大小等于各力对转轴力矩的大小等于各力对转轴 的力矩的代数和的力矩的代数和 3 3 当有当有n n 个力作用于刚体 则个力作用于刚体 则 nzzzz MMMM 21 1 2 3 O z 1 F 2 F 3 F 1 r 3 r 2 r 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩 与转轴平行的力对转轴不产生力矩与转轴平行的力对转轴不产生力矩 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩 在定轴动问题中在定轴动问题中 如不加说明如不加说明 所指的力矩是所指的力矩是 指力指力在在转动转动平面内的分力平面内的分力对转轴的力矩对转轴的力矩 4 4 刚体中刚体中内力对给定转轴的力矩的矢量和等于零内力对给定转轴的力矩的矢量和等于零 只需考虑外力矩的作用只需考虑外力矩的作用 结论 结论 O 1 r 2 r 12 f 21 f 1 2 z d 1 2 二二 角速度矢量 角速度矢量 1 1 角速度矢量角速度矢量 在定轴转动中在定轴转动中 角速度的方向沿转轴方向角速度的方向沿转轴方向 计计 算中可用正负表示角速度的方向算中可用正负表示角速度的方向 2 2 线速度线速度和角速度的矢量和角速度的矢量关系关系 方向 与刚体转动方向呈方向 与刚体转动方向呈右手螺旋关系右手螺旋关系 d d t 例题例题1一半径为一半径为R 0 1m 的砂轮作定轴转动的砂轮作定轴转动 其角位置随时其角位置随时 间间t 的变化关系为的变化关系为 2 4 t 3 rad 式中式中 t 以以秒秒计计 试求试求 1 在在 t 2s 时时 砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小度的大小 2 当角当角 为多大时为多大时 该质点的加速度与半径成该质点的加速度与半径成 45 o 解解 1 m s 8 4481 0 2 Raat 2 12 d d t t t t a24 d d 222 m s42304810 Ran 2 tt4 24 14 4 42 4 14tRan tRaat4 2 145tg nt aa s550 t 舍去舍去t 0 和和 t 0 55 此时砂轮的角度 此时砂轮的角度 rad 67 255 042 42 33 t o 例题例题2 一细棒绕一细棒绕O 点自由转动点自由转动 并知并知 L 为棒为棒 长长 求求 1 棒自水平静止开始运动棒自水平静止开始运动 3 时时 角速角速 度度 2 此时端点此时端点A 和中点和中点B 的线速度为多大的线速度为多大 cos 2 3 d d L g t a dcos 2 3 d L g 解解 1 棒做变加速运动 棒做变加速运动 0 3 0 dcos 2 3 d L g g LL g 2 33 3 sin 3 2 L g 2 33 得 得 由由rv 2 2 33gL LvA 8 33 2 gLL vB d d d d d d t a cos 2 3 L g a A B O 三 三 定轴转动定律定轴转动定律 由牛顿运动由牛顿运动定律 定律 iiii amfF ai为为质元质元P P的加速度的加速度 iiitiiiii rmamfF sinsin 2 coscos iiiniiiii rmamfF 切向 切向 法法向 向 外力矩外力矩 内力矩内力矩 iiiiii rmfF sinsin 法向力作用线穿过转轴 力矩为零 法向力作用线穿过转轴 力矩为零 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF M rF 对对所有质量元求和所有质量元求和 角加速度 角加速度a均相同均相同 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 切向力力矩 切向力力矩 合外力矩合外力矩 合内力矩合内力矩 内力内力中任一对作用力和反作用力中任一对作用力和反作用力 的力矩为的力矩为零零 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 0sin iiir f iiiz rFM sin 2 iir mJ z MJ 合外力对转轴合外力对转轴OZOZ力矩的代数和力矩的代数和 讨论 讨论 4 4 J和和转轴转轴有关有关 同同一个物体对不同转轴的一个物体对不同转轴的转动惯量转动惯量不同不同 3 J和和质量分布质量分布有关有关 2 Mz的符号的符号 使使刚体向规定的转动正方向刚体向规定的转动正方向加速的加速的力矩为力矩为正正 z d M J J dt 定轴转动定律定轴转动定律 2 iir mJ 1 J是是刚体对给定轴的刚体对给定轴的转动惯量 转动惯量 是是 转动惯性大小的转动惯性大小的量度 量度 2 iir mJ 2 2 转动惯量的 转动惯量的计算计算 i iir mJ 2 若若质量离散分布质量离散分布 质点 质点系 质点 质点系 1 1 定义 刚体对定义 刚体对转轴的转轴的转动惯量转动惯量 四四 转动惯量转动惯量 描述刚体转动惯性大小的物理量 描述刚体转动惯性大小的物理量 SI单位 单位 kg m 2 2d V Jrm mrJd 2 若若质量连续分布 质量连续分布 lmdd smdd 其中 其中 Vmdd 例题例题1 求质量为求质量为m 半径为半径为R 的均匀圆环的对中心轴的均匀圆环的对中心轴 的转动惯量的转动惯量 解解 设线密度为设线密度为 R lRmRJ 2 0 22 dd lmdd 22 2mRRR oR md 例题例题2 求质量为求质量为m 半径为半径为R的的均匀薄均匀薄圆盘对中心轴圆盘对中心轴 的转动惯量的转动惯量 取半径为取半径为 r 宽为宽为d r 的薄圆环的薄圆环 rrsmd2dd R 22 0 J r dm r2 rdr R o 解解 设面密度为设面密度为 24 2 1 2 1 mRR r rd 例题例题3 求长为求长为L 质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转的均匀细棒对图中不同轴的转 动惯量动惯量 解解 1 取取A 点为坐标原点点为坐标原点 在在距距 A 点为点为x 处处取取dm dx 12 dd 2 2 2 22 mL xxmxJ L LC 3 d 2 0 2 mL xxJ L A A L B x AC 2L md 2L x xB 2 取取C 点为坐标原点点为坐标原点 在在距距C 点为点为x 处取处取dm 2 2 同一刚体对不同转轴的转动惯量同一刚体对不同转轴的转动惯量不同不同 凡凡提到提到转动惯量转动惯量 必须必须指明它是对哪个轴的指明它是对哪个轴的 1 1 刚体的转动惯量是由刚体的转动惯量是由刚体的刚体的总总质量质量 质量分布质量分布 转轴转轴的位置的位置三个因素共同决定三个因素共同决定 x md xxmxJddd 22 说明说明 3 3 平行轴定理 平行轴定理 若有任一轴与过若有任一轴与过质心质心的轴平行的轴平行 且两轴相距为且两轴相距为d 刚体对该轴刚体对该轴的转动惯量的转动惯量为为J 则有 则有 说明 说明 两轴平行 两轴平行 J JC C 为刚体绕质心轴的为刚体绕质心轴的转动惯量转动惯量 d d 为两平行轴间距离 为两平行轴间距离 22 2 1 mdmRJo 2 mdJJ C 例例 均匀圆盘对均匀圆盘对O O 轴的转动惯量 轴的转动惯量 2 2 1 mRJC o C d 4 4 正交轴定理 正交轴定理 Jz Jx Jy yx z JJdmydmx dmyxdmrJ 22 222 z o x y 对于均匀对于均匀圆盘圆盘 2 4 1 2 1 mRJJJ zyx 定轴转动定律的应用定轴转动定律的应用 1 1 转动定律适用条件 刚体定轴转动 固定轴为惯 转动定律适用条件 刚体定轴转动 固定轴为惯 性系 性系 2 2 M 一定 作用不同刚体上一定 作用不同刚体上 J 大时大时 转动惯性转动惯性大大 转速不宜改变转速不宜改变 反之反之 J 小小 转动惯性小转动惯性小 转动惯量转动惯量是物体转动惯性大小的量度是物体转动惯性大小的量度 Fma 类比类比 JaM 3 3 刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律 应用时应注意以下问题 应用时应注意以下问题 当系统中既有转动物体当系统中既有转动物体 又有平动物体时又有平动物体时 用用隔离隔离 法法解题解题 对对转动物体应用转动定律建立转动物体应用转动定律建立方程方程 对对平动平动 物体则用牛顿第二定律建立方程物体则用牛顿第二定律建立方程 力矩和转动惯量必须对力矩和转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言而言 选定选定转轴的正方向转轴的正方向 以确定力矩或角加速度以确定力矩或角加速度 角速角速 度度的正负的正负 刚体力学常见的问题 刚体力学常见的问题 2 m m 1 m 基本解题步骤 基本解题步骤 1 1 隔离法分析研究对象 隔离法分析研究对象 2 2 正确受力分析 正确受力分析 3 3 建立坐标系建立坐标系 确定各物体运动的正方向 确定各物体运动的正方向 4 4 分别根据牛顿第二定律分别根据牛顿第二定律 刚体定轴转动刚体定轴转动 定律列出质点和刚体的运动方程 定律列出质点和刚体的运动方程 5 5 写出关联方程 写出关联方程 6 6 求解方程组求解方程组 例题例题1 质量为质量为m 1 半径为半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动的定滑轮可绕轴自由转动 一质量为一质量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上 求 求 物体物体m 2 的下落加速度的下落加速度a 和和 滑轮转动的滑轮转动的角加速度角加速度a T RJa 22 m gTm a a gm 2 T 解解 m2作平动作平动 取向下为平动的正方向取向下为平动的正方向 分分 析受力析受力 m1作逆时针定轴转动作逆时针定轴转动 取滑轮转动取滑轮转动 方向为转动的正方向方向为转动的正方向 分析力矩分析力矩 R 1 m T 2 m R 1 m 对对m1 由转动定律 由转动定律 对对m2 由牛顿运动定律 由牛顿运动定律 关联方程 关联方程 Ra a a 2 1 2 1 RmJ TT 2 12 2 2 m g a R mm 2 12 2 2 m g mm a a联合解得 联合解得 例题例题2 一刚体由长为一刚体由长为 l 质量为质量为m 的均匀细杆和质量为的均匀细杆和质量为m 的的小球小球 组成组成 且可绕且可绕O 轴在竖直平面内转动轴在竖直平面内转动 且轴且轴处无摩擦处无摩擦 求求 1 刚体绕轴刚体绕轴O 的转动惯量的转动惯量 2 若杆自水平静止开始若杆自水平静止开始运动运动杆与竖直杆与竖直 方向成方向成 角时角时 小球的角速度和小球的角速度和 法向加速度法向加速度 222 3 4 3 1 mlmlmlJ 2 取取逆时针转动为正方向逆时针转动为正方向 杆与杆与竖竖 直方向直方向成成 角角时时 合外力矩合外力矩 3 sin 2 MMMmgl 球杆 解解 1 2 3 1 mlJ 杆杆 2 mlJ 球球 sinMmgl 球 sin 2 l Mmg 杆 O m lm gm gm dddd dddd a tt 又 9sind 8d g l 分离变量积分得分离变量积分得 0 2 9sin dd 8 g l 3cos 2 g l 小球的小球的法向加速度 法向加速度 cos 4 9 2 glan 9 sin 8 Mg a Jl 得 由转动定律由转动定律 MJa O m lm 例题例题3 一轻绳跨过一定滑轮一轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘滑轮视为圆盘 绳的两端分绳的两端分 别悬有质量为别悬有质量为m 1 和和m 2 的物体的物体 m1 m2 设滑轮的质量设滑轮的质量 为为m 半径为半径为r 忽略摩擦忽略摩擦 绳与滑轮之间无相对滑动绳与滑轮之间无相对滑动 求求 物体的加速度和绳的张力物体的加速度和绳的张力 解解 m 1 m 2作平动作平动 由于由于m 1 m 2 则则m 1 向下加速运动向下加速运动 m 2 向上加速运动向上加速运动 取竖直向下取竖直向下 为平动的正方向为平动的正方向 m作逆时针定轴转动作逆时针定轴转动 取转取转 动方向为转动的正方向动方向为转动的正方向 对对m 1 m 2 分析受力分析受力 由 由牛顿第二定律 牛顿第二定律 1 m 1 T gm 1 1 a 2 m gm 2 2 T 2 a 11111 mm gTm 对a 22222 mTm gm 对a 2 m m 1 m 联立解得 联立解得 12 12 12 2 2 mm g mmm aa 2 4 21 12 1 mmm gmmm T 2 4 21 21 2 mmm gmmm T 关联方程 关联方程 12 ra aa 2211 TTTT 对滑轮分析力矩 由转动定律 对滑轮分析力矩 由转动定律 2 12 1 2 T rT rJamr a m 2 T 1 T a 2 m 1 m r M N T f gm 2 解解 选取斜面为参考系选取斜面为参考系 滑轮作定滑轮作定 轴转动轴转动 规定规定转动方向为转动正方转动方向为转动正方 向向 重物 重物作平动作平动 规定规定沿斜面向上沿斜面向上 为平动的正方向为平动的正方向 隔离物体分析受隔离物体分析受 力力 对重物应用对重物应用牛顿第二定律 得牛顿第二定律 得 22 sinTfm gm a 对滑轮应用转动定律 得对滑轮应用转动定律 得 MT rJa T o 例题例题4 一恒力矩一恒力矩 M 作用于斜面顶点的滑轮上作用于斜面顶点的滑轮上 滑轮的半径为滑轮的半径为 r 质量为质量为m1 质量为质量为m2 的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的 边缘边缘 重物沿倾角为重物沿倾角为 的斜面上升的斜面上升 重物与斜面间的摩擦系数重物与斜面间的摩擦系数 为为 求 轮子由静止开始转过角求 轮子由静止开始转过角 后获得多大的角速度后获得多大的角速度 22 22 12 sincos 1 2 Mm grm g a m rm r 联立得 联立得 2 2a 由于由于 为为常量 故滑轮作匀变速转动 则常量 故滑轮作匀变速转动 则 a 22 22 12 4 sincos 2 2 Mm grm g a mrm r 关联方程为 关联方程为 TT ra a 2 1 2 1 rmJ cos 2g mNf 例例5 如图所示如图所示m1 m2 M1 M2 R1 R2已知已知 且且m1 m2 试由牛试由牛 顿定律和转动定律写出系统的运动方程顿定律和转动定律写出系统的运动方程 求出求出m2的加速度和张力的加速度和张力 T1 T2 T3 解 解 m1 m2作平动作平动 由于由于 m1 m2 故故m2作加速度大小作加速度大小 为为a的向上加速运动 的向上加速运动 m1作加作加 速度大小也为速度大小也为a的向下加速运动 的向下加速运动 规定向下方向为平动正方向规定向下方向为平动正方向 M1 M2作顺时针的定轴转动 作顺时针的定轴转动 规定转动方向为正方向 规定转动方向为正方向 1 m 2 m 1 T 2 T 3 T 1 M 2 M 1 R 2 R m2g m1g 滑滑轮与绳不打滑 则滑轮与绳的加速度为 轮与绳不打滑 则滑轮与绳的加速度为 aa 12 12 RR aaaa 1111 mm gTm 对a 2222 m Tm gm 对a 11311 1 MTT RJ a 对 232222 MTT RJ a 对 1 m 2 m 1 T 2 T 3 T 1 M 2 M 1 R 2 R m2g