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分式函数值域问题分类导析江苏省苏州市第一中学盛淳215006求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法首先我们给出分式函数的定义：形如的函数叫做分式函数，其中、是既约整式且的次数不低于一次下面就、的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论1. 一次分式函数、的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如的函数一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成，由于，则，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域例1 求函数，的值域解：改写成，因为，所以，解得，即原函数的值域是二次分式函数、至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如的函数若A=，则可采用根的判别式法求值域例求函数的值域解：化为关于x的方程若，则方程无解，即因为，所以，解得，即原函数的值域是（）若A，则再分类讨论2.1形如，且的函数先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数的值域例求函数的值域解：令，则，所以函数的值域是2.2形如，且 (*)或，且的分式函数下面就形式(*)讨论解法2.2.1若，则分子分母同除以，得只要讨论函数且的值域不妨设若，则函数在和上分别是增函数；若，则函数在和上分别是减函数，在和上分别是增函数这样利用函数的单调性，先求出的值域，从而求出函数的值域例求函数的值域解：令，则，所以函数的值域是2.2.2若，则换元，令，转化为.1形式的分式函数例求函数的值域解：令，则因为，所以函数的值域是2.3形如且的分式函数2.3.1若或，则分子分母同除以，转化为求关于的二次函数的值域，从而求出函数的值域例求函数的值域解：因为函数的值域是，所以函数的值域是2.3.2若分子分母有一个是完全平方式，不妨设且，则可令，转化为2.3.1形式的分式函数例求函数的值域解：令，则因为，所以函数的值域是2.3.3若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即，转化为2.2形式的分式函数例求函数的值域解：，所以函数的值域是3分式函数值域在解析几何中的运用yQPOx。A解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方法，那么对于解决此类问题就易如反掌了下面举例说明例已知直线：与点，在上求一点，使直线与直线，以及轴在第一象限内围成的三角形面积最小解：设，直线的方程是，直线交轴于点根据题意，所以，当时，的最小值为40，此题的解法是将的面积S表示为Q的横坐标的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值yABF1F2xO例10设F1、F2是椭圆的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置解：设AB弦所在的直线方程是，则由方程组，消去y，得，则，令，当t
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