高考数学创新型试题的几种类型.pdf

熬掌熬 重主 查 A L4T I I S TEACZ I r I N t 7AND LEARNI NG I N 昼l lSCH OOL 考试研究 高考数学翻新型试题的几种类型 赵思林 作者简介 赵思林 四川内江师范学院数学系 6 4 1 1 1 2 原文出处 中学数学研究 广州 2 0 0 9 1 1 0 1 3 高校要选拔具有创新潜质的人才 高考数学必 须重视对学生创新意识的考查 考生 的创新意识表 现为 对新颖的信息 情境的设问 能选择有效的方 法和手段分析 处理信息 综合与灵活地应用所学的 数学知识 思想和方法 进行独立的思考 探索和研 究 提出解决问题的思路 并创造性地解决问题 考 生对数学问题的观察 探究 猜测 抽象 概括 证明 是发现问题和解决问题的重要途径 对数学知识 的 迁移 组合 融合的程度越高 显示出考生的创新意 识越强 从近几年的考题来看 创新型试题已成为全 国各个高考命题组追求的理想 目标之一 高考数学 创新型试题是指从测量考生的发展性学力和创造性 学力着手突出能力考查的试题 近几年来 在全国 及各省市的各套高考数学试卷中出现了一些创新型 试题 这些试题 主要类型有直觉思维型 学习迁移 型 课改导向型 动手操作型 实际应用型 问题探究 型 结论 条件 开放型 认知评价型等 本文拟对高 考数学创新型试题的类型做一些分析 一 直 觉思维型 直觉思维是指个体 以已有的知识经验为基础 无须逻辑推理 对突然出现的新问题和新现象 能迅 速理解并作出判断的思维方式 直觉思维可以帮助 学生洞察数学本质 猜想数学结论 发现数学规律 等 直觉思维是快速解答一些高考数学试题的利器 鉴于直觉思维的重要作用 在高考数学命题中 很 自 然地要考查学生的直觉思维 直觉思维型的试题主 要有整体观察型 直觉判断型 类 比联想型 归纳猜 想型 极限洞察型等 例 1 2 0 O 7年江西卷理8 四位好朋友在一次 聚会上 他们按照各 自的爱好选择了形状不同 内空 高度相等 杯口半径相等的圆口酒杯 如图所示 盛 满酒后他们约定 先各 自饮杯 中酒的一半 设剩余酒 3 8 的高度从左到右依次为 h h h h 则它们的大小 关系正确的是 A h 2 h I h 4 B h 1 h 2 h 3 C h 3 h 2 h a D h 2 h 4 h 1 点评 本题背景鲜活 颇有生活气息 命题者大 胆将四种旋转体汇集在一起 与 日常生活中的酒杯 形状联系起来 巧妙设问 主要考查几何体的体积与 高度的关系 考查空间想象能力及直觉思维能力 通 过整体观察 不需具体计算 进行直觉思维 对问题 作出迅速 准确的直觉判别 因为各酒杯杯 口半径相 等 即上底面积相等 内空高度相等 且饮去上部一 半 故下部越细 剩余酒高度越高 所以有 h h 故应选 A 二 学习迁移型 解答学习迁移型试题 需要考生具有 自主学习 和迁移的能力 学习能力是指学生阅读并理解数学 新知识的能力 这里的新知识可以是新的概念 新的 定理 新的方法 新的公式 新的规则等 学习能力包 括会搜集 提炼 加工信息 对阅读 的内容进行概括 和理解 看清问题的本质 然后运用新的知识通过分 析 演算 归纳 猜想 类比或论证等方法解决一些新 的数学问题 例 2 2 o o 8 年福建卷理 1 6 设 P是一个数集 且至少含有两个数 若对任意 a b P 都有 b n b a b 旱 P 除数b 0 则称P 是一 个数域 例 O 如有理数集 Q是数域 数集 F 口 b l 8 6 EQ 也是数域 有下列命题 整数集是数域 若有理 澡 中 数学熬与学 赢堂碧杰 M A t s T EACI T I NG AND LEARNl 6 l N H 口l 王 sCH ooL 数集 Q 则数集 M必 为数域 数域必为无限 集 存在无穷多个数域 其 中正确的命题的序号是 一 把你认为正确的命题的序号填上 L 1 分析 对于整数集z 0 1 b 2时 擘Z 口 二 故 错 对于满足 Q M 的集合 M Qn 1 隹 M 不是数域 错 若 P是数域 则存在 o P 且 0 0 依定义 2 口 3 0 4 口 均是 P中元素 故 P 中有无数多个元素 正确 类似的数集 G n b x I n 6 Q 为无理数 也是数域 正确 故选 点评 本题设计独特 情境新颖 具有很强的抽 象性和发散性 从试题的背景来看 此题以近世代数 中 群 环 域 的知识为背景 试题展示给学生的是 一 个全新的问题 体现 了自主学习和主动探究精神 呈现出研究性学习的特点 从试题的立意来看 本题 是一道能有效考查学生阅读理解能力 抽象与具体 转化能力 构造法和反例思想方法的创新型试题 从 试题的解答来看 直接以 数域 的定义为背景的试 题在各种复习资料和模拟试题中从未见过 解决这 个问题没有现成的套路和招式 需要学生阅读理解 数域 的定义 综合运用多种数学思想方法 分别 检查所给答案是否 同时满足 数域 定义 的四个条 件 满足需证明 不满足需举反例 才能解决问题 这类以高等数学知识为背景的问题 能有效考查 了 学生进一步学习的潜质 已成为高考试题的一大亮 点和热点 值得注意 三 课改导 向型 近年来 一 些高 考创新 型试题 充分 体 现 了 2 0 0 3 年4月教育部颁布的 普通高中数学课程标准 实验 以下简称 标准 的精神 高中数学课程 基本理念之一就是倡导积极主动 勇于探索 的学 习 方式 并且指出 高中数学课程设立 数学探究 数 学建模 等学习活动 为学生形成积极主动的 多样 的学习方式进一步创造有利的条件 近两年以新课 程改革为背景的好题很多 如 2 0 0 7年四川卷理科第 2 2题 考查了数学探究 江西卷理科第 8题 以考生 熟悉的生活中用的酒杯考查了空间想象能力 直觉 思维能力 湖南卷理科第 1 5题 将杨辉三角中的奇 数换成 l 偶数换成 0作为素材 考查 了学生的归纳 猜想能力 北京卷理科第 1 5 题 以2 0 0 2 年国际数学 家大会会标作为载体 考查了勾股定理 三角 函数定 义 二倍角公式 识图能力 对称思想 上海卷理科第 2 1 题 以定义新的 果圆 概念 考查椭圆基础知识 两点间的距离 二次函数的最值求法 还考查 了运算 能力和分析问题解决问题的能力 安徽卷理科第 2 0 题 以医学生物学的试验作为试题题材考查概率的 有关知识 又如 2 0 0 8年全国卷 I理科的第 1 0题涉 及选修 4 5 不等式选讲 中的柯西不等式的背景 全国卷 理科的第 1 6题涉及选修 1 2 推理与证 明 中的类比推理 北京卷理科第 1 4题涉及选修 3 2 信息安全 与密码 的数论 函数 高斯 函数 选 修4 3 数列与差分 的差分方程组 重庆卷理科 的 第2 2 题和湖北卷理科的第 l 5 题都有选修 l 一 2 推 理与证明 中的归纳推理 猜想 的背景 湖南卷理 科的第 1 O题涉及 新定义 的 自主 学习与主动探 究 江西卷理科的第 1 6题也涉及主动探究 陕西卷 理科的第 1 2题涉及选修 3 2的信息安全与密码 等等 这些试题的背景新颖 视角独特 体现了新课 程理念 它们对高中数学教师认真学习和研究 标 准 以及实施高中数学课程改革具有 良好的导向作 用 当然 课改实验区的试卷如广东卷 江苏卷等更 加充分地体现了新课程改革的精神 值得认真研究 四 动手操作型 实践出真知 操作促创新 学生的动手操作 实 验观察能力对数学 的学习 理解和探究是非常重要 的 因此 高考对学生动手操作能力时有考查 例 3 2 0 0 2年全国卷文2 2 1 给出两块面积 相同的正三角形纸片 如图1 图2 要求用其中一块 剪拼成一个正三棱锥模型 另一块剪拼成一个正三 棱柱模型 使它们的全面积都与原三角形 的面积相 等 请设计一种剪拼方法 分别用虚线标示在 图 I 图 2中 并作简要说明 图1 田2 圈3 2 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体 积的大小 3 本小题为附加题 如果解答正确加 4分 但全卷总分不超过 1 5 0分 如果给出的是一块任意三 角形 的纸片 如 图 3 要求剪拼成一个直三棱柱模型 使它的全面积与 给出的三角形的面积相等 请设计一种剪拼方法 用 虚线标示在图 3中 并作简要说明 解 1 如图4 下页 沿正三角形三边 中点连 线折起 可拼得一个正三棱锥 如图 5 下页 正三 角形三个角上剪出三个相 同的四边形 其较长的一 3 9 中学熬 熬 离 蘸冬 一 一 霸 JZ C日刃V 三E t 詹 砸V 疗 t l l OR c 搿翻 组邻边边长为三角形边长的 有一组对角为直 角 余下部分按虚线折起 可成为一个缺上底的正三 棱柱 而剪出的三个相同的四边形恰好形成这个正 三棱柱的上底 2 解答从略 3 附加题 如图6 分别连接三角形的内心与 各顶点 得到三条线段 再以这三条线段的中点为顶 点作三角形 以新作的三角形为直三棱柱的底面 过 新三角形的三个顶点向原三角形作垂线 沿六条垂 线剪下三个四边形 可以拼接成直三棱柱的上底 余 下部分按虚线折起 成为一个缺上底的直三棱柱 即 可得到直三棱柱模型 圈4 图5 点评 对本题 1 3 而言 如果从考查的知识 点来进行分类 则很难说它具体地考查哪个知识点 它所考查的是学生的动手探索能力 通过对给定三 角形的各种剪拼和折叠的操作 达到了对考生实践 能力考查的目的 本题提高了对空间想象力的能力 要求 有效地考查了考生的动手操作 能力和创新 意识 五 实际应用型 坚持数学应用 考查应用意识 是 1 9 9 4年以来 一 贯坚持的命题方针 应用题是对考生 综合实力 的考查 是考查能力与素质的良好题型 近几年应用 题的编拟更加重视语言简洁 准确 背景清新 近人 模型具体 简明 方法熟悉 简便 所涉及的都是数学 基本内容 思想和方法 摒弃繁琐的数学运算 突出 了对数学思想 方法和实践能力的考查 突出了数学 在解决实际问题中的重要作用 例 4 2 0 0 7年 广 东卷理 7 图中是某汽车维修公 司的维修点环形分布图 公 司在年初分配给 A B c D 四个维修点某种配件各 5 0 件 在使用前发现需将 A 曰 c D四个维修点的这批 配件分别调整为 4 o 4 5 5 4 6 1 件 但调整只能在相 邻维修点之间进行 那么要完成上述调整 最少的调 动件次 件配件从一个维修点调整到相邻维修点 的调动件次为n 为 A 1 5 B 1 6 C 1 7 D 1 8 4 0 点评 本题是一个优化安排的问题 需要考生综 合运用已有的知识经验 通过各种调整的操作试验 与尝试才能解决问题 此题提高了对分析问题和解 决问题的能力要求 大大增加了思维量 很好地考查 了考生的实践能力和数学应用意识 六 问题探 究型 按 牛津英语辞典 的定义 探究是 求索知识 或信息特别是求真的活动 是搜寻 研究 调查 检验 的活动 是提问和质疑的活动 按 汉语大词典 的 解释 探究是指 探索研究 即努力找寻答案 解决 问题 辞海 1 9 9 9年版 的解释是 探究是指 深 入探讨 反复研究 数学探究 作为新课标所倡导 的学习方式 在高考中已有所体现 值得研究 例 5 2 0 0 7年 四川卷理 2 2 设函数 厂 1 l 1 二 l 7 N 且 7 1 R 1 I 当 6时 求I 1 l的展开式中二项 n 式系数最大的项 对 任意 的实 数 证 明 垒 厂 是 的导函数 n I 是否存在口 N 使得5 11 E f 1 T 1 l 日 o 1 t 恒成立 若存在 试证明你的结论 并求出 的值 若不存在 请说明理由 点评 I 的点评从略 第 问考查了 数学探究意识 考查了学生思维的深刻性 探究性 创造性 第 问有较高的难度和很好的区分度 很多优秀学生也感到无从下手 这表明学生数学探 究能力需要提高 其实第 I l1 问并不很难 可采用 先赋值探索结论然后证明的方法予以解答 七 结论 条件 开放型 数学开放型问题有条件开放型问题和结论开放 型问题 条件开放型问题 即没有确定的已知条件 其特征是缺少确定的条件 即求解问题所需 的条件 或过多或不足 学生无法直接根据给出的条件来解 决问题 设计条件开放型问题的 目的是加强对学生 信息统整力的考查 信息统整力是个体立足于社会 的最基本的能力之一 现实世界纷繁复杂 信息浩瀚 且更新速度很快 而获取信息的渠道多种多样 假如 没有很强的信息统整力 个体就会被繁杂的信息所 吞没 结论开放型问题 即没有明确的结果 其特征 是结果的非唯一性 数学问题复杂多变 往往得到的 下转第4 4页 中学数掌熬 南一 黛杰 一 臻 I AT I I ST EA C I I l NGAND 三点 月l I N HI Ca f IS C HOOZ 达L 3 已知定义在 R上的函数 的图象关于点 一 3 0 对 称 且 满 足 寻 一 1 l f o 一 2 求 1 2 f 2 0 0 8 的值 解 析因 为 的 图 象 关 于 点 一 3 0 对 称 所 以 一 一 一 寻 5 L f 一 寻 J r 1 A f 为 偶 函 数 3 厂 寻 吾 一 寻 P J f DA f 是 以 3 为 周 期 的 周 期 所以 1 厂 一1 1 0 一2 3 A2 一1 1 所以 1 2 3 0 所以 1 2 2 0 0 8 2 0 0 8 1 1 4 设 g 分别是定义在 R上的奇函数和 偶函数 当 0 且 g 一3 O 求不等式 x g x O的解集 解析当 0 故 F g 在 一o o 0 内单调递增 由 g 0 F 一3 一3 g 一3 0 所以 一 3 又 g 分别是定义 在 R上的奇函数和偶 函数 所以 F g 为奇函数 所以0 3时 g 0 故原不等 式的解集为 l 一3或 0 3 上接 第 4 o页 不是唯一答案 高考命题应有意识地设计结论开放 的问题 引导学生摆脱数学是 答案唯一 的僵化思 维模式 引导学生联系自己的知识经验考虑可能出 现的多种情况 根据不同的情况 求得不同的答案 例 6 2 0 0 8全国卷 理 1 6 平面内的一个四 边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边 分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行 六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 分析i 运用类比推理 类比平行四边形 四棱柱 为平行六面体时其底面四边形应是平行四边形 因 此只要保证底面是平行四边形即可 答案 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平 行且全等 对角线交于一点 底 面是平行四边形等 答案不唯一 点评 本题主要考查 了类比推理和对平行六面 体概念的理解 应明确平行六面体的底面是平行 四 边形 本题的结论是不唯一 开放的 八 认知评价型 美国