例析初中数学“几何直观”教学的类型.pdf

学导航2 0 1 4 年4 月 例析初中数学 几何直观 教学的类型 四川省南充市嘉陵区教育科学研究室蒲大勇 义务教育数学课程标准 2 0 1 1 年版 指出 几何直 观主要是指利用图形描述和分析问题 借助几何直观可 以把复杂的数学问题变得简明 形象 有助于探索解决问 题的思路 预测结果 几何直观可以帮助学生直观地理解 数学 由此我们可以看出 几何直观是利用实物或图形 洞察问题本质的一种方式 既有形象思维的特点 又有抽 象思维的特点 心理学研究表明 初中阶段学生的思维 发展处于以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维为主的 过渡时期 所以 在初中阶段 我们要继续利用实物或图 形 具体形象 的特征 探究其本身各种量之间的关系 借 助其 具体形象 的特征来理解与图形之中蕴含的某种数 量关系相当的 运用 抽象符号 表示的 图形之外的数量 之间的运算关系 进一步启发和培养学生的抽象逻辑思 维能力 那么 初中数学 几何直观 教学有哪些类型 我 们认为 初中数学 几何直观 教学按照直观的目的可划 分为直观验证型 直观理解型 直观探索型 直观建构型 直观拓展型和直观简约型六种类型 一 直观验证型 直观验证型是通过动手操作 实验检测等方式验证 已得结论或猜想的正确性 从而在直观操作的基础上获 得数学知识的理解的一种数学教学活动 这种类型的目 的是验证已知结论的正确性和合理性 一般步骤为 已 知结论一构造图形一观察分析一得出结果 直观验证型 的特点是 直观 思维起点低 操作简单 案例1 完全平方公式 教学片断 师 通过上面的探究活动 我们知道完全平方公式 为 o 6 0 2 2 曲 6 2 你能根据公式形式 自己构造图形 表示完全平方公式吗 小组合作探究 5 分钟后 生1 边展示边说 构造如图l 所示的正方形 这个 正方形的面积为 z 6 2 而图1 中I 的面积分 霾囊暖中 7 敷 7 初中版 别为曲 6 2 矛 如 它们的面积和为 矿 2 n 6 6 j 这里用两种方式表示了 同一个图形的面积 所以它们相等 即 叶6 2 0 2 2 曲 6 j 师 很好 生1 通过构造几何图 形面积验证了完全平方和公式的正 确性 谁来说一说完全平方差公式 生2 构造如图2 所示的正方形 这个正方形的面积为 2 图2 中 的 面积为 o 一6 2 图2 中I 的面 积和为2 曲一6 2 用图2 中I 的 面积表示 的面积为0 2 2 拍 6 2 这 里也是用两种方式表示了同一个图 形的面积 所以它们相等 即 一6 z n 2 2 n 6 6 j 千 6I f 一 I 一6 评析 这个教学片断验证完全平方公式的正确性遵 循 已知结论一构造图形一分析计算一得出结果 的流 程 首先 学生按照条件自己构造图形 让 数 与 形 有 机融合 然后 以两种不同方式对同一图形面积进行计 算 最后 由计算结果相等得到公式的正确性 在这个过 程中学生经历动手操作 分析计算 直观验证了完全平 方公式的正确性 从 形 上增强了对公式的理解 渗透 了 数形结合 的思想方法 二 直观理解型 直观理解型是借助实物或图形直观 以学生理解数 学概念 定理等数学知识为目的的数学教学活动 这类 教学借助对实物或图形进行直观的操作 深刻理解数学 概念 原理等 它主要通过学生对实物或图形的 数学 化 操作来实现对数学概念 原理 事实的接受和理解 一般步骤为 产生疑惑一 数学化 操作一内化理解 直 观理解型的特点是 抽象的数学知识形象化 在形象感 万方数据 2 0 1 4 年4 月教学导 知中理解 案例2 无理数 教学片断 师 任何一个有理数都可以在数轴上找到一个点来 表示 类似地 任何一个无理数也可以用数轴上的点来 表示 学生对 任何一个无理数也可以用数轴上的点来 表示 的理解比较困难 产生了疑惑 师 以无理数叮r 为例 请看多媒体演示 如图3 用直 径为1 个单位长度的圆从原点D 沿数轴向右滚动一周 圆 上的点D 运动到D 线段D D 的长就是这个圆的周长叮T 所以点0 的坐标为订 这样 无理数订就用数轴上的点表 示出来了 Q 一0 1231 T4 图3 评析 这个教学片断通过多媒体动画演示让学生感 知了 在数轴上有且只有一个表示无理数1 T 的点 这在 抽象的 数 与直观的 形 之间建立了互相表达的关系 学生在从数到形的转化中理解了无理数与数轴上的点 的对应关系 由此内化了对 无理数可以在数轴上找到 对应点 的认识 这样能够让学生体验到数形结合思想 方法在学习数学时具有化抽象为直观 简洁易懂的作 用 必定能够激起学生对数形结合思想方法的认同 三 直观探索型 直观探索型是借助实物或图形直观 以探索未知结 论为目的的数学教学活动 这类教学教师要创造 模拟 再现问题情境 引导学生自主探究数学知识 发现数学 结论 或假设 直观探索型对学生智力的发展 创造能 力的培养 科学方法的形成都有很大的帮助 一般步骤 为 问题提出一直观探索一抽象概括一发现结论 直观 探索型的特点是 具有开放性 探索性 生成性 对学生 的数学素养 教师的引导方法要求较高 案例3 正弦 概念教学片断 师 如图4 斜坡的倾斜角为 3 0 0 当器材P 沿斜坡D 曰向上搬运5 米时 点璃地面的距离朋为多少 rJ 生l 2 5 米 图4 师 在器材P 向上搬运的过程中 在点璃地面的距 离朋 点璃起点D 的距离D 尸等量中 有哪些量发生了变 化 哪些量不发生变化呢 生2 当点P 运动时 线段D P 朋 0 日的长度都发生 了改变 生3 当点P 运动时 线段D 尸的长度发生了改变 如 果设D P 戈的话 那么线段朋 D 日都可以用含x 的代数式 表示出来 当厶4 0 B 3 0 时 朋 z o H 丢z 这说 明线段尸日 D H 的长随着0 P 的变化而变化 它们是关于戈 的一次函数 师 刚才大家找到了3 个变量 那么在这个变化的过 程中 有不变的量吗 生4 A D B 的度数不变 生5 既然心 z 那就是说线段既 与D P 的比值不 变 等于 生6 还有线段伽与D 尸自勺比值不变 等于 生7 把三条线段两两组合就可以了 生8 迫不及待地 三条线段两两组合有3 种可能 但是求比值时 还涉及分子 分母的不同 比如D 尸与D 日 组合 既可以得到线段比等 也可以得到线段比焉 U PO H 所以有6 种可能 师 很开心地 这里确实有6 对比值 现在我们不妨 先选取其中的3 对比值进行研究 先从线段朋与线段D P 的比值开始 教师板书 嚣 生9 这对线段的比值不变 如 图5 点P l P 2 都在射线D 曰上 则 0 P l 嘲 故等 筹 l 2 H 1日2A 图5 师 这对线段的比值与点P 的位置无关 那么它与什 么有关呢 生4 再次发言 可能与 厶4 D 日的度数有关 比如图6 当 A D B 6 0 时 比值变为立 Z 师 想想看 能否借助图6 来说明当角度变化时 比值也u 随之变化呢 日l 2A 图6 学生先独立思考 再讨论交流大约2 分钟 万方数据 学导航 2 0 1 4 年4 月 生1 0 如图7 假设点P 在以 点D 为圆心 D P 为半径的圆上 n I 那么比值嚣中 分母D 环变 当角度增大时 分子朋越来越 大 所以比值就越来越大了 o 生1 1 这对线段的比值随着 H lH A 图7 角度的改变而改变 它是角度的函数 师 为了表示的方便 把这对线段的比值用s i 删表 示 称之为角a 的正弦 评析 这个教学片断教师创设了一个 器材沿斜坡 运动 的问题情境 借助几何图形直观 找寻运动过程中 的变量和不变量 建立了相应线段的比值 再利用几何 图形直观地探索比值的相关量 进而发现比值随角度变 化而变化 是角度的函数 自然地形成正弦函数的概念 这样直观形象 动态生成的过程 不仅让学生体会了正 弦三角函数产生的必要性 而且理解了正弦三角函数是 一个以角为自变量的函数 使学生慢慢地理解了正弦三 角函数的意义和符号表示 四 直观建构型 直观建构型是借助实物或图形直观 以建构某个数 学知识或图式模型为目的的数学教学活动 这类教学是 在建构直观的方程模型 图式模型等的基础上 使得学 生能够进一步把握和理解更加抽象 更为深刻的思维对 象 一般步骤为 问题提出一实物演示一观察分析一建 构模型 直观建构型的特点是 具有空间性 模型性 探 索性 案例4 圆锥侧面展开图 教 学片断 师 边演示模型 边启发提问 如图8 现在老师把这圆锥的侧面沿 它的一条母线剪开 展在一个平面 上 哪位同学能发现这个展开图是 什么图形 c 生l 扇形 图8 师 再次演示模型 请同学们仔细观察 并回答 1 扇形的弧长f 与圆锥底面圆的周长是什么关系 2 扇形的半径其实是圆锥的什么线段 生2 上讲台指着模型 边说边写 扇形的弧长是底 面圆的周长 即b 2 市 扇形的半径就是圆锥的母线 师 追问 圆锥的侧面积与扇形的面积有何关系 生3 圆锥的侧面积等于扇形的面积 十 擞 7 初中版 师生共同推导出 J s 侧 竹r f 口 3 6 0 其中 r 为圆 锥底面圆的半径 f 为圆锥底面圆的周长 评析 这个教学片断通过 圆锥实物模型 的多次演 示 让学生经历了由圆锥立体模型到扇形这个平面模型 的过程 在学生头脑中建构了 圆锥模型 与 扇形模 型 学生在这两个模型的 形 的转化中找到了 数 的 相等关系 这又在学生大脑中建构了一个新的 数量 模 型 这样让学生体验到数学的美妙 对所学知识的理解 更加深刻 五 直观拓展型 直观拓展型是借助实物或图形直观 以拓宽研究思 路或拓展数学知识为目的的数学教学活动 这类教学是 对已有研究方案或思路的延伸 若运用得当 可以充分 调动学生已有的知识结构 拓展思维视野 发挥教师教 学的创造性 给不同能力倾向的学生提供较大的选择空 间 使他们获取各自发展所需要的知识 技能和能力 一 般步骤为 任务引入一任务拓展一分解任务一应用拓 展 直观拓展型的特点是 具有开放性 创新性 探索性 案例5 绝对值的几何意义 教学片断 问题引入 o 的几何意义是什么 活动1 若8 是一个数 探究I 血一1J 的几何意义 1 试在数轴上探究1 2 1 I I l 一1 I 1 0 1 I 的几何意义 2 试在数轴上探究I 俨ll 的几何意义 学生合作探究 展示略 活动2 点A B 在数轴上分别表示实数 6 A B 两点 之间的距离为线段A B 的长度 试在数轴上探究I 俨6 I 的几 何意义 1 如何在数轴上表示数口 67 2 在数轴上 点4 B 有哪几种情形 3 你能将各种情形的A B 都表示出来吗 学生小组合作探究并展示 当A 邵眄点中有一点在原点时 不妨设点A 在原 点 如图9 4 B D B J l b I l n 一6 I O A 曰 O 6 图9 A B 两点都不在原点 当点A B 都在原点右边时 如图1 0 则A B 0 曰一 A 1 6 I l n I I n 6 仝 生 0 G 6 图1 0 万方数据 2 0 1 4 年4 月 教学导 如图l l 当点A 曰都在原点左边时 A 曰 一似 1 6 l I 口l 一6 一 一口 I c 卜6 I 仝 6 n 0 图1 l 如图1 2 当点A B 在原点的两边时 A B D A D B I 口I 1 6I 口 一6 l c 卜6I 曰 9A 6 0 吐 图1 2 所以 I 俨6 I 的几何意义是 I 口一6 I 表示数轴上A 曰两点 之间的距离 活动3 当代数式I 茗一1I I 戈一2 I 取最小值时 戈相应的取 值范围是什么 最小值是多少 学生合作探究 展示略 评析 这个教学片断采取 层层推进 的教学方式 三个探究活动在整体上是一个直观拓展型 从 数到字 母 整体到分类 一类到多类 初步认识到深入理解 再到具体应用 每个探究活动都是一个拓展型 活动l 将一般问题的探讨分解为两个问题 问题 1 解决特殊 情形下的几何意义 问题 2 拓展为对I 口一l I 几何意义的 初步认识 渗透数形结合思想 活动2 按照从特殊到一般 的过程 引导学生在数轴上表示实数口 6 根据点A B 在 数轴上的各种情形 将A 曰两点间的距离用数n 6 表示 再转化为l 口一6 I 培养学生推理的意识 渗透分类讨论的 思想 活动3 是I 口 6 I 的几何意义的直接应用 引导学生在 数轴上用点P A 曰表示数菇 l 2 则P A k 一1 I 船 k 一2 I 将问题转化为P A 船的最小值 再并I 用数轴解决问题 让学生感受数形结合和分类讨论的思想 六 直观简约型 直观简约型是用数学符号 图表 图式等直观表达 数学中的数 数量关系和变化规律的数学教学活动 从 学习过程上看 把数学概念 法则或公式简约化 都要经 历 理解含义一选取符号或字母一确定运算一简约表 达 四个环节 直观简约型的特点是 简洁 抽象 易记 案例6 规律探索型 教学片断 问题 小玲家对面超市的大橱窗四周 安装着红 黄 绿三种颜色的霓虹灯 并且这些霓虹灯按照l 盏红色 灯 2 盏黄色灯 3 盏绿色灯的顺序循环排列 那么第1 5 盏 霓虹灯是色 小组合作学习 交流 讨论 5 分钟后 小组l 用字母A 表示红色霓虹灯 字母曰表示黄色 霓虹灯 字母C 表示绿色霓虹灯 并得出如下排列模式 AB B C C C AB B C C C 小组2 用 表示红色霓虹灯 口表示黄色霓虹灯 o 表示绿色霓虹灯 将1 5 个霓虹灯全部画出如下如下 口口o o o 口口o O o 口口 据此推导出第1 5 个字母 确定第1 5 个霓虹灯的颜色 师 对上述规律可 列除法算式 1 5 1 2 3 2 余 3 从而得出结论 第1 5 个霓虹灯是黄色 评析 在这个教学片断中 小组1 2 都用直观简约的 字母或图式排列了三种颜色霓虹灯的规律 简便 直观 性强 在这个过程中 让学生经历实际问题的 符号化 培养学生的 符号意识 最后 教师根据规律 列除法算 式 在培