湖北省巴东一中高中数学 几何概率教案 新人教版必修3.doc

3.3.1 几何概型一、教材分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子. 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如0,1区间上的均匀随机数,是服从0,1区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率. 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动. 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果x落到0,1区间内任何一点是等可能的,则称x为0,1区间上的均匀随机数.二、教学目标1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：p（a）=；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。三、重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.四、课时安排 1课时五、教学设计（一）导入新课思路1 复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本节课题几何概型.思路2 下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向b区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 为解决这个问题,我们学习几何概型.思路3 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.（二）推进新课、新知探究、提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,p（正,正）=p（正,反）=p（反,正）=p（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为.(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解. 考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件a.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件a发生.由于中间一段的长度等于绳长的, 于是事件a发生的概率p(a)=. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件b,由于中靶心随机地落在面积为1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为12.22 cm2的黄心内时,事件b发生,于是事件b发生的概率p(b)=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： p（a）=.(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.（三）应用示例思路1例1 判断下列试验中事件a发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向b区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有66=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向b区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在060之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但060之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在060之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.解：记“等待的时间小于10分钟”为事件a,打开收音机的时刻位于50,60时间段内则事件a发生.由几何概型的求概率公式得p（a）=（60-50）/60=1/6，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.打开收音机的时刻x是随机的,可以是060之间的任何时刻,且是等可能的.我们称x服从0,60上的均匀分布,x称为0,60上的均匀随机数.变式训练 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为=(a,a+5),记ag=等车时间少于3分钟,则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故p(ag)=.点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设a=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件a恰好是到站等车的时刻位于40,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得p（a）=（60-40）/60=1/3.即此人等车时间不多于10分钟的概率为1/3.点评：在本例中,到站等车的时刻x是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称x服从0,60上的均匀分布,x为0,60上的均匀随机数.变式训练 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件a,则p(a)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：306：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：007：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如右图中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域g.设晚餐在x（6x7）时开始,晚报在y（5.5y6.5）时被送到,这个结果与平面上的点（x,y）对应.于是试验的所有可能结果就与g中的所有点一一对应. 由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当yx,因此图中的阴影区域g就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g的面积为,g的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为p（a）=.变式训练 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为a,则p(a)=0.01.所以取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.（四）知能训练1.已知地铁列车每10 min一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.解：由几何概型知,所求事件a的概率为p(a)=.2.两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m的概率.解：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件a,则p(a)=.3.在500 ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是（ ）a.0.5 b.0.4 c.0.004 d.不能确定解析：由于取水样的随机性,所求事件a：“在取出2 ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004.答案：c4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件a,为了确定硬币的位置,由硬币中心o向靠得最近的平行线引垂线om,垂足为m,如右图所示,这样线段om长度（记作om）的取值范围就是0,a,只有当roma时硬币不与平行线相碰,所以所求事件a的概率就是p（a）=.（五）拓展提升1.约会问题 两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为：(x,y)|0x60,0y60,画成图为一正方形.以x,y分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|20. 这是一个几何概率问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出（如下图）.所求概率为p=. 2.（蒲丰(buffon)投针问题）平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(lb+6.5,即a-b-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.4.选定d1格,键入“=a1-b1”；再选定d1,按ctrl+c,选定d2d50,按ctrl+v.5.选定e1格,键入频数函数“=frequency（d1：d50,-0.5）”,按enter键,此数是统计d列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.6.选定f1格,键入“=1-e1/50”,按enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.解法二：以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图： 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件a发生,所以p(a)=.例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.解法1：随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即.假设正方形的边长为2,则.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以4,这样就得到了的近似值.解法2：（1）用计算机产生两组0,1内均匀随机数a1=rand（）,b1=rand（）.（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数n1,计算=（n代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.分析：师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.解：（1）用计算机产生两组0,1内均匀随机数a1=rand（）,b=rand（）.（2）进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2.（3）数出落在阴影内（即满足0b0）的样本点数n1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1 000次试验,即n=1 000,模拟得到n1=698,所以s=1.396.（n代表落在矩形中的点（a,b）的个数）.思路2例1 取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？分析：在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应0,3上的均匀随机数,其中取得的1,2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1,2内,也就是剪得两段长都不小于1 m.这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的个数之比就是事件a发生的概率.解法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=rand.(2)经过伸缩变换,a=a13.(3)统计出1,2内随机数的个数n1和0,3内随机数的个数n.(4)计算频率fn(a)=即为概率p(a)的近似值.解法二：做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度0,3(这里3和0重合).转动圆盘记下指针在1,2(表示剪断绳子位置在1,2范围内)的次数n1及试验总次数n,则fn(a)即为概率p(a)的近似值.点评：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件a及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.例2 利用随机模拟方法计算曲线y=,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.活动：在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.解：（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a1=rand,b=rand；（2）进行平移变换：a=a1+1；（其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标）（3）数出落在阴影内的点数n1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1 000次试验,即n=1 000,模拟得到n1=689,所以=0.689,即s0.689.点评：模拟计算的步骤：（1）构造图形（作图）；（2）模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率；（3）利用p(a)=算出相应的量.变式训练 在长为12 cm的线段ab上任取一点