（基础数学专业论文）环上有限生成投射模的自由性.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 上世纪2 0 3 0 年代 现代层论观点被系统的引入代数几何学 在这一观点中 抽象代 数 v 口i e t i e s 上的矢量丛可被定义为 局部自由层 平凡的矢量丛则对应自由层 s e r r e 在1 9 5 5 年的著名论文 2 5 中提出如下问题 任意域女上多项式环 t 亡2 t 上的 有限生成投射模是否一定自由 n 为0 1 时这都是成立的 但n 2 时问题却是较为复杂的 为此 数学家们工作了大约2 0 年 猜想才最终获得证实 1 9 7 6 年美国数学家q u i u e n 和前苏联数学家s u 8 u n 几乎同时利用不同的技巧证明了s e e 问 题 紧接着b s 总结先前的研究结果结合q u i u e n 的证明提出了b a s q l l i l l e n 猜测 若k 是交 换正则局部环 k r u 维数d 威m p 1 t 2 t 一n 时p 是自由的 同时 又由r n n 为1 的 投射模 同构于某一i n 粥煳b l ei d e a l l 均为可蠹鞠消去的f 1 2 l 有s e r r e 猜测对m n 南为l 的投射 骥瞧减立 事实上 疑s e 辑麓这一结采开始 专警多鼹这一目瑟臻究鞠嚣标臻镀定在迁瘸稳定 自漱模为自由模上 后掰将会看到在s u s l i n 激终解决这一问题的方案中就是这样的 对s e h e 问题在近2 0 年的研究中还得到了许多局部的解答 它们殿然没能完成猜测的最 终诫明 但是这些结果中很多是相当漂亮和深刻的 同时 用到的方法是对代数学各类戴他 惩避瞧箍供了帮助 关予这些零教结果可以参赣 i 2 1 最惹 接毒s e r r e 瓣簇中交换毪是必要静 因为在 1 7 中有缝豢 令霆 蠢西餐爻饕域的 除环 上的多项式环 删存在右兄一模p 稳定自由但非自由 1 1 2s e r r e 问题的解决 b a s s q l l i u e n 猜测 1 9 7 6 年美国数学家q t l i i l e n 裙前苏联数学家s t l 8 l i n 几乎同时孝 爝不同盼技巧证明了s e r r e 阍 戆 紧续藿b 8 s s 墓结免墓蓼戆聚究维采结舍q 珏i 鞋豫豹诞臻提窭了b 黼黔q 毽i l l 强猿臻l q u i l l e n 引入后来被称为 西曲窄f 矗 m o 印胁s m 的概念 利用 弛耙矗l 叼三b m m 卜 p 妇m 的技巧 证明了 条关于多项式环上模的扩张的深刻定理 令r a p 是交换n o e t h e r i a n 环a 上多项式环 m 为有限生成r 一模 若对任意m 却m 叫a a m m 是 由a 扩张面得 盈i 掰是由a 扩张丽德f 1 9 2 0 铡耀这一结果结合 王o r r o 如的一条关于局毒 盼n 1 i 矧南l e 醚禳l 摆 筝袭授翦搂壤蕊耱理惩 第2 砸 阁防科学技术大学研究生院学位论文 一o e 晓梆i a n 嚣上多项式邵趋定理q u i 珏镭诞磷了 主理想整巧文蔓多瑗式巧露 童匦 茹2 l 上的有酲生成圭受瓣禳均鸯由 利用q l l i l l e 的缩聚很容易得到 若盯是脬r 仳z f 维数为2 的交换j e 舰环1 r e s p d e 出舟 n d 整 环卜则k h 如 t 上任意有限生成投射横p 是由 扩张而得的 由此b a s s 与q u l i i e n 提出 了比s e r r e 问题更一般的猜测 若k 是交换磁则环 如谢z 维数d 鑫鳓霹一切爹专x 翻掰有一个蔗上戆基本元 2 若m 为 的一个予横 对于任意p 怒 d 彩 1 一如f d 基本静 剃肛 含有一个在 上 的基本元 1 这里的正则性同上 2 记砩一模蝎 的极小生成累的元索个数为p 0 第3 页 圈防科学技术大学研究生院学位论文 3 令溉l 辫2 鳓 怒掰孛元 豆对廷意p 盖 它翡在扯婵 i 一如 露蒸零 著 在直 掰中 8 m 在x 上秀基本元 煎 存在元 m 0 2 m 2 十n 3 m 3 m r 8 2 夔褥m i 黼 在x 上为基本元 这一结栗是磷窕 睨虢e 眩m 环上有陵黛艘模静生成元缀的潦零定瑾 裁露它可戬建立 超许多重要定理 其中肖f 0 r 8 t e r 关于生成元个数的估计 即 令m 为交换 o e h e r i o n 琊a 上有限生成投射模 游有 礼 m a x p 屿 威m a 奶 鲻槲司 由n 个元生成 对这一定理从多项式环上模的扩张观点有下面的著名猜测 e i s e i l b u d e v a n s 猜测 令r a h 为交换 d e t 九e r i o 仲环a 上的多项式环 k r 饿f 维 数为d 1 令掰秀毒限生戏投瓣霆一摸 瀵是对强麓翰 鼯托 固 芦 舞南 鑫 篓l 掰会寿一令麓零 元 特别的 若m 为投射的则其含有螽e 目蠢和因子 2 若p 为有限生成投射咒 模 满足m 他碳昂 蹦一切p 勖 r 成立 则p 满足消去律 即有若p o q 垡p o q 其中q p 均为肖限生成投射兄一模 则p 垒p f 3 若掰为有限生成投射嚣一模 令 e 一m a x p 磊知 旃m 霞肭 p s 露c r 嘏m 霞 掳孤撅磁幽p 粥t 口警 基仅当 圣lq 冗 r 势记所有长为稍鸯 右 淑 懈蒯 卜灌拼鹃綮念为f 弛 竭 第1 0 页 嗣防科学技术大举研究生院学位论文 滚2 2 2 一个裂 溉 搬 哥鞋善成lx 镕穗薛 于是定义了表嚣壤瓣态露 露 建霸淼为满 豹懑显仅当 毪 啦 为 b i m 删醅缸r 粥彬 馥褥获全体长舞礼貌跏l 溉撕 缸f 阳删至l 秩为器一l 鲍l 一型 穗定自由模集上的清对废 届强将看酗 实际上当作适当等价分类后还存在 对应 定义2 2 3 令a 为环 o ar o 为一整数 对i j r 令 表搽只有 j 位置为1 冀佘位置为 的r 砖目阵 定义 磁 o n a j 称荛初等矮跨 显然初等矩薅均w 逆 钐令霹曙 鸯g 譬 固中l 蠡互蒜s 量 固嫩成的子饕 称为初簿群 演2 2 3 池 初等群具有提升性质即若有环满杰a b 则可诱导出满的群同态耳 椰 目 8 俐 般情况下 耳 a cs o a 为真包含关系 厢面将会看到在一些特殊情况时 例如曰h c 2 i d n 整环 引理2 2 0 w h 赴e 九e d 令n 声 g 互 a 骢g 有初等矩阵 l 龟 最 a 使有 盼 一 警三 汾 一 攘谂2 2 王蓑霞舞交换繇 粼g 固中瓣燕绫缒薄臻羼予墨 蠲 证明7 首先证明出叼 矿1 岛 r 又有 出叼 d 如 巩 d i 卵 d 1 町1 1 1 幽叼 1 d l 如 如 厶 由数学归纳法证得 孳l 瀵2 2 2f 蠢s 船 e 嘲令醴秀r s 矩簿 岁为s r 囊 筹 蓑j 娃黟 g 蟊 a 翻毒j 黟挫 g 毛 和 品 属于马如 锄 攘谂2 2 3 令 口l 魄 镕 翱l 锄 辑 毽 毽 a 嫒骞钉l 镩l 毪娩 t 撕 o 煎i 有 7 属于马如 豁l l 页 嘲防科学技术大学研究生院学位论文 攘论2 2 4 令 l 协 珞x 韬 l 挂噜 辑 镜 戳 翻藜跫 l 韬l 毪t j 2 t 撕 0 著溉 0 对慕个l s l r 刚f 蛰 钟 嚣 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章 s e r r e sc o n j e c t u r e 这一段主要讨论s e r r e 猜测及其解决 自1 9 7 6 年d q u i l l e n 和a a s l l s l i n 的证明以来 s e e 问题已有许多不同的解决方法 但这些大致都跟从q u i e n 和s 1 l s l i n 的方向 或利用 i s o t o p y h o m o m o r p h i s m 或 c o m p l e t a b ku n i m o d u l 拼r o w 或两者兼而有之 8 0 年代初h l i n d e l 给 出了一个全新的证明 只用到k r u u 维数等一些环的基本性质 这个证明是开创性的 对许 多工作都有推动作用 本段首先给出q u i i l e n 和s l l s l i n 的证明 这些方法和技巧本身已是交 换代数中重要的基础理论 3 1预备知识 h o r r o c k s t h e o r e m 一球 焉 一上 1 一 o p 6 一 k 舻 竺 型冗1 o 第1 3 页 其中心 r 为同构 令 对应矩阵m g l 兄 则有 b 1 6 2 一 k c 1 c 2 一 m 即b g l r c 又若有 6 6 2 k c c 2 岛 m m g 厶 r 则由图追踪法有 p z 而m p 6 1 6 2 一 k p c 1 c 2 一 使上图交换 且由m g 三 r 知卢为同构 得p 6 1 b k 型p c 1 c 2 推论3 2 令 6 1 6 2 一 k 矿m r 则一下几条等价 门j b 1 6 2 一 k 是 竹印f e 缸6 f e 的 俐p 6 1 6 2 t k 鲁形一1 俐 b 如 一 k 一 1 0 一 0 定理3 3 令r 为正h c 雎d 墟 环 0 1 如 n u 帆 r l 则有 俐 0 1 0 2 一 o 一晶 冗 e 1 俐s l 冗 晶 兄 证明9 叫 令6 r 一 为e t c f i d e 范数 令集 s m i n l n 叵 五 一晶 r o 0 2 取s 中元 n i n 使得对于任意 o o s 有6 n i 6 n 若 o i o 则由第二章c b 阳f f n w 牙 o 4 有命题成立 若n o 则必有o i i 西 j 1 因为否则若o i 十 则有令r o 一q o i g a 则 o i o 一晶 砷 r 一n i 口 由j r 1 n 证明1 1 设a 为点h c 如d e 札环 6 为五k c 拓d 件范数 令集合s 寸n ri 盯 日 7 筋 a 令n 为s 中满足如下条件的元 俐o l o 渤5 5 a 瓣饪意a a 嘉 童8 矗 o 成立 蠢撬盔d 律范数静毪璜 这样的元是存在的 则肖o 1i 屯 i 1 i o 1 忱 j n 成立 因为蓿不然 令r d 一口o i l o q a j 1 且d r 1 则 衣 影姣 n 72 言 驴乱声嘶叫卜瓤脚 由归纳假设得a 可以利用初等变换至对角线瓶阵威叼 0 1 n 2 m 又由 兰 一 由前面的讨论立得n 1i 娃2 若 为主理想整环 取集合s 口o r l 盯 s 鼠 a f s 厶 a 取矩阵 f s 使 对任意a s 窍理想 极大 则网榉有 l 0 h l l 磁 j n 成立 否 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 则 若o i l 十o i 2 令d 6 1 n i l 6 2 i 2 为o i 2 的极大公因子 则a d 2 a n i l f 6 2 一l d 木 s l a a l r ll 半年 与a 的极小性矛盾 一下证明与占k c f l d 庙f 的情况是类似的 推论3 7 令a 为主理想整环 则 俐任意小的子模u 自由 且有 的基 z z 研 和u 的基 1 驰 使玑 o i o i n 4 a sm 俐任意有限生成a 一模有形式 a 肛a 日b a 4 n 日 o a a 嘶 吼 a 引理3 8 令r 为环 n r 为多项式环r m 内理想 若j 内含有一个m o n c 一多项式 且有 元1 砒 j 其中 丑m 则j 含有元1 o r 其中r 冗 证明1 2 若有 n r r 只 令极大理想m n r n r 则有j n r r h m 叫三 o r h n r z r z 其中r 陋 r 陋 j d h 叫 又n mcm 吲cj o c 由肌 删o m n 引理 号r m m o 矛盾 故有 n 兄 o r 冗即存在元1 o r j r r 得 证 推论3 9 令 r n 为局部环 m 为r 旧中含有m 删c 一多项式的极大理想 则有mnr n 于是有 对任意m o n i c 一多项式 r 吲有r h 为半局部环 证明1 3 若有m n r n 取o 礼 m n 冗 由m 在r b 中极大 则有1 砒 m 危 r 由引理有1 n a m n r a r 爿1 m n 兄cn 矛盾 又 对r m 中的任一极大理想f 均有p 三 p n r n 则有 r n 吲 中的极 大理想与r 叫 中的极大理想一一对应 又 月 n p 中的极大理想对应于 吲n 旧鲁 r 叫中包含7 的素理想 而后者仅有有限个 故r 为半局部环 得证 第1 6 页 o o o 枷诎 嚣防释学技术大学磅究生院学整论文 推论3 1 0 令 r n 为局部环 r 蚓为一个m i c 一多项式 若翁 1 佗吲 则 是c d m 8 z i m 戚戆 定理3 1 l 珏o r r o c k s 令冗为局部环 a 矗翻 s 为矗中m 栅口一多项式组成之集 p 为有 限生成投射a 一模 炜为自由 4 s 一模 则p 为自由a 一模 证明1 4p 可分解为形式p 三 舻 其中己为秩是l 的投射a 一模 当站一l 辩 命嚣漱然成立 馥令肄 2 令m 为月之极大理想 女 r m 又令p l m 为殆的a s 基 w m 吲p p o a 州为投射 川一模 故为秩为砧的自由 嘲一模e 令吼 口2 p 使嚣 珏 甄 为 戆一缀碡西一基 蠹裰等强予定理 基夏 委 夏释嚣 鞴 嚣霹经麓簿交挨使箕 满足一两 百西 其中删 r 叫 又由初等变换的可提升性 p l 斯 仍为如的一维基 令p q l z r m 则有笋一万 西嚣 诲婶 西 弼是f 的一组基 又有s g l l 昏和8 鼽 其 孛s s l 岔2 a 嚣l 鸯肇一 8 i 鼯 爹l 2 靠岛秘 取硝i 够大 馒8 l s 妒秀一 个m d 饿c 一多项式 贝 有p 1 p 2 为硌的一组a s 一基 知令t l m 扣 m 晒 口2 为砰的一组生成元 又由毋为秩是n 的投射模 则有昂为自由a t 一模 p 啦 为一组 基 令p p 胆p 则有昂 p 均为秩是n 一1 的投射模 故有p 7 为投射模 蜥 o a p p dp 0 爿p 型p o a 由归纳假设肖p 竺三 小 其中三为秩鼹1 的投射模 还蒙证明l 自由 由已知存在m 礼 c 一多项式 使霹 o l 掣b 型r 由前面关 于 8 醒8 弦e 驰 毒谂立褥三叁由 褥谖 3 2q u i l l n sp r o o f 0 fs e r r e sc o n j e c t u r 蜘 l o c a lg l o b a l p 蓥i 致c i p l e 这一段给出q u i u e n 在 2 0 l 中关于多项式环上投射模的结果 定义3 2 l 令a 劈为交换 e t e r 8 礼环的扩张 b 一模m 称为难a 扩张蕊褥潦且仅当存 在直一模 使寄掰竺 ab 第1 7 页 翻醛辩学技术大学秘究生院学位论文 是濮3 1 2 令r a 网为交换 o 西丸e r 战 环a 瀚多项式 甜为煮戳生成霞一模 且m 国a 扩 张而得 则有m 竺砑 a r m 其中丽 m 知m 证明1 5 由m 为扩张而得的 则m 兰 o a m 其中 为a 模 则 a 茁 埘7 嚣耐竺 o a 圈 r 置p l 型 直p 冗冗 g 露 望 9 矗叠竺 定避3 1 3 固u 靠k o 五o d 磺d 掘ip 州扎c 劬w 令兄 a 为 o e 娩e r i 口n 环a 上多项式 环 m 为有限生成r 一模 若对任意极大理想mca n m 一1 m 是由厶扩张谳得 到的 则有m 是由a 扩张丽得到的 其证爨需要雳到默下嚣条弓l 理 其证明均霹在 s t 8 强 m a 珏d 氇 鹳p r o j e e t i v em o 曲融鞣d b 热p l e t ei 珏t e 强e 醢妣馨2 3 申我刭 这里馥略 引璞3 1 4 令a 为交换环 屁勾a 一代数 可以非交换 a 茹为畿鬣 令9 为1 z 毋m 中 可邀元 则存在正整数k 使对于任意9 l 跏 以 口l 一仍 a 存在l z r h 中可逆元妒 馒有咖 z 口 9 z 口 啦 s l 薅3 1 5 令r 建潮魏交换薅 绣8 艇瓣繇蔗主瓣多习i 式强 s 蠢瀵是矗 盘 蔗 令蜗为a 一模 且有掰一冉磊 五溺 骗翻 为霓一摸 设 鹚 甄秘危 舰 批为两个同构鼠 t 2 m 施l ex 则有一个同构 m 满足 墨 竹m d f ex 和 兰如 m o d 州ex 下面证明q u i i l e n 的定理 涯骥1 6 令 聊善掰e 我察是矮汪臻掰 o 点潮 令了 蠢l 强垒怒固a 溺 酋先证明了为一理想 箍然0 j 且若n a 剐有越 j 现令s t 需证明卧t 因有s a 卧t t 也 t a t 故用a 州代替a 可设a 卧m a 则可得两个同构 点 o 五陋1 一豫和盎 9 a 蚓 一磁 褥令矗 j 症 m 娥1 8 纛五i 豫 礅硪轭x 垂上嚣弓l 懑岔有 圆童豳竺掰 教 脊j 确为a 的一个理想 蒋l a 则有极大理想m j 型 m 4 商了t a m 使埘 捌肌o a 陋l 哥t 了这与m 的定义暑 詹 敖了 a 鼯掰型 o a 知l 第1 8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 下面给出一个基于上面定理的s e r r e 问题的证明 定理3 1 6 q u i l l e n s u s n n 若 为域 则任意有限生成k b l z 2 z 卜模自由 证明1 7 对礼利用归纳法证明 当n 1 时结果是显然的 设n 一1 时命题成立 令s 七 o 则s 1 陋l z 自 p 一1 其 中 o s 1 七 z 故s 1 p 为自由s 1 m 陋l z 模 故有m o 札i c 一多项式 s 女 o 使p 自由 则由上面的定理 存在p p 陋1 z 使p 笺p 圆 k 1 z 由归纳 假设p 自由 故p 自由 3 3 s u s l i n sp r o o fo fs e r r e sc o n j e c t u r e 在文 2 8 中s 1 1 s l i n 对s e r r e 问题的证明主要基于他对可逆矩阵群在含有m m i c 一多项式元 的u n i m o 砒z 口r 一列集上的作用 关于这一方面他还给出很多深刻结果 例如 对任意多项 式环r 扛l 玩 r 为s 工 r 的正规子群 利用这一结果可以得出在环r 自陋 一 z 上有最 r s 厶 r 厶 r 1 2 7 j 还有一个是较m k r l l s e r e y e r 的结果更一 般的定理 2 6 令r 为交换环 o 一 矿 k 冗 则 加 z 1 z 瑞 是c o m p l e t a b b 列 关于这些可参看 1 5 下面将给出s l l s l i n 在文 2 8 中给出的一个关于s e r r e 问题的证明 引理3 1 7 令兄为环 1 2 r m 2 令c r n r 嘲 2 r 嘲 则对任意冗一代数a 有若c 在a 中不是零因子 b a 则 6 三6 n o d c a 6 s l 证明1 8 有令c 9 l 2 9 2 其中m 出 月嘲有矩阵 m 肛 篡 葛 羔 冀 卯 6 1 6 一乳 f 9 有d 酣 m 1 c 2 c c 1 故m 可逆 又由6 6 m o d c a 有右边两矩阵乘积与 共轭 1 群s 工 r 中的子群0 工 r 是指s 工 r 中全体与单位矩阵同痕的元生成的子群 第1 9 页 即m s 如 a 又有 m m 肚c c 删 暑葛孑 芝2 葛等 叫叫c o 墨篇 邓埘 嚣篇 娜训哟 引理3 1 8 令r 为环 r 嘲 则对任意r 一代数a 和任意子群gcg 三 a g c r 1 6 e m d d a c 争 6 一 为环r 中的理想 证明1 9 令c c r r r 1 6 一加2o r c r c 其中6 矿n a 由6 一o r c 6 凸r 7c 有 6 一g 6 一 n r c 8 r c 一g 6 故有 确为r 中之理想 引理3 1 9 令r 为环 厶 u 饥 r 竹 2 为m i c 一多项式 则对任意 交换r 代数a 若a 为整环 6 a 则有 6 一 6 其中g 为由上k a 和s 工2 a 生成 的g 三 a 的子群 证明2 0 由上面引理有只需证明0 a g r 则只需证明对r 中任意极大理想m 均存在c 八m 令r 亡 酬m 嘲 1 为一半局部环 则由 五 万 u m 一1 瓦网 有存在丽 昂一 rm m 嘲 使得 五 万 丽 可町 面 将丽提升为m 风一 m 且令 1 厶 m 9 l 鲰 r 嘲 1 则卯 m o d m t 因此有 1 r 嘲 卯r 嘲 m 嘲 r 嘲因为 1 是m o n i c 一多项式 故由 引理只j j 有r n 1 卯 m r 特别的存在c r n 仍 c 岳m 下面证明c 乃 g 设6 m o d c a f 2 我们有 仇 一肌 6 6 6 a c 以c 1 6 a 虫 6 a 第2 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 由引理只s 有 厂 6 6 一 厶 6 一日 6 卯 b 一 肌 6 一晶 6 卯 b 出 肌 6 7 一乩 6 卯 6 一 一晶 6 矗 6 6 推论3 2 0 俾r w 问题的证明 若k 为域 p 为环a 弘1 t 2 划上的有限生成投射模 则p 为自由模 证明2 1 知p 为稳定自由的 故只需证明 陋l 纠上任意跳i m d f o r 歹0 l 是c o 一 妒k 缸6 k 的 对d 利用归纳法 对任意 a 可利用 叼o t o 死m 加r m o 踟矾 1 为 对t 变量是m m 证一多项式 则由上面定理有 n 一s l a 1 0 如 一 一 厶 0 z t 由归纳假设知命题真 利用引言中讲到的s l l s l i n 的结果 对任意交换环a f k a 为g l a 的正规子群还有如 下更强的结果 推论3 2 1 令r 为环 z l 矿m 冗m n 3 其中 吲为m d 疵c 一多 项式 则 z 可补充为一个初等矩阵胆彤 第2 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第四章模的有限生成问题 模的基本元是线性空间中基的一种推广 这一概念被e i s e n b u d 和e n s 系统的研究 2 这一理论对交换环上模的有限生成问题给出许多深亥4 的结果 并且由此提出的d e i s e n b u d e 一猜测还是这一领域最主要的问题之一 3 这一节主要叙述这一领域中的问题 4 1 t h e o r e mo fe i s e n b u d e v a n s 对任意有限生成a 一模m 记p m 为的m 极小生成系的元素个数 定义4 1 1 令a 为 d e 地e n n 交换环 m 为有限生成a 一模 p 若有元m m 且m 隹p 屿 对某一素理想pc 翮戋立 则称m 为m 在p 上的一个基本 元 俐若有元m m 在任意素理想p 上是基本的 则m 称为m 的一个基本元 若有跏e c 陋j 的子 集x 对x 中任意元p x m 在p 上是基本的 则称m 在x 上基本 俐对任意非负整数 若有m 的子模m 7 满足 芦 m m p 坞 一u 则称m 在上p 是u 一 o f d 基本的 对m 的一个元素集 m l l 一 矾 若有子模m 1a 讹在素理想p 上是u 一 d f d 基本 的 则称 m 帆 在素理想p 上是u 一 o 艋基本的 注4 1 1 口 由 n o m o 引理知若m 为m 在p 上的基本元 则当且仅当 可扩充为a 矗的一 组极小生成元系 当且仅当m 在p 上是l 一 d z d 基本的 俐若 m 1 m t 为素理想p 上u 一 f d 基本的 又 1 轧 cp m 则有 m 1 1 m f 矾 为素理想p 上也是u 一 0 2 d 基本的 下面提到的一般维数函数是由p l u m s t e a d 提出的 2 4 1 定义4 1 2 设a 为交换 o e 琥e 州n 稠 x 为跏e c 倒之子集 0 1 为全体非负整数 集 令d x 为 函数 口j 在x 上定义偏序关系 p 1 仇当且仅当p l p 2 或p 1cm 且d p 1 d 俐对一切p x 则m 有一个x 上的基本元 俐若m 7 为m 的一个子模 对于任意涵 x 是 d p 1 一 d 弛基本的 则m 含有一个在x 上 的基本元 俐令m 1 m 2 竹砷是m 中元 且对任意 p x 它们在p 上 d 1 一 d 2 d 基本 若 在ao m 中 o m 在x 上为基本元 则存在元 m n 2 忱 0 3 m 3 脚m r 0 2 o 使得m l nm 在x 上为基本元 注意到 1 可由 2 得到 而 2 可由 3 推出 故只需证明 3 即可 下面叙述几条引理 引理4 2 令x 为跏c 似j 的子集 x d 为一般维数函数 m 为有限生成投射a 一模 为其 子模 x 为x 的子集 u 为非负整数 若有 p x 且影 x s t p p p p 7 号 在p 上是u 一 o f d 基本的 则有 只在x 有限个元素上不是u 一 d 艋基本的 证明引理前还需要几个记注 注4 1 2 对交换 k e 执e 8 厮a 上任意有限生成模m 和正整数t 定义 厶 m a n n n m 为m 中由t 个生成元生成的子模 且令而 m a o 彻 m l 1 m a o 则有 以 厶 m a 厶 1 m a t 一l o l 一 例对a 中素理想p 有厶 m a p 营p 磊 t 俐若p 屿 亡0 则对任意t 如有厶 a t a r 阻 由于a 为 o e 玩e 何 椰 则知仅有有限个理想厶 m a 引理4 1 1 的证明 证明2 2 我们证明若p x 使礼在p 7 上不是u 一 o z d 基本的 则存在t 使 为五 m 以 n 第2 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 y 上按偏序关系 的极小元 则利用上面注 4 可得引理成立 若假设p x 对任意t p 在厶 m a n x 上不是极小的 令p 驯 r 1 则 a 曼p 7 且五 m a 垡p 对一切r t 成立 由假设存在p x 使 m a p p 且d p d 7 故有 在p 上是u 一 o f d 基本的 有 m r 1 由于 r l p 叫 一 p 叫 贝0 有p m p 驯 一 r 1 因此 肛 m p 纠 p 彳 一u p a f 一u 即 在 上是u 一 o l d 基本的 与假设矛盾 引理4 3 设m 为交换 d e 冼e 州口群a 上有限生成模 m k 为m 的元素构成的集 若 有 r 1 为整数 吣 o 同时可设m 为 p l 盟 m 中极小元 则 有n 蓦仇垡m 现假设 t i m 1 m 1 0 0 1 m r m 2 m 2 n 2 k 一 m 卜1 m r l o r l m r 在鼽上是岫一 o z d 基本的 其中o i o o 一1 a 我们将证明 可选出n o 一 a 使有 对任意c a b m m i m r m 2 m n m r 一 4 1 聪一1 m 一l 一l 坤 是m 上u 一 d z d 基本的 第2 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 则若选取c n 譬鼽 由注4 j j 命题即得证 又欲证明 只需证明 若 m l 竹耳 在p 上是u 一 o 胁基本的u p 屿 一u 故有礼 n r l u 号u r 与已知 矛盾 即丽 而j 线性相关 令 t m a 2 而为而 而酉在鸠 p 蛑上的线性组合 令吼 1 毗 o 1 r 一1 i t 有 m m 1 盘n 1 唧r m m 2 n 0 2 m r 一 m 一1 m r 一1 n 诉一l c r h 可以证明对任意c 岳a m 瞒 群一1 为p 上u 一 d f d 基本的 否则 令 为屿 尸 l 磊 中由 m m 的像生成的子空间 则 也是由 m m 群一 的像生成的 则有 rr 肛 m a p 屿 一d i m p 叫 a m i 1t 1 故命题真 最后证明e i s e n b u d 和e v a n s 的定理4 1 1 证明2 4 定义集 n 1 n 2 n m 是d 山o s t c 若 n 1 n 2 n 是x 上m i n 扣 d p 1 卜 0 2 d 基本的 显然m m 在x 上是基本的当且仅当 m 为d k i s c 若r 1 将证明存在0 1 口 一1 a 使 是d k s i c 第2 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 令 1 a 弛 则只有有限个p x 使 不是p 上m i n nd p 2 一 d f d 基本的 因 为 令墨 扫 x d 0 s 有m i n r d 1 i n i n r s 2 因此 为p 上m i n r s 2 一 o 城基本的 由引理4 只在五中有限个p 上非m i n r s 2 一 o 艋基本的 令 e 如 x 在p 上非m i n r s 2 一 o f d 基本 由e 有限 则存在0 1 o 一l a 使 a m 1 0 0 1 m a m 2 啦m a m 一1 嘶一1 m 对任舒 e 为m i n p 一1 d p 1 卜一 o f d 基本的 若p x e 则p 彳 p 卢 朋 一m i n r d 2 且 p m p s 肛 f p 1 p 磊 一m i n r 一1 d 1 故 在p 上是m i r 一1 d 1 卜一 o f d 基本的 因此 m 1 n n l m m 2 0 2 b m 一1 o 一1 m 是d k s c 由归纳假设可知定理 成立 4 2e i s e n b u d e v a n s 定理的应用 定理4 4 口e r 他0 印 眦e 卵矾 m 州令a 勾维数为跤换 o e 忱e m 流环 p 为有限生成投射a 一模 满足对任意 s 如c 口 r 女 昂 d 则有尸型q o a 其中q 为投射a 一模 定理的证明需要一下几个引理 定义4 2 1 令m 为 e t e m i 破换环a 上的模 m m 定义m 的d r d e ri d 沩 0 m m 0 m 兵m m 一a 为一个a 一模同态 称m 为m 的u n i m d 如j 口r 元 若有0 m m 4 即有满同态 m 一a 也即当且仅当 有m 的子模 使m o a m 竺 o a 引理4 5 令p 为有限生成投射a 一模 p p 则p 为踟i m d z o p 元当且仅当p 为p 中基本元 证明2 5 注意到自由模小中 z l 为跳t m o 砒z p 元当且仅当其为研z f m d f o p 列 和 对a 中乘法封闭子集s 有0 m l s 一1 m s 一1 0 m m 成立 即可推出引理 第2 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 p r o o fo fs e r r e ss p h t t i r 岖t h e o r e m 证明2 6 令6 跏e c 俐 一 o 1 2 为一般维数函数6 0 d i m a 加 由m n 杖0 出m a 6 如 由占铀e n 6 d 助n m 定理有 p 有基本元p p 由以上引理有满同盔 p 一 a 即有投射a 一模q 使有正合列 一0 p 上a o 辛p 型q o a 下面给出b a s s 的一个有关直和消去的结果 关于模的直和消去问题可以参见1 1 4 定理4 6 令p 为交换 o e 冼e 一 椰a 上有限生成投射模 满足m n h b 以m a 对任意p 跏e c 似j 成立 若有有限生成投射a 一模p o q 型p o q 则有p 掣p 证明2 7 因为总存在有限生成a 一模q 使0 0 0 自由 则可令0 4 即有同构 p 7o a p o a 令月1 0 p o 故0 o 为跏i m o 如z o 玩甘其在p o 4 中是基本元 由赐 m 群 j j 存 在p p 使p 印7 为p 中基本元 也即 i m d d f o r 元 令p o p 则有a 一模同态g p a 使9 1 现定义同 弘 尸 0 a 尸o a 扛1 2 3 一 五 m m 印 z 俐五 m z m z 1 一n g m 例五 m z m 一印o z 其中m p 1z a 则立得f 毛噶 五o f 0 1 o 1 因此f 诱导出一个同构p 兰 尸 oa 0oa 型 p 型 p o a o o a 下面给出f o r s t e r 和s w a n 关于模的极小生成系的元素个数估计的一个定理 定理4 7r 而 e 州 n 州设m 为交换 o e 砘e 而 琊上有限生成模 令 n m a x 似 鸠 出m a 屈 p 为素理想 且屿 o 则m 可由n 个元生成 证明2 8 使a a n n m 代替a 我们可以假设屿 o 对任意 印e c 似j 成立 令p m n 则有正合列 0 f hm 0 第2 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中f a 为自由a 一模 则对任意 勋e c 似卢占p f p 矗 由 则札 p 屿 d i m a 加 对任意 跏e c 似j 成立 由定理4 j 有k 含有一个f 的基本元m 则 有f f o a m 型f o a 其中f 7 为秩为 一1 的投射a 一模 因u 一1 出m a 由b 口s s 的 定理4 j j 有f 自由 则有一到m 的满同态 即p m 一1 与肛 m 矛盾 注4 2 1 清测定理中的跏e c 似j 可由却m 船似j 代替 踟o n 在文 刎中对这一问题给出 了解答 b a s s 曾提出的环的s t a b l er a n g e 1 3 是环上的一个重要稳定结构 它与诸如环模的直和 消去 投射模的稳定结构等许多问题紧密相关 下面这条定理就是关于这一概念的 定理4 8 俾o s 砂令a 勾维数为d 的交换 d e 地e 而 椰 1 2 厶 为小中u 砘i m o d z o r 列 若佗一1 d m a d 则存在9 1 卯 一 鲰一1 a 使 仇 n 2 啦厶 厶一i 玑一1 厶 为 一个 i m o 砒f o r 列 证明2 9 令f a 1 m 2 一 厶一1 f 因为 m n 为f o a 中的c m i m o 砒f 口p 元 且卢 昂 n 一1 d 由皿s e n 6 d 助蚴8 定理有存在m 9 1 卯 肌一1 f 使m 厶m 为f 中基本元 即 1 9 l 厶 2 肋厶 n 一1 肌一1 厶 为一个u n i m o 砒f n p 列 第2 8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第五章投射模的自由性问题 本章主要叙述作者本人关于多项式环上的有限生成投射模的几个结果 5 1h i l b e r t 零点定理的极大谱形式一却m 七陋1 一 z 引理5 1 令兄为交换 o e f e 而 摒 m 为r m 中极大理想 m 含有一个m d n c 多项式 贝0 m n r 为r 中极大理想 证明3 0 若m n r 在r 中非极大 则有 c r 垡m n r 使m n 兄 r 又由m 为r 中极大理想 有 m j 司 兄l 叫 由m n r 冗号存在同挣吸大理想n m n r 则有r 吲 m m 叫 j k 卅 r z m z 厶k n 陋 又有 m 知c r h t o c 7 i 丽 瓦丽由 k 出n o m 口引理有硼 o 矛盾 故m nr 为r 中极大理想 推论5 2 俾f 妇付零点定理的极大谱形式j 设 为域 对任意多项式环 陋 z 上极大理想m 有m n 七 z 1 z 1 n 一1 为k 扛圹一 z i 中极大理想 即存在拓扑连续映射 跏m 叫 陋 一 z 跏m 口缸 p l 茁t j m m n 南p l 一 z 1 佗一1 证明3 1 由归纳法知只要证明n 2 的情况即可 设mc 陆1 茁2 为一个极大理想 由 叼武口竹 e 加m o 抗o n 卿有环同构j 总可使m z m 含有一个m d 佗钯 多项式 由引理有m n z z 1 为 z 七 z l 陋 中极大理 第2 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 想 故只需证明有同构m n 1 掣mn 七 石1 即可 注意到有关于拉回的交换图 m n 七 1 一女陋1 m m nk k m 一七 z 1 现 k p 后陋l 2 司知命题前半部分得证 关于连续性可往证闭集的原像是闭集 令y j c 却n 凹 自 z 1 则有厂1 v 功 y j 陋1 因为v n y 有极大理想m 使七 嚣1 z z 三 m n z 2 2 z 2 则有极大理想m n 陋1 跏m n 自扛1 m n 陋1 2 佗 由n 的极大 性有 mn k n 故有广1 y 功 y p 1 又广1 y 功三y j k 是显然的 故广1 删 y j z 1 5 2 投射模的自由性 下面基于k a p l a n s k y 和b a s s 在文 9 5 中的结果给出主理想整环上的投射模均自由的一 个简洁证明 主要是不需要超限归纳法1 引理5 3 令尼勾环r 可非交换j m 为可数生成r 一模 若对m 的任意直和因子 有如下性质 中任意元可嵌入到 的一个自由直和因子中 则m 自由 证明3 2 由m 可数生成的 设其有可数生成系 m l j 一 k 由已知m l 可以嵌入m 的 一个自由直和因子 l 中 取 1 0p l m 若有m 2 隹 1 则将m 2 分解为m 2 n 2 n 礼2 v l p 2 p i 又由已知有仇可嵌入p 1 的一个自由直和因子中 故令 j 1op 2m 1 m 2 2 且 2 自由 由此作下去的自由直和因子列 批 批为m 的直和因子 icm 得m 自 由 第3 0 页 疆醛辩学按术丈学研究生院学位谂文 定理5 4 惭p f o 础纠加咖c 抚o n 加c o 扎t 0 6 冶 s 可 令露为琢尽 菲交换 掰走一置一貘 且掰霹表为一些可数生成投射模的纛翱 剥魁静 任意直和因子均为可数生成模的直和 证明3 3 见文肛可 推论5 心环霆犀菲交羧互e 救任意投射模均可表必一些可数生成投射模的直和 下帮络密主理想熬环上酌投射模溺自由豹一个简洁证疆 主要是不需要超黻归纳法 定理5 6 主理想整环上的投射模均自由 证明3 4 设p 为住理想整环覆 的投射模 由上西的定理及推论知只需证明p 必可数生成的 清况帮瑶 又由弓 理曩j 1 只要证舞p 中任意元素茹可嵌入至l p 豹一个鑫壶直帮翻子中邵可 令谢投射模q 傥印o p f 为自由模 设茹 p 取f 的一组基撕 l i o 使嚣 e 墨ln i 地 啦 r 叉令 虢十盏1 i 曼 其中弘 p 麓 0 则静 茁 啦虢 n 1 瓤l 岛n 粕n 取职 e 器1 其中只有有限个 o 取整数n 使有任意 o t j n ls 札 令l 氆觚 挖 盘 尉有 可1 蜘 u n 1 一 u n l 询 由主理想熬环上矩阵盼漩质有存在可逆矩阵e l 9 2 s 玩 固使s 1 2 苏域n n 第3 l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 则有 三 u n l 出叼 o 卜i o 牛 i o e t h 1 由e l i 1 均可逆有s 1 l l u i 生成的子模 与 9 1 l 地 相 同 而 1 地为 的子模 又 5 仳 钍n 1 仍为f 的一组基 故有z 皇o l l 所i 由r 为主理想整环有 二 r n 为p 的自由直和因子 命题得证 下而给出一个关于半局部环上投射模自由性的命题 定理5 7 半局部环r 上的任意投射模p 若有f p 儿c r p 为无挠 r 如c r 一模 则p 自 由 证明3 5 令r 为半局部环 p 为其上投射模 同样由引理5 知只要证明p 中任意元素z 可嵌 入到p 的一个自由直和因子中即可 令有投射模q 使q o p f 为自由模 设 p 取f 的一组基啦 1 使z l 吼 i o 见更令 玑 1 i 其中玑 只气 q 则有 z 0 鼽 n n 矾l n l l 凸n t h 第3 2 页 嚣醛科学技本大学研究生院学经论文 取鼽 器1 勺吩其中只有有限个 o 敬整数a 使有任意锄一 盘 1 鬟札 令f m a x n o 则有 掣l t 性n 1 a o i 球 木 牡l 札n 1 令j j a c r 取 一州e p 面 r t r 对女式取剩余类有 掣1 激 钍n 1 f 磊o i 半 书 l 锃 钍n l 蠢置为半是嫠舔骞黉阏构于有限个裁余类域豹直窝 爨在可邋怒箨再 磊 s 瓦 韵 晶 鞫使百 虿 五螂 珂 耐 其中爵 蕊待1 z 寺 吾三 n 1 趣 f 旋螂侬 o 蜂 水 i 1 三 钍i 魁n 钍n 1 铭 第3 3 页 黧济辩学技术大学研巍生院学位论文 由百 爵一1 均可逆有搿 万 甄 褫石 面 生成的子模 与 甄 甄 碟w 斫 相 嗣 露 珏n 1 扔为 静一缀熬 由 的无挠性并注意到蕊的性质有焉一ii 1 f 辛d e t 9 1 q s 2 l j j i 0 c r 为r 中可逆元 又由蜀 西 具有可提升性 有s l e 2 可逆 g 诌可逆 故 啦 1 构 残f 翡一缝基 警1 氆 霹嵌入p 豹一令垂受嚣予孛 p 鑫囊褥证 定理5 8 任意环冗若霄r 尻c r 为熏理想整环则r 上任意投射模均自由 证明与上面两条定理类似这里从略 第3 4 页 鬻黪科学技术夫学耩究生院学毽论文 致谢 本文是在我的导师冯良贵教授的精心指姆下完成的 在论文形成过程中 作者无论在 工僚还是在生活上都褥列了导师冯良责教授鲍哭心秘支持 在定稿髓 冯教授多次 郓貔讨 论 势捷篷了绞多宝舞瀚懑冕 冯老 摹严谨豹渗学态度 敏锐戆懑鼹 锲露不舍嚣精享枣鞫为 人j f l i 表的风范是我今后从事各项学术研究的楷模 他对我的悉心教诲将使我终身受益 感 谢他对我的论文以及工f 仁给予了悉心指导和必怀 我所取得的成绩都是他无私的帮助和精 心螭养的结果 感谢俘者酌同学稳羰 勰液娥 王不了 蠡森 陈俊英等 程论文写终絮闻 德销都与 侉卷进行过讨论 提壅了缀多宝贵静意觅帮纛议 捷作者受益嚣浅 王不了还壹蔹参与了论 文的打印排版工作 在i 塞里对他表示由衷的感谢 感谢毛紫阳老师在论文排版中给予我的 悉心帮助 感谢理学院研究生队和数学系领导对我学习上蛉支持 工作和斑活上的关心 感谢所 蠢绘j 霪我謦魏的嗣学窝跤友 第 3 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 发表文章目录 1 杨涌 b e 舡准则的一个新证明 国防科学技术大学第五届研究生学术活动节论文 集 2 0 0 5 上册 3 1 肚3 1 5 第3 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 参考文献表 1 a t i y a hm f a n di g m a c d o n a l d i n t r o d u c t i o nt oc o m m u t a t i v ea k e b r a 2 d e i s e n b u da n de g e v a n 8 g e n e r a t i i l gm o d u l 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