加强数学活动的教学 全面提高学生素质和能力.pdf

黑龙江高教研究 1 9 94 年第 5 期 加强数学活动的 教学全面提高学生素 质和能力 郭伟艳 数学教育的目的是什么 这是数学教育的首要问题 随着数学及其应用的发展和科技的进步 人们对 数学教育目 的的认识 也在不断深化和发展 5 0年代认为数学教育的目的是传授知识 因此 数学教学是 关于数学活动所得结果 数学知识传授的注入式教学 7 0年代末期开始认识到数学教育应该对知识 和能力并重 但这时对能力的培养往往也只限于在运用已有知识的范围内进行 近些年来 已经认识到数 学教育的目的应该包括传授知识 培养技能和发现创新能力 形成学生良好个性品质 数学教育的 目的已 不再是仅仅让学生掌握一些已有的知识 而是要在学生特定认知结构和心理发展水平的基础上 把数学 作为材料和工具 通过数学学习和数学问题研究解决等数学活动 在探索研究和知识与方法应用的实践 中 既增加学生的知识 又提高学生的素质 并强化进行数学活动 特别是数学发现活动 的能力 同时形 成科学的世界观和方法论 使学生得到发展 上述当代的数学教育目的观 使数学教学具有如下两个基本特征 其一是教学与发展相结合已成为 数学教学的一项基本原则 其二是数学教学已不再仅仅是前人数学活动结果 数学知识传授的教学 而是关于数学活动的教学 所谓数学活动的教学 其主要的基本要求是在教学活动中应该体现出一定结 构的思维活动的形成与发展 应该在教学中展现提出数学问题及其研究解决的展开过程 同时展开学生 的思维 把学生作为认识和研究解决问题的主体 教师为学生创造必要的条件 使他们与周围 世界 包 括教材 教师 同学及客观现实世界 发生作用 亲自动手去探索研究和解决呈现在他们面前的间题 在这 个活动过程中增长他们的才干 发展他们的个性 因此 把学生作为认识和研究 者的主体 及 教师创造 恰当的情境 在学生面前呈现力所能及的问题 已成为积极的数学活动教学的两个必要条件和基本特 征 教师的主要作用是使学生在恰当的间题情境中展开积极思维活动 帮助他们在活动中获取数学知识 和理解数学的实质与思想方法 使他们得到多方面的训练和发展 这就要求我们把教师单纯讲授和解释 教材 学生从教师讲解中学习的单向输出和接受的封闭式教学模式 转变为学生与教材 问题 发生直接 联系 教师帮助在学生与间题之间架起必要的桥梁 给学生必要指导与提示 并作必要组织的师生共同研 讨的开放式教学模式 由于种种原因 目前我国的教科书 大多数都不介绍学科中概念 定理及方法是如何引出和形成的 而是按照对数学活动成果进行逻辑加工后的定义 定理 推论的形成演绎系统展开的知识体系 从而数学 活动中生动活泼的思维过程 就被淹没在论证和逻辑之中了 因此 按数学活动的教学要求 教学的主要 任务之一就是要将按逻辑演绎结构编写的教材 还原为能体现生动活拨的数学思维活动的数学材料 作 为数学活动的教学 教师就不应该只是在黑板上依据课本讲解一遍 而是要创设问题情境 讲间题的原始 75 思想和分析问题 解决间题的念头 这一工作恰好和书上的演绎途径相反 但是 当前数学教学中仍然存 在着较普遍的形式化倾向 教学中只强调讲解知识体系严谨的逻辑演绎 只关注逻辑演绎推理能力的培 养 对于知识和定理的问题来源 直观背景 探索研究中思维活动过程的来龙去脉 都很少揭示和分析 讲 课时注意力集中在讲解数学活动后期的演绎论证步骤上 只涉及数学活动后期对已有知识的论证确认 丢弃了数学活动中前期思维活动过程中生动的创造思想 这样进行数学教学自然难以培养学生在今后实 践活动中运用数学进行数学活动的能力 常常是使许多学生只能形式地理解和记忆数学知识 很难真正 学懂 不仅不能掌握数学思维方法和数学思想 而且往往会感到数学枯燥无味 丧失对数学的学习兴趣 因此 当前数学教学改革应该强调怎样将传统的知识传授的注入式教学转变为培养学生数学活动能力的 数学活动教学 下面以 数学分析 中 微分学中值定理 这一内容的教学方案为例 谈谈笔者对如何进行数学活动教 学的设想和认识 一 问题提出 教学 中问题情境的建立 二 二 二二 二二 y二撬 寸弋11 山凡l 州女凡y l 入户 翻比六执盖0 目习 刁二女义 f 戈入O户 丸兰山之艺闷下竺汀U乍又抖又不 匕少气汀U 乒尸 乙之入 t x 一frx X 一 X O y 二 U m 二 八x 这个定义式中 差商乞 f x o l im 里一t 兮 f 发 一f x 二二二 一 X 一 X O 涉及到不同点 X 及 x 的函数值 它表征对某一区间间隔上 y 关于 的 平均变化率 反映函 大范围 上的性质 而导数f x 一豁 表征的是由 平均变化率 得 到的在一卜点处 y 对 的 瞬时变化率 它已不涉及其他点的值 只反映一点附近局部 协 范围 的性质 可见导数定义体现了由大范围内性质去确定局部性质的思想和方法 现在硫与上述思想相反的间题 我们能否根据反映函数局部性质的导数 去推出或确定函数在 大 范由 的性质呢 也就是能杏用导数去表示差商呢 为此我们就应该寻求函数在给定区间上的差商与区间 上函数导数之间的关系 以便据其由导数性质去推出函数性质 我们研究解决这个问题得到的差商和导 数之间的基本关系式 就是通常月暇兑 的 微分学中值定 理 卜 二 关于问题解答的研究探索和猜想 由于数学问题通常都有直观的背景和原型 将给定的数学间题转化到几何直观上进行观察和分析 常常会借助形象思维帮助我们从直觉上整体把握对象间的关系 因此我们对上述问题可以首先利用几何 模型进行直觉性几何直观的观察分析 去探求和猜测对象间的关系和问题的答案 为间题研究的方便和 确定起见 根据我们的间题 可做如下的假设 条件限定 l 函数f x 在区间 x x Z 内可微 从而函数在相应于 x xZ 内的曲 线图形上处处有切线 2 函数f x 在区I b J x xZ 上连续 我们的工作就是要在上述条杯去探求差商粤争能否用 雕 x l x z 内的导数去表示 几何直观的观 析 如图 所补差商霎 哭聋 业 一粉割 弦 P I P Z 的斜率 导数 x M曲 线上点 x f x 处切线的斜率 我们想象 如果把割线P l p 作与其自身的平行移动 那么将至少有一次 会使之与曲线上某点P 屯 f优 处的切线重合 这就说明在 x 交 内至少存在一点仁 使得 f 幼 f 翔 一f xz X Z一X l 76 因此 我们可对问题的解答做出如下猜想 如果函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可微 则存在 屯任 a b 满足 f 心 f b 一f a b一 a 或f b 一 f a r 心 b一 a 一 f b 一 a 一 一 一 即麦同一一二一代尸一电用点毛处导致 f 叽 表不 U 一 改 三 对上述猜想逻辑证明和演绎推广的探索研究 依据直觉思维做出的判断不一定正确 在数学中必须再做 严格的逻辑论证才能被确认 为此 我们按常用的从特殊到一 般的探索研究方法 先对猜想中的简单特殊情况给予证明 然 后再借助特殊情形的启发展开更广泛的探索研究 从而找出关 于一般情形下对猜想的证明和演绎推广 1 我们 首先考虑当割线p lp 平行o x轴时对猜想的证明 这 时我们需证的命题如下 罗尔定理 若f x 在 a b 上连续 在 a b 内可微 且有f a f b 则存在屯任 a l b 使得 尸 屯 0 该定理证明是关于存在性命题的证明 可先通过由假设保证的最值点 及该点处切线状态发现证明 方向 具体证明如教材所述 本文从略 2 据罗尔定理我们可以进一步发现 如果区间臼 b 上的两个连续函数f x 和或x 都在 a b 内可 微 且有 一 a f b 一8 b 则F x f x 一g x 在所给区间上满足罗尔定理条件 因此至少有一 点屯任 a b 使得 P 动 o 从而可知如下命题成立 命题 l 若 f x 和g x 都在区l h J a b 上连续 都在 a b 内可微 并且 f a 一g a f b 一s b 则存在屯任 a b 使得f 屯 g沈 其几何意义如图2所示 证明表述从略 3 易见 命题 l的一个特殊情形是命题中函数g x 对应的 曲线图形是图 1 中的割线 plp 这时r a 二g a f b g b g x f b 一f a b一a x 一 a f a g x f b 一f a b一民 从而据命 题 1可知存在关 a b 使得f 屯 g l伏 f b 一f a b一 a 由此可 知我们的猜想当割线P l p 不平行o x轴时也成立 从而得到如下 的拉格朗日中值定理 定理 若函数f x 在 a 的上连续 在 a b 内可微 则必 存在屯任 a b 使得等式 r b 一r a r 心 b一a 成立 图 2 据上面对该定理的导出过程 不难写出其严谨的逻辑证明 本妇寸证明从略 J 我们再观察命题 1 不难发现 如果在命题 1 的前提中增加如下假设条件 对v x 任 a b 皆有官 x 笋0 则可见 命题 1 的结论可改写为日屯 e a b 使得黯 又因为当抓x 在 a b 上连续 在 a b 内可微时 据罗尔定理可得知 当上述假设 二 成立时 必然 有g a 笋g b 从而得出如下事实 命题2 若f x 和 s x 都在 a b 上连续 都在 a b 内可微 但满足f a 一g a f b 一g b 又 一 f 屯 f b 一f a 户 一 对任意 x a b 皆有g x 尹O 则必然存在屯 任 a b 使得扮兴 兰 食 任 一士 兴 令 成立 J 二 一 1 一 J 阵 一 一 人 g 动g b 一g a 一一 这一命题表明 对满足命题2四条假设的函数 f x 和 g x 它们的差商 在 a b 中某一点屯的导数值表示 f b 一f a g b 一g a 可用 f x 和8 x 5 现在考虑 命题2的结论 是否可以推广到更一般的情形一若将f a 一 a 二f b 一 b 这一条 件限制去掉 即f a 一g a 笋f b 一抓b 时 命题2的结论是否仍然成立呢 由于命题 2是在命题1基础上导出的 而命题1是对辅助函数F x f x 一抓x 应用罗尔定理得到 的 因此我们可以考虑沿用由罗尔定理导出命题1的思想方法来研究上述间题 易见 如果这时仍然用辅 助函数F x f x 一s x 是得不到 F a F b 的 因此这时就不能对F x 应用罗尔定理 但是这时我们 可考虑 能否选择适当的常数 用 构造辅助函数K x 二f x 一昭 x 使得 K a K b 若这样常数 存在 我们就可以对K x 在 a 应 罗尔定理 得到 a b 使得毙一 至此我们看到 若取 f b 一f a 以一抓b 一3 a 能使K 幼 K b 那么我们的问题就解决了 这一事实是很容易验证的 由此我们得到如 下的柯西中值定理 定理 若f x 和g x 都在 a 的上连续 都在伍 b 内可微 并且对v x 任 a b 皆有g x 护O 则必 存在屯任 a b 使得g 乙 f b 一f a g b 一S a 该定理的证明见课所述 本文从略 笔者认为 赶述教学过程体现了数学活动教学的特征 与按教科书编排内容讲授的传统教学相比 具 有如下一些实质性区别 1 传统教学往往只按教材内容讲解 传授已有定理和证明 或者再附以事后的说明和注释 实质上 是注入式教学 而上述教学方案是对间题解决的探索研究过程的体现 展现了探索研究和发现过程中生 动活泼的思维过程 实质上是在数学活动中师生共同探索发现 供学生获得新知识的启发式教学 2 传统教学内容只是对数学活动后期进行已有理论论证和知识确认的教学 往往只重视逻辑检验 因此只注重逻辑推理能力 不利于学生素质的提高 而上述教学方案却体现着教学活动中直觉思维与逻 辑思维相辅相承的密切结合 有利于学生两种思维形式的发展 因此可以更好地培养学生素质与能力 3 传统教学只注重知识传授和逻辑论证的讲述 使许多学生在这种教学中往往 只是形式地理解和 记忆 甚至感到枯燥无味 进而丧失数学兴趣 而上述教学方