湖北省新洲一中、红安中学、麻城一中高三数学上学期期末联考试卷 理（含解析）.doc

湖北省新洲一中、红安一中、麻城一中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合，则ab等于（）a2，4b0，2c2，4）d0，8考点：其他不等式的解法；交集及其运算.专题：计算题；不等式的解法及应用分析：通过解分式不等式求出集合a，函数的定义域求出集合b，解答：解：因为a=x|0x4，=x|x2+10x160=x|2x8ab=x|2x4故选c点评：本题考查分式不等式的解法，好的定义域的求法，集合的交集的运算，考查计算能力2（5分）已知数列an为等比数列，且a4a6=2a5，设等差数列bn的前n项和为sn，若b5=2a5，则s9=（）a36b32c24d22考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可知，结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式s9=9b5可求解答：解：由等比数列的性质可知，a5=2b5=2a5=4则s9=9b5=36故选a点评：本题主要考查了等差数列的性质、求和公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题3（5分）将函数f（x）=cos（+x）（cosx2sinx）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）a最大值为，图象关于直线对称b周期为，图象关于对称c在上单调递增，为偶函数d在上单调递增，为奇函数考点：函数y=asin（x+）的图象变换；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性.专题：三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x），根据函数y=asin（x+）的图象变换规律求得g（x）=sin2x，从而得出结论解答：解：函数f（x）=cos（+x）（cosx2sinx）+sin2x=cosx（cosx2sinx）+sin2x =cos2x+sin2x=sin（2x），把函数f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）=sin2（x+）=sin2x 的图象，故函数g（x）在上单调递增，为奇函数，故选d点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质，属于中档题4（5分）（2012朝阳区二模）在abc中，|=2，|=3，且abc的面积为，则bac等于（）a60或120b120c150d30或150考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用分析：由题意可得bac 为钝角，且 23sinbac=，解得sinbac=，从而得到bac 的值解答：解：在abc中，|=2，|=3，且abc的面积为，bac 为钝角，且 23sinbac=，解得sinbac=，故bac=150，故选c点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题5（5分）若一个正三棱柱的底面边长为2，高为2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）abcd考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径r=，用球表面积公式即可算出该球的表面积解答：解：设三棱柱abcabc的上、下底面的中心分别为o、o，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段oo中点o1，oa=ab=，oo1=aa=1o1a=因此，正三棱柱的外接球半径r=，可得该球的表面积为s=4r2=故选：c点评：本题给出所有棱长均为2的正三棱柱，求它的外接球的表面积，着重考查了正三棱柱的性质、球的内切外接性质和球的表面积公式等知识，属于基础题6（5分）已知偶函数y=f（x）（xr）在区间0，3上单调递增，在区间3，+）上单调递减，且满足f（4）=f（1）=0，则不等式x3f（x）0的解集是（）a（4，1）（1，4）b（，4）（1，1）（3，+）c（，4）（1，0）（1，4）d（4，1）（0，1）（4，+）考点：奇偶性与单调性的综合.专题：综合题；数形结合；函数的性质及应用分析：作出函数f（x）的草图，x3f（x）0，根据图象即可解得不等式组的解集解答：解：根据题意作出函数y=f（x）的草图：由图象知，x3f（x）0或，解得0x1或x4或4x1，故选d点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题7（5分）（2013惠州模拟）如图，设点a是单位圆上的一定点，动点p从a出发在圆上按逆时针方向转一周，点p所旋转过的弧的长为l，弦ap的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）abcd考点：正弦函数的图象.专题：压轴题；数形结合分析：根据题意和图形取ap的中点为d，设doa=，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案解答：解：如图：取ap的中点为d，设doa=，则d=2sin，l=2r=2，d=2sin，根据正弦函数的图象知，c中的图象符合解析式故选c点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力8（5分）已知函数f（x）=lnx+3x8的零点x0a，b，且ba=1，a，bn*，则a+b=（）a5b4c3d2考点：函数的零点.分析：由f（2）f（3）0，和函数的单调性可得函数唯一的零点x02，3，进而可得ab，可得答案解答：解：f（x）=lnx+3x8，可得函数为（0，+）上的增函数，而且f（2）=ln220，f（3）=ln3+10，即f（2）f（3）0，故函数有唯一的零点x02，3，且满足题意，故a=2，b=3，a+b=5，故选a点评：本题考查函数的零点，涉及对数的运算，属基础题9（5分）=1上有两个动点p、q，e（3，0），epeq，则的最小值为（）a6bc9d考点：向量在几何中的应用.专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想分析：根据epeq，和向量的数量积的几何意义，得=ep2，设出点p的坐标，利用两点间距离公式求出ep2，根据点p在椭圆上，代入消去y，转化为二次函数求最值问题，即可解得结果解答：解：设p（x，y），则，即epeq，=ep2，而ep2=（x3）2+y2=，6x6当x=4时，ep2=（x3）2+y2=有最小值6，故选a点评：此题是个中档题考查了向量在几何中的应用，以及向量数量积的几何意义，和椭圆的有界性，二次函数求最值等基础知识，注意椭圆的有界性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力10（5分）定义在r上的可导函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2），且当x0，2时，则与的大小关系是（）abcd不确定考点：导数的几何意义；不等关系与不等式.专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：首先利用导数即可判断函数的单调性，再利用函数的奇偶性、周期性把与的自变量变换到区间0，2即可得出解答：解：f（x2）=f（x+2），f（x+4）=f（x）又f（x）=f（x），当x0，2时，令x=0，则，解得f（0）=2f（x）=ex+x0，（x0，2）函数f（x）在区间0，2上单调递增，即故选c点评：熟练掌握函数的奇偶性、周期性、利用导数研究函数的单调性是解题的关键二、填空题：本大题共5小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填写在答题卡对应题号的位置上11（5分）（2012奉贤区二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题分析：先由三视图确定原几何体，在根据条件找到原几何体的边长关系，进而可求得体积解答：解：由三视图可得原几何体如图：其中paab，paac，abac，pa=ab=ac=1三棱锥的体积为：故答案为：点评：本题考查三视图，由三视图求原几何体的体积和面积，关键是由三视图中的平行垂直关系，确定原几何体中的平行垂直关系；又三视图中的长度关系，确定原几何体中的长度关系属简单题12（5分）（2009宁波模拟）设abc的内角a，b，c所对的边长分别为a，b，c且acosbbcosa=c，则的值为4考点：正弦定理的应用.专题：计算题分析：先根据正弦定理得到sinacosbsinbcosa=sinc，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinacosb=4sinbcosa，然后转化为正切的形式可得到答案解答：解：由acosbbcosa=c及正弦定理可得sinacosbsinbcosa=sinc，即sinacosbsinbcosa=sin（a+b），即5（sinacosbsinbcosa）=3（sinacosb+sinbcosa），即sinacosb=4sinbcosa，因此tana=4tanb，所以=4故答案为：4点评：本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用13（5分）已知x、y满足不等式组，若o为坐标原点，m（x，y），n（1，2），则的最小值是4考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算.专题：不等式的解法及应用分析：由不等式组画出可行域，再由给出的两个点的坐标写出的表达式，利用线性规划知识求线性目标函数的最小值解答：解：由不等式组得可行域为abc的边界及其内部，如图，由xy=2，2x+y=2解得a（0，2）由xy=2，x+2y=2解得b（2，0）由x+2y=2，2x+y=2解得c（2，2）m（x，y），n（1，2），=（x，y），=（1，2）则=x2y令z=x2y，则，要使z最小，则直线在y轴上的截距最大由可行域可知，当直线过点a（0，2）时截距最大，所以z的最小值为022=4即的最小值是4故答案为4点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了数学转化思想，训练了线性目标函数最值的求法，解答此类问题，最好的方法是把线性目标函数转化为直线方程的斜截式，把求目标函数的最值问题转化为求直线在y轴上的截距最大或最小问题是中档题14（5分）已知直线l：x+y9=0和圆m：2x2+2y28x8y1=0，点a在直线l上，b、c为圆m上两点，在abc中，bac=45，ab过圆心m，则点a横坐标范围为3，6考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题；直线与圆分析：将圆的方程化为（x2）2+（y2）2=（ ）2，设a（a，9a）当a2时，把bac看作ab到ac的角，又点c在圆m，由圆心到ac的距离小于等于圆的半径，求出a的范围当a=2时，则a（2，7）与直线x=2成45角的直线有y7=x2，m到它的距离，判断这样点c不在圆m上不成立解答：解：圆m：2x2+2y28x8y1=0方程可化为（x2）2+（y2）2=（）2，设a点的横坐标为a则纵坐标为9a；当a2时，kab=，设ac的斜率为k，把bac看作ab到ac的角，则可得k=，直线ac的方程为y（9a）=（xa）即5x（2a9）y2a2+22a81=0，又点c在圆m上，所以只需圆心到ac的距离小于等于圆的半径，即，化简得a29a+180，解得3a6；当a=2时，则a（2，7）与直线x=2成45角的直线为y7=x2即xy+5=0，m到它的距离d=，这样点c不在圆m上，还有x+y9=0，显然也不满足条件，综上：a点的横坐标范围为3，6故答案为：3，6点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，还涉及了直线中的到角公式，点到直线的距离等15（5分）下列命题：（1ex）dx=1e；命题“x3，x2+2x+10”的否定是“x3，x2+2x+10”；已知xr，则“x2”是“x1”的充分不必要条件；已知，=（2，1），则在上的投影为2；已知函数的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于对称，其中正确的命题是考点：命题的真假判断与应用.专题：计算题；阅读型分析：对于命题，直接求积分即可判断真假；命题是全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，由此可判断命题的真假；命题由x2能推出x1，但由x1不能推出x2；命题考查了向量在向量上的投影，首先求出给出的两个向量的数量积，再求出向量的模，则在上的投影可求；命题首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出的值，的导函数解析式后把代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是解答：解：（1ex）dx=1（e1e0）=2e，命题错误；命题“x3，x2+2x+10”的否定是“x3，x2+2x+10”，命题错误；由x2，一定有x1，反之，由x1，不一定有x2，如x=“x2”是“x1”的充分不必要条件，命题正确；由，=（2，1），设与的夹角为，则=3（2）+4（1）=10，在上的投影为命题错误；由f（x）=sin（x+）2，则f（x）=cos（x），函数的导函数的最大值为3，=3则f（x）=sin（3x+）2，而=3，函数f（x）的图象不关于对称命题错误所以正确的命题为故答案为点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了微积分基本定理，训练了复合函数的求导法则，正确理解向量在向量上的投影是解答该题的关键，此题是中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知命题ax2+ax2=0在1，1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a0，若命题“p”或“q”是假命题，求a的取值范围考点：复合命题的真假.专题：计算题分析：对方程a2x2+ax2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）利用根在1，1上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x2+2ax+2a0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围解答：解：由题意a0若p正确，a2x2+ax2=（ax+2）（ax1）=0的解为或（3分）若方程在1，1上有解，只需满足|1或|1a1或a1（5分）即a（，11，+）（7分）若q正确，即只有一个实数x满足x2+2ax+2a0，则有=4a28a=0，即a=0或2 （9分）若p或q是假命题，则p和q都是假命题，（11分）有所以a的取值范围是（1，0）（0，1）（14分）点评：本题考查命题真假的判断，利用因式分解求出方程的根是解决本题的关键，再根据一元二次不等式与二次方程的关系转化相应的不等式问题，考查学生的等价转化思想，考查学生对复合命题真假的判断准则17（12分）已知函数，ar且a0（1）若对xr，都有f（x）0，求a的取值范围；（2）若a2，且xr，使得f（x）0，求a的取值范围考点：函数恒成立问题.专题：转化思想；函数的性质及应用分析：（1）f（x）可变为：令t=sinx（1t1），则，则任意xr，f（x）0恒成立g（1）0，g（1）0，解出即可；（2）xr，使得f（x）0，等价于f（x）min=g（t）min0，当a2时，由g（t）在1，1上的单调性易求其最小值；解答：解：（1）令t=sinx（1t1），则，对任意xr，f（x）0恒成立的充要条件是解得a的取值范围为（0，1；（2）因为a2，所以，g（t）在1，1上递增，所以，因此于是，存在xr，使得f（x）0的充要条件是，解得0a3，故a的取值范围是2，3点评：本题考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决，体现了转化思想，注意区分“恒成立”与“能成立”的区别18（12分）在等差数列an中，a1=1，前n项和sn满足条件，（）求数列an的通项公式；（）记bn=anpan（p0），求数列bn的前n项和tn考点：等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；数列递推式.专题：压轴题；分类讨论分析：（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故an可求；（2）求出bn，分p=1和p1两种情况讨论，然后利用错位相减法求和解答：解：（）设等差数列an的公差为d，由得：=3，所以a2=2，即d=a2a1=1，所以an=n（）由bn=anpan，得bn=npn所以tn=p+2p2+3p3+（n1）pn1+npn，当p=1时，tn=；当p1时，ptn=p2+2p3+3p4+（n1）pn+npn+1，（1p）tn=p+p2+p3+pn1+pnnpn+1=，即tn=点评：本题主要考查对数列递推关系的观察能力和利用错位相减法求和的能力，难度中等，注意分类讨论思想的应用19（12分）在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abcd，abbc，（1）求证：面pad面pac；（2）求二面角dpbc的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.专题：综合题；空间角；空间向量及应用分析：（1）设pa=ab=bc=cd=a，连接ac，在rtabc中，ac=a，在直角梯形abcd中易求得ad=a，所以ad2+ac2=cd2，由此能够证明面pad面pac（2）以b为原点，ba，bc所在直线分别为x轴，y轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角dpbc的余弦值解答：（1）证明：设pa=ab=bc=cd=a，连接ac，在rtabc中，ac=a，在直角梯形abcd中易求得ad=a，所以在dac中有：ad2+ac2=cd2，acad，又pa底面abcd，paac，ac平面pad，ac平面pac面pad面pac（6分）（2）以b为原点，ba，bc所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示坐标系，则a（a，0，0），b（0，0，0），c（0，a，0），d（2a，a，0），p（a，0，a），设平面pbc的法向量为=（x，y，z），平面pbd的法向量为=（x，y，z），=（a，0，a），=（0，a，0），=（2a，a，0），由，得：ax+az=0，y=0，ax+az=0，2ax+ay=0z=x，y=0，y=2x，z=x，=（1，0，1），=（1，2，1）cos，=设二面角dpbc的平面角，由图形易知为锐角cos=|cos，|=（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面的余弦值的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用20（13分）已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点f1的直线l交椭圆c于p、q两点（i）求椭圆c的方程；（ii）在x轴上是否存在一点m，使得恒为常数？若存在，求出m点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：综合题分析：（i）根据题意设出椭圆的方程，根据长轴2a的长和离心率e=，列出方程组求出a与c的值，然后根据椭圆的性质求出b的值，把a与b的值代入设出的椭圆方程即可确定出椭圆c的方程；（ii）根据（i）求出的c的值写出椭圆左焦点f1的坐标，假设在x轴上存在一点m（t，0），使得恒为常数，分两种情况考虑：当直线l与x轴不垂直时，设出过左焦点f1的直线方程，以及p和q两点的坐标，把所设的直线方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积，然后表示出，把其中的纵坐标代换为横坐标，化简后将求出的两根之和与两根之积代入得到一个关系式，由此关系式与k的取值无关，得到关于t的式子为0，即可求出此时t的值，从而此时这个常数；当直线l与x轴垂直时，求出p与q两点的坐标，且求出t及的值，与中求出的常数相等，综上，在x轴上存在一点m，使得恒为常数解答：解：（i）设椭圆c的方程为由题意，得，解得，所以b2=2（3分）所求的椭圆方程为（4分）（ii）由（i）知f1（1，0）假设在x轴上存在一点m（t，0），使得恒为常数当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+1），p（x1，y1）、q（x2，y2）由得（2+3k2）x2+6k2x+（3k26）=0（6分）所以，（7分）=（x1t）（x2t）+y1y2=（x1t）（x2t）+k2（x1+1）（x2+1）=（k2+1）x1x2+（k2t）（x1+x2）+k2+t2=因为是与k无关的常数，从而有，即（10分）此时（11分）当直线l与x轴垂直时，此时点p、q的坐标分别为，当时，亦有（13分）综上，在x轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为（14分）点评：本题考查椭圆的应用，及平面向量的运算法则，考查了分类讨论的数学思想关键是看清题中给出的条件，灵活运