合理设计 追求高效——从高三复习课“圆锥曲线中的最值与范围问题”谈起.pdf

2 0 1 3年 第 5 2卷 第 1 O期 数 学通报 4 3 合理设计追求高效 从高 三复 习课 圆锥 曲线 中的最值 与范 围问题 谈起 张 跃 红 南京 师范大学附属 中学 高三 的 复习 时 间是 短 暂 的 如 何 科 学 合 理 地 设计教学 真正达到高效课堂的目的 是每一位高 三一线 教 师都 要 认 真 思 考 的问 题 本 文 结 合 高 三 复 习课 圆锥 曲线 中 的最值 与 范 围问题 的教 学 设 计 针对如何实现高效课堂的话题 谈一些想法与 同行 交流 1 教 学 设计 教师首先提出问题 1 请 同学们思考解决 1 1 最值 与范 围问题 的思 考方 法 问题 1 在 平 面 直 角 坐 标 系 z Oy中 设 AB 2 是 过椭 圆 Y 一 1中心 的弦 椭 圆 的左 焦 点 为 F 则 F AB面积 的最 大值 为 经 过认 真 思考 学 生们都 有 了 自己 的想 法 之 后 教 师请 学 生 交流 想 法 从 交 流 的情 况 看 学 生 解 决这 个 问题 大致 有两 个 角度 1 1 1 借 助 几何 图形 解决 问题 方法 一 如 图 1 可 将 F AB 分 成 两 部 分 即 F A0 和 AF B 0 欲 求 k F AB 的 面积 即求 F A0 与 F B0面 积 的和 若 F A0 与 F B 0 面积 同时取最大 则 F AB的面积最大 B o X 图 1 在 F AO 中 由题 设 可 知 F O一 3 若 F AO面积取最大值 只需点 A到线段 F O 的距 离 最 大 由 图 1观 察 可 知 当点 A 为 椭 圆 的 上 顶 点 时 到线 段 F 0 的距 离 最 大 即 A0 1 利用 三 角形面积公式 求出 F A o面积的最大值为 21 00 03 同理可 知 当点 B为 椭 圆 的下顶 点 时 F B O 面积取 得最 大 最 大值 为 所以 F AB面积的最大值为 3 1 1 2建立 目标 函数 解 决 问题 方 法二 设 直 线 AB 的 斜率 存 在 设 其 方程 为 y k x A z l y 1 B z 2 Y 2 f 一 k x 联 立 方 程 组 1 z 一 1 消 去 得 一 4 0 即 z z z 一 z 一一 又 A B一 z 1 一Lz 2 1 一y 2 一 z 1 3 2 2 k x 1 k x 2 一 L 1十 L L 3 2 1 十 z2 一 4 z X2 J 将 z 一0 z z 一一 代入 式 化 简 得 A B 一 4 又点 F 到直线 AB 的距离 一 S 1 A B 1 4 盟 4 k 2 F 1 一9 一 3 k 2 4 k 1 由题设 可 知 k R且 是 O 所 以 S A FAB 一 2 3 k 2 2 当直线 AB 的斜率不存在 时 其方程为 3 2 4 4 数 学通报 2 0 1 3年 第 5 2卷 第 1 0期 一0 则 AB一2 点 F 到 直 线 AB 的距 离 d一 足 点 A 那 么问题 l 还 有其他 的解 法吗 故有 S 聃 一 经过认 真思 考 学 生又 提 出以下两 种方 案 综 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 F AB 的面积取最大 最大值 为 3 在解 决完 问题 1之 后 针 对 学 生 提 出 的两 个 角度 师生 共 同进行 了 回顾 总结 概 括 出解 决 最 值 与范 围 问题 的两个 思考角 度 1 借助几何图形 认真观察 寻找存在 最值 与 范 围 的特 殊位置 2 结合 所 求 目标 建 立 相 应 的 目标 函数 通 过 代数 方法 求此 函数 的最值 与范 围 接 下来 一 一 个 很 自然 的问题 是 如果 要 建立 日 标 函数 究竟 用谁 来建 立 l1 2 动 因 如 何分 析 教 师针 对方 法二 提 出问题 为什 么要 用直 线 AB 的斜 率来 建市 目标 函数 经过 思 考 有 学 生 指 出 欲 求 A F AB 面积 的 最大值 说明 F AB是变化的 否则 只能 是求其 值 那 么 谁让 F AB变化 呢 从 已知条件来看 应该 是直 线 AB 因为点 F是 定 点 直线 AB又 为 什 么动 呢 已知它 过原 点 所 以是 斜率使 其 运动 这样 就分 析 出 F AB 面 积 的 动 因 从 而用 动 因 即斜率 来建 立 目标 函数 也 有学 生指 出 AF AB 面 积 的 动 因 是 点 A 或点 B 因为 直 线 AB动 可 看 作 是 点 A B在 动 而 A B两点 一个 主动 一个 被 动 这 是 因为 直 线 AB过原 点 且两 点只 能确定 一 条直 线 所 以一 日 点 A 确 定 点 B就会 随之确 定 了 我 们 知道 当一 条 直 线 在 经 过一 定 点 的情 况 下 欲使之运动 可以从两个方面做到 一是使其 斜率变化 二是让其再过一动点 所 以 学 生对于 F AB 面积 动 因 的分 析 表 面上 看好 像有 所不 同 但本质上是一致的 当所 求 目标 的 动 因 分 析 出来 以后 即 可利 用 动因 来建 立 目标 函数 然 后 寻找 动 因 的范 围 即函数的定义域 进而求出 目标 函数 的最值 或 范 围 即 函数 的值域 那 么 用 哪一 个量来 刻 画 动 因 呢 1 3刻 画 动 因的量 如何 选择 教 师针 对学 生 分 析 的两 种 动 因 提 出 问 题 既然问题 1的 动因 可 以是直线的斜率 也可 以 方法 三 设 点 A n 由于 直线 AB 过 原 点 且 椭 圆是对称 的 所 以点 B为 一M n 则 直线 AB的方 程是 1 1 3 5 一my 0 由两点问的距离公式得 AB一2 m n 又 点 F 到 直 线 A B 的 距 离 d 所以 S 一 A B d 一告 2 F 丽 I n l 由点 A为椭圆上任意一点 则有 o l n l 1 所 以 S F A 一 3 l 1 1 l 3 所 以 当且仅 当 l n l l时 F AB面 积 取 最 大 最大值为 3 方法 四 设 直 线 AB 的 方 程 为 z A 3 1 B z2 3 J 2 r z m y 联 立 方 程 组 1 荨 y z 一 1 消 去 z 得 4 一 4 0 即 l 3 2 0 2 一一 m z 4 则 l 一 z l 一 一 4 1 S F B s F A o s 朋 一告 F O I 1 2 1 一 4 z 由题设 可知 m R s 一 2 1 2 一 所 以 当 且 仅 当 7 1 0时 AF AB 面 积 取 最 大 最大值为 3 教师请 学生针对方法二 三 四进 行 比较分 析 在经 过 认 真 研 讨 后 学 生 纷 纷 表 达 了 自己 的 想 法 三种 方法 均属 于利用 动 因 来 建立 目标 函数 的 所 以分 析 清 楚 动 因 是 解 决 问 题 的首 要 条 件 在清楚 动 因 的情况下 用哪 一个量来 刻画 动 因 则 是解决 问题 的关 键 在 三种 方法 中 方 法 四和方法 三 相对简 单 方 2 0 1 3年 第 5 2卷 第 1 0期 数 学通报 4 5 法 四简 单 的原 因 是 直 线 的设 法 无 需 讨 论 直 线 斜 率不存在的情况 及利用了 降维 的思想 即把平 面 内 两 点 之 间 的 距 离 及 点 到 直 线 的 距 离 二 维 均 转化 为坐 标轴 上两 点 间 的距 离 一 维 方 法 三 简单 的原 因是 线 段 AB 的长 容 易求 点 F 到线段 AB 的距 离 又 与线 段 AB 的长 有公 因式 可 消 从 而 运算 量 大 大 减 少 但 是 通 常 情 况 下 我 们 并不 敢轻 易 的设 点 为 动 因 其原 因是 设 点为 动 因 会 出 现 二元 变 量 害怕 消 元 时 不方 便 但 事 实 说 明 如 果 问题 本 身 是 对 称 的 比如 点 A B 关 于原 点 对称 化 简 时又有 公 因式 可消 设点 为 动 因 不 失 为一 种好 的方 法 在选 择 好刻 画 动 因 的量 后 用 这 个 量 与 所 求 目标 建立 函数 关 系 时 要 特别 关 注 动 因 的 取 值 范 围 因为它是 目标 函数 的 定 义域 1 4解 决 最值 与 范 围 问题 的 方法 最 后 师生共 同总结 概 括 出求 最值 与范 围 问题 的一般 方法 1 借助几何图形 寻找存在 最值与范围 的 特 殊位 置 2 建 立 目标 函数 用代 数方 法求 此 函数 的 最 值 与范 围 分析 动 因 建 立 所 求 目标 与 动 因 之 间 的 函数 关 系式 寻 找 动 因 的范 围 用 代数方 法 求 目标 函数 的最值 与 范 围 2几 点 思考 众 所 周知 高 三 复 习 时 间 紧 学 生 负担 重 作 为教师需要思考应如何设计 自己的教学 才能做 到科学 高 效 真正 把学 生从 题 海 中解 放 出来 对 于什 么是 科学 高效 的课 堂 各人 有各 自的想 法 在 笔 者看 来 应涵 盖 以下几 个方 面 2 1蕴 知识 方法 于例 题 勿简 单 罗列 高三 的复习课 回顾 已学 的 知 识 与 方 法 是 必 不可 少 的 但 是 笔 者 不 建 议 在课 堂 上 对 已学 的 知识 方法进行简单的罗列 有时 会 听到这 样 的课 堂教 学 上课 伊始 教 师 请学生回顾跟本节课 相关 的概念和方法 学生则 把 已学过 的相关 知识 的概 念 记 忆 中 的一 些 方 法 的名 称一 一 罗列 出来 接 下来 教 师针 对学 生 的 回 答进行点评 把不准确 不完善的地方修订 完善 一般 情况 下会 耗 用 十 多 分 钟 的 时 间 之 后 开 始 例 题讲 解 对于这样 的教学 笔者曾经也使用过 但是现 在 回想起 来 觉得 这样 的处 理不 妥 因为 知识 和方 法一 旦与 问题 脱离 开来 就会 显 得很 空洞 回顾 的 目的 是 为 了用它们 来 解决 问题 而不 是 只知 道有 这些 名词 就 了事 单 纯 的罗 列起 不到应 有 的作 用 那它 还有 多 大 的意义 呢 回忆 知识 方 法 当然是 重要 的 但 是 我们 可 以 换 一种方 式 比如 本课 首 先 提 出一 个 问题 让 学 生在 思考 问题 中 回顾 相关 知识 弄清 概念 在 解决 问题 中回顾 方法 在题 后反 思 中积 累经验 这 不 比 空 洞 的 回忆 要 实 惠 很 多吗 2 2例 题 务必 精选 分 析要 透彻 高 三大 部分 的教 学 都 是 解题 教 学 所 以精选 例题 显得 尤 为重 要 如 果 随意选 择几 道例 题 也 能 上 完一 节课 但是 长此 以往 受 害 的必然 是我 们 的 学 生 笔者认为 例题并不在于有多难 关键在于典 型 通 过解 剖 一 个 麻 雀 积 累经 验 从 而 实 现 一 类 问题 的解 决 比如 本课 的问题 1 这 个 问题 并 不 难 但是它的解答蕴含着解决 圆锥 曲线 中最值与 范 围 问题 的 一 般方 法 而一 旦 有 了这 个 方 法 今 后只要遇到这类问题 都可以用它来解决 如果我 们 选 择 的例题 在 它 的身 上 并 不 能将 此 一 般 方 法 很好的体现 例题应有的功效就没有发挥出来 选 择 这样 的例 题 就是 失败 的 选对例题仅是一个方面 另一方面是用好例 题 课 堂上 是不 是在 讲 完一个 例题 的解 答 之后 马 上接着讲下一个呢 当然不是 好的例题要充分 发挥 它 的好 处 要将 它 用足 用尽 比如 本课 在 学 生 已经给 出方 法 一 和 方 法 二 之后 为什 么还 要 再 探 究 其他 的解 法 其 目的就 是 要 把 例题 的作 用 发 挥到 极致 2 3题 后必 反 思 反 思 必总 结 画 龙 要 点 睛 再 好 的例 题 再 透 彻 的分 析 如果 缺少 了题 后 的反思 总结 都会 失去 光彩 比如 本课 学 生在 得到 四种 解法 之后 如果 没 有 回过头 来反 思 总结 的话 那可 能得 到 的仅仅 就 是这 四种解法 或许还是仅针对这一题的 四种解 法 但 若 回过 头 来 想 一想 方 法 一很 简 单 但 它是 解决 最 值 与范 围 问题 的一般 下转 第 4 8页 4 8 数 学通报 2 0 1 3年 第 5 2 卷 第 1 O期 来一一 这 是所 有教 育 的核 心 问题 怎样 在 限 时 与国外相 比我 国的数学 考试 时 间明显偏 短 很 多 学生 往往 来不 及完 成试卷 独 立完成 的考 试 中 除 r命 题 的科 学 与 严谨 以外 打 破 很 多 试 题 那 冰 冷 的呈现形式 是每一个命题者应该思考的 从 这 意义上 说 上 面 的两 个 题 例 即是 倡 导 新 颖 活 泼 的设 问方 式 题例 1 中 以学生 数 学小 论 文 的形 式 为呈现 载 体 通 过挖 空 留 白 引导 考 生 自主 探 究 发现 绝 对 值 函 数 的 图象 与 性 质 题 例 2 中 以学 生 复 习 时再 读 教 材 习题 为呈 现 形 式 让 小 敏发 现 引 导新 的解 题视 角 2 2 推介优 秀 学 习方法 立意 指 向学法指 导 上 述都 是针 对命 题 作 为 评 价 区分 意 义 上 的 阐释 现 在 再 从 考 试 在 立 意 导 向上 作 相 应 的 说 明 比如 题例 1 是八 年级 最 后一 道 题 俗 称 压 轴 题 有 一 种 鲜 明 的导 向 即 推 介 数 学 学 习 方 法 倡 导 再 创造 发 现式学 习方 法 这 正是 荷兰 著 名 数学 教育 家汉 斯 弗 赖 登塔 尔所 推 崇 的 有 指 导 的再创造 诚 如弗 氏所 言 创 造 既 包 含 了 内 容又 包含 了形 式 既 包 含 了新 的发 现 又 包含 了组 织 此外 该题 以数 学 小 论 文 作 为试 题 呈 现 形 式 正是想 倡 导 通 过 写 作 来 学 习数 学 顺 便 提 及 上世 纪 9 O年 代 后 美 国越 来 越 多 的 数 学 教 师 开始 在课 堂 上 实 施 通 过 写 作 来 学 习 Wr i t i n g t o l e a r n 简称 wTI 的 活 动 l 4 而 在 题 例 2 以 小 敏发 现 为 问题 呈 现 形 式 也 是 推介 一 种 复 习 方 法 即在复 习时 该怎 样再 次研读 教材 例 习题 倡 导 一种 反思 视 角 即还 可 以应 用 怎样 的数 学 工 具 来 处理 之前 的一 些情 境 问题 2 3提醒教 师 积累素 材 做 反 思性 实践者 郑毓信教授认为 反思性实践者 就是关于 教 师工 作 的一 个新 定 位 I 就 怎样 发展 实 践 性 智 慧 来说 反 思性 实践 这一 关于专 业 实践新 定 位 的 主要倡 导 者舍恩 认为 当实践者 经历 了为数 不 多的案 例 的许 多差 异 时 他 就 能 够 实 践 他 的 实践 他建 立 出一个 关 于期望 形象 与技术 的全面 性的资料库 他 习得 了要期待什么 以及如何 回应 他 的发现 随 着他 的实践 渐趋 稳定 即他处 理 的 同 类型案例越来越多 他就越来越少感到惊讶 他的 实 践 中认 知 将渐渐 变得 内隐 自然 和 自动化 他 和他 的 当事人 也将借 此 而认可 其专业 化 的发 展态 势 6 可见 我 们通 过 上 述 题 例 1 题 例 2 命 题 形式 还是 一种友 情提 醒 即鼓励 教师 捕捉 教学 实践 中的精彩 生成 及 时记 录 也可 引 导学生 反思 成 文形成 教 师的素 材库 丰 富案例 积 累 事 实上 这 样 的一种 过程 正是 积极 的反思 性实践 3 结束 语 标 准 2 0 1 1 年 版 关 于 合 理 设 计 与实 施 书 面 测验 下要 求 在 书面 测 试 中 积极 探索 可 以考 查 学生 学 习过 程 的试 题 了解 学 生 的 学 习 过程 我们将 生成性资源 作为命题背景融入书面测试 的努力 不正可看成足展示学生学习过程中那 火 热的思考 吗 当然 我们的探索还是初步的 不 完善 的 期 待更 多 同行