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8 3 投入产出模型 投入产出 一 投入产出表 1 概念 产品 各生产部门生产的商品 中间产品 继续投入生产过程的产品 最终产品 推出生产过程的产品 投入 生产过程中各部门的投入 中间投入 中间产品的物质消耗 外购资源 非中间产品的物耗 社会劳力投入 工资 税收 投入产出 2 投入产出表 x11x12 x1ny11 y1mx1 x21x22 x2ny21 y2m x2 xn1xn2 xnnyn1 ynmxn v1v2 vn s1s2 sn f1f2 fn xij i 部门分配给 j 部门用 于生产过程的中间产品 yik i 部门的最终产品 xi i 部门的总产出 vj j 部门的外购投入 sj j 部门的劳力投入 fj j 部门的社会投入 I 中间产品的投入和产出 II 总产品中可供社会最终使 用的部分 III 外购资源和劳力 社会投入 IV 国民收入 的再分配 3 例 全国农 轻 重投入产出表 产出中间产品最终产品 投 入 农业轻工业 重工业其他合计积累消费合计总计 农业98 3244 2209 0185 4 763 847 2896 0 943 21680 中 轻工业2 8631 436 8129 5 800 5179 9 1203 6 1383 52184 间 重工业43 8304 91326 7332 4 1907 8494 6453 6 948 22956 产 其他43 8351 7379 0258 6 1033 1258 7388 2 646 91680 品 合计118 71532 21851 5905 8 4478 2980 4 2941 4 3921 88400 工 资 1193 1113 4301 4309 4 1916 0 税 收 298 2538 4703 5464 8 2004 9 合 计 1491 3651 81004 5774 2 3921 8 总 计 16802184295616808400 投入产出 二 投入产出模型 1 假设 10 产品单一 不联合生产 20 i 部门对 j 部门的中间投入与 j 部门的产出 量呈正比 30 无滞后及其他外来因素的影响 i n j iji yxx 1 i n j iji yxx 1 由假设可知 xij aijxj 则有 n i jjiji yxax 1 记 x x1 x2 xn T y y1 y2 yn T A aij 则有 I A x y或 D x y D 为非对角元非正矩阵 称为列昂节夫矩阵 2 模型 平衡关系 各部门的总产量等于总需求量 niyxax n i ijiji 1 1 投入产出 三 模型的分析 1 可行性 模型是可行的 如果对任何非负的最终需求 y 0 模型总有非负解 x 0 定理 1 模型对任何非负的需求 y 0 有非 负解 x 0 当且仅当 0 0 1 1 01 2221 1211 11 D aa aa a 0 0 1 1 01 2221 1211 11 D aa aa a Hawkins Simon 条件 投入产出 定理 2 若 A 0 且存在一个非负x 0 使得 I A x 0 则 I A 1存在且非负 推论 若 A 0 且存在一个非负 p 0 使得 pT I A 0 则 I A 1存在且非负 投入产出 2 消耗分析 10 直接消耗系数 aij 生产单位产品 j 对产品 i 的直接需求量 A 154 0133 0167 0026 0 198 0430 0140 0026 0 017 0013 0289 0002 0 110 0073 0112 0059 0 A 20 完全消耗系数 bij bjkakj 产品 j 通过产品 k 对产品 i 的需求量 则有 令 B bij 则有 B A BA B I A A B A I A 1 I A 1 I D 1 I B 从完全需求的角度反映出各部门深层次的相 互间的依赖关系 295 0 315 0362 0 045 0 495 0 888 0493 0 067 0 150 0 069 0 456 0 009 0 208 0 192 0 254 0 047 0 B 投入产出 njiabab n k kjikijij 1 1 投入产出 295 0315 0362 0045 0 495 0888 0493 0067 0 150 0069 0456 0009 0 208 0192 0254 0047 0 B 154 0133 0167 0026 0 198 0430 0140 0026 0 017 0013 0289 0002 0 110 0073 0112 0059 0 A 直接需求 a33 a22 a34 a42 a44 a32 a43 完全需求 b33 b34 b32 b22 b42 b43 b44 直接 轻需轻 轻需他 轻需重 完全需求 轻需重 轻需轻 轻需他 投入产出 3 价格分析 pj 产品 j 的单价 p p1 pn T 10 产品的增值 不考虑劳力 社会及外购投入 njpapv n i iijjj 1 1 njpapv n i iijjj 1 1 v v1 vn T 利润向量 则有 pT pTA vT pT I A vT 列昂节夫价值增值模型 系统的可增值性 任给定v 0 有p 0 使得 pTD vT 系统是可增值的当且仅当系统是可行的 推论给出了可增值性的判别 投入产出 20 均衡价格 考虑劳力投入 l l1 ln T 均衡价格 系统的投入和产出在价值上达 到平衡的价格 p 若劳力的价格为 w 则有 p TA w lT p T p T I A w lT 系统可行当且仅当对任何w l 均衡价格存在 要使系统可增值 当且仅当 p p 投入产出 4 系统的可分解性 10 矩阵的可约性 N 1 2 n 指标集 A 可约 当且仅当存在 N的非空子集S 使得 SjSiaij 0 SjSiaij 0 CB A A 0 1 即 20 系统 A 的分解 若 A 可约则有 2 1 2 11 0 y y y x