湖北省武汉市北大附中武汉为明实验中学九年级数学《三角形判定》学案（无答案）.doc

湖北省武汉市北大附中武汉为明实验中学九年级数学三角形判定学案 学习时间： 学习目标：掌握三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理.学习重点：能用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理进行简单证明. 学习过程一自主学习（一）三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形 .（二）你能说出证两个三角形全等中的“sss”的含意吗？（三）在下面的网格中，请把abc的边长扩大2倍，得到abc,，并度量这两个三角形的三组对应角是否相等，三组对应边的比是否相等？abc（四）在下面的网格中，先画一个三角形，再画一个三角形使它的边长是原来三角形各边长的k倍，并度量这两个三角形的三组对应角是否相等，三组对应边的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形 .可简单地说成：三边对应成比例，两三角形相似.（2）在abc与abc中，如果 我们就说abc与abc ，记作abc abc，k就是它们的 反之如果abcabc，则有a=a, b= , c=c, 且三、应用新知例 如图，在正方形的网格上有两个三角形,和，求证：四发现总结(1) 相似三角形的对应的角 ；对应边的比 .(2) 如果相似三角形相似比为1，则这两个三角形 .(3) 两个三角形全等可以看作是两个三角形 一种特殊情况. (4) 用判定定理时，要注意边的 性. 五应用巩固1依据下列各组条件，判定abc与a bc 是不是相似，并说明为什么：（1）ab2 cm ，bc4cm ，ac5 cm ，ab4m ，bc8cm ，a c 10cm；（2）ab4 cm ，bc6cm ，ac8 cm ，a b 12 cm ，bc18cm ，a c 24cm2下面的两个三角形是相似吗,如果相似，请说明理由?3要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几各答案?六课堂检测1已知abc与def的相似比是9:4，则def与abc的相似比是（ ） 2射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央a、准星尖b和瞄准点c在一条直线上（下图），这样才能命中目标。已知某种冲锋枪基线ab长40cm（下图），如果射击距离ac=100m，当准星尖在缺口内偏差bb为1mm时，弹着偏差cc （bb cc）是（ ）15 20 25 303依据下列各组条件，判定abc与a bc是不是相似，并说明为什么?ab3cm ，bc4cm ，ac5 cm ，ab8m ，bc6cm ，a c 10cm.4如图,已知,bad=20,求cae的大小.5如图,abcacd,且ad=5,bd=4,求acd与acb的相似比.七学习感悟学习内容 27.2.1 三角形判定（4） 学习时间： 学习目标：掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理.学习重点：能用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理进行简单证明.学习过程一自主学习（一）三角形全等判定定理：如果两个三角形中，有两组对边相等且夹角也相等，则这两个三角形 .（二）在下面的网格中，请把abc中的cb、ca的边长扩大2倍，得到abc,，并度量这两个三角形的三组对应角是否相等，三组对应边的比是否相等？abc（三）在下面的网格中，先任画一个三角形，再画一个三角形使其中一角相等且夹角的两边的边长是原来三角形两边长的k倍，再度量这两个三角形的三组对应角是否相等，三组对应边的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形 .可简单地说成：两边对应成比例，且夹角相等的两 相似.（2）在abc与abc中，如果，且a=a 我们就说abc与abc ，记作abc abc，k就是它们的 反之如果abcabc，则有a= , b= , c= , 且三、应用新知例 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形是否相似？请证明你的结论；若两个等腰三角形中有一个角相等，这两个等腰三角形是否相似？四发现总结(1)把两个的三角形一组对应角保持不变，夹边扩大（缩小）相同的倍数，则扩大（缩小）后的三角形和原三角形 .(2) 在abc与abc中，如果，且b=b,问abc与abc一定相似吗？(3) 要说明一命题不成立，常常只需要举一个 .五应用巩固1依据下列各组条件，判定abc与a bc 是不是相似，并说明理由：（1）ab2 cm ，bc4cm ，b=60，ab4m ，bc8cm ，b=60；（2）c36，bc6cm ，ac8 cm ，c36 ，b c 18cm ，a c 24cm2下面三角形是相似,如果相似请说明理由?3要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个等腰三角形框架的两边长分别为4,5,另一个等腰三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几各答案?六课堂检测1已知abcdef的相似比是3:2，ac4,则df是（ ） 2假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相同）, 课本上文字的大小为0.cm0.35cm(高宽)，老师在黑板上写字约为（ ） 67 78 56 893依据下列各组条件，判定abc与a bc是不是相似，并说明为什么?：c60，bc4cm ，ac5 cm ，ab8m ，a60 ，a c 10cm；4如图,已知,adbc,ceab,ad与ce相交于点f,求证：cd:adfd:bd.5如图,正方形abcd中，m是cd的中点，n在bc上,且bn3nc,求证:七学习感悟学习内容 27.2.1 三角形判定（5） 学习时间： 学习目标：掌握如果两角对应相等，则两个三角形相似的判定定理.学习重点：能用如果两角对应相等，则两个三角形相似的判定定理进行简单证明.学习过程一自主学习（一）你能说出证两个三角形全等中的“asa”的含意吗？（二）在下面的网格中，以abc为基础，abc（三）在下面的网格中，先任画一个abc，再画一个三角形abc，使得abc中有两个角和abc中的两个角相等,这两个三角形中剩下的一对角是否相等，三组对应边的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 .可简单地说成：两角对应相，两个三角形 .（2）在abc与abc中，如果，a=a且b=b 我们就说abc与abc ，记作abc abc，反之如果abcabc，则有a= , b= , c= , 且三应用新知例 如图，弦ab和cd相交于o内的一点p,求证：.四发现总结(1)把一个三角形两个角保持不变，边扩大（缩小）相同的倍数，则扩大（缩小）后的三角形和原三角形 .(2) 在abc与abc中，如果ac，且b=b,问abc与abc一定相似吗？(3) 证两个三角形相似我们学过的方法有 种.五应用巩固1依据下列各组条件，判定abc与a bc 是不是相似，并说明理由：（1）a=40，b=60，a40，b=60；（2）a36，b54，c36 ，b90. 2(1)如图1， 当1=_时, abcacd； 当acb= 时, abcacd,于是可以得到等积式ac2 = adab. 如图2， 若acb=cdb=900则：rt_ rt_ rt_. 可以写出三个平方等积式：ac2 = _ , bc2 = _ , cd2 =_.如图3，abc中若bd、ce分别是高，rtboert_rt_rt_ 这四个直角三角形彼此相似，共计_对.另有：ade_，还有：boc_.所以在左图中共有_对相似三角形.图1图2图3图4如图4，若1=2，3=b，则图中有相似三角形有 三对.六、课堂检测：六、课堂检测：1依据下列各组条件，判定abc与a bc是不是相似，并说明为什么?：a50,c60，a50，b60. 2如图1: cd是rtabc的斜边ab上的高线，（1）ad=9，db=4，则cd = _;（2）cd=3，bc=5，则db=_ ; ab=_ ; （3）bc=6,ab=10,则bd=_，cd=_.（4）bd=3，ac=2，则ad=_.3如图2，rtebc中,afbc于f交ec于d，egbc于g则图中与aed相似的三角形有（ ） a.3个 b.4个 c.5个 d.6个4如图3，在等边abc中，d为bc边上一点，e为ac边上一点，且ade=60，bd=3，ce=2，则abc的边长为（ ）a9 b12 c15 d185如图,在abc中，ad为a的平分线，ad的垂直平分线交ad于点e，交bc的延长线于点f，求证：.6如图, abc是等边三角形，ce是外角平分线，点d在ac上，连接bd并延长ce交于点e.求证：abdced;若ab6,ad2cd,求be的长.七学习感悟学习内容 27.2.2 相似三角形应用（6） 学习时间： 学习目标：会利用相似三角形解决简单的实际问题.学习重点：能把简单的实际问题抽象成相似三角形问题，由对应边的比相等求对应线段的长.学习过程一自主学习（一）证两个三角形相似我们学过的常方法有 种.（二）如果两个三角形相似我们可以得到什么结论？二探索新知（） 我们就说abc与abc相似，记作abc abc，反之如果abcabc，则有a= , b= , c= , 且.（2）解应用题的一般步骤是什么？（3）如图，在abc中，debc,bd=3,bc=6,de=4,求ad的长？（4）如图，abac,cdac,bd与ac相交于点e,ae=2,ec=6,ab=4,求cd的长？三、应用新知四发现总结(1)求实际问题的解，先转化成数学问题来解决，再把答案还原到实际问题中.(2)由相似三角形对应边的比相等，求线段时，应注意 位置 .五应用巩固1在某一时刻，测得一根高为1.8m竹竿的影长为3m,同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？2如图，铁道口的栏杆臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高_米六课堂检测1已知abca bc 且ab2 cm ，ac5 cm ，bc8cm ，a c 10cm；求线段bc、ab的长是多少？2如图，要测量河两岸相对的两点间的距离，先从b处出发与ab成90角方向，向前走50米到c处，立一根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到d处，在d处转90，沿de方向再走17米，到达e处，使目标a标杆c与e在同一直线上，求可测得的距离3如图，是一块锐角三角形余料，边mm，高mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在bc上，其余两个顶点分别在ab、ac上，这个正方形零件的边长是多少？4小明在测一竹竿的影长时，有一部分影子落到了墙上。已知竹竿长四米，落在地上影子的影长是二米，落在墙上影子的影长是一米，求小明至少将竹竿向后移动多少米，才能使竹竿的影子正好全部落在地面上.七学习感悟学习内容 27.2.3 相似三角形性质（7） 学习时间： 学习目标：掌握相似三角形（相似多边形）周长的比、面积的比的性质定理.学习重点：能用相似三角形（相似多边形）性质定理进行简单证明及计算.学习过程一自主学习（一）在abc与abc中，如果abcabc，则有a= , b= , c= , 且.（二）由abcabc可得，,你能否计算出的值来？abdc（三）如图，abcabc，且相似比为k,你能发现它们的面积的比吗？（四）四边形abcd与四边形相似，且相似比为k,你能发现它们的面积的比吗？二探索新知（）性质定理 ：相似三角形周长的比等于相似三角形 比.（2）性质定理 ：相似三角形面积的比等于相似比的 .（3）相似多边形和相似三角形类似，也有相似多边形周长的比等于相似 ；似多边形面积的比等于相似比的 .三应用新知例 如图，在abc和def中,ab=2de,ac=2df,a=d,abc的周长是24,面积是48,求def的周长和面积.四发现总结相似三角形(相似多边形)的性质有：(1) 相似三角形(相似多边形)的对应角 ,对应边成比例.(2)相似三角形(相似多边形)的周长比等于相似比.(3)相似三角形(相似多边形) 的比等于相似比的平方；相似比等于 比开方.五应用巩固1若两个相似三角形的对应边的比是12 ，则对应周长之比是 ，对应面积之比是 ；若两个相似三角形的面积之比是12，则这两个三角形的周长之比是 相似比是 ； 若两个相似多边形的相似比是13 ，则对应周长之比是 ，对应面积之比是 ；若两个相似多边形的面积之比是13，则这两个多边形的周长之比是 相似比是 .2一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则这个三角形的周长为原来的 倍.一个多边形的各边长扩大为原来的4倍（角不变），则这个多边形的面积为原来的 倍.3如图，点d、e分别是abc边ab、ac上的点，且debc，bd2ad，那么ade的周长abc的周长。 右图中,若d,e分别是ab,ac边上的中点,且de=4则bc= .右图中, debc，sade:s四边形dbce = 1:8,则ae:ac= .4两种圆形的蛋糕，一种半径是10，一种半径是20，如果半径是10的蛋糕够2人吃，则半径是20蛋糕够 人吃.（假设蛋糕的高度相同）六课堂检测1两个三角形周长之比为9：5，则面积比为（ ）a.95 b.8125 c.3 d.不能确定2如图，在直角梯形abcd中，bcab，bdad，cdab，且bd=3，cd=2，则下底ab的长是 .3在abc,ac=4,ab=5.d、e分别是ac、ab上动点,且ade=b,设ad=x,ae=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.4如图:写出其中的几个等积式ac2= ; bc2= ; oc2= .若ac=3,ao=1.写出a.b.c三点的坐标.5已知,如图,在abc中, bac=90, adbc,垂足为d,e是ac的中点,ed的延长线交ab的延长线于点f. 试说明:ab：ac=df：af6已知,如图,ce是直角abc的斜边ab上的高,在ec的延长线上任取一点p,连接ap,作bgap,垂足为g,交ce于d, 试说明:ce2=edep.七学习感悟学习内容 27.3 位似（8） 学习时间： 学习目标1了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比2利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识和动手操作能力学习重点与难点重点：利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用.难点：判断位似图形,运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算.学习过程一、自主学习（一）相似三角形的判定和性质（二）每个图中的两个四边形abcd和四边形abcd都是相似图形。观察下面的五个图，abcdb1a1c1d1b1c1d1abcda1b1c1d1abcdabcda1b1c1d1abcdc1a1d1b1(1)(2)(3)(4)(5)你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？（三）（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？ （2）在各图中，任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？abx（四）如图，在平面直角坐标系中，有a(6,4),b(6,0)两点,以原点o为位似中心，相似比为,把线段ab缩小，观察对应点之间的坐标，你发现了什么？y二探索新知（1）两个图形相似，而且的所有对应点的连线交于一点，对应边互相平行，的两个图形叫做 ，这个交点叫做 .（2）位似中心可在两图形的外部、 部、边上或顶点处.通过测量、计算发现位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于3：1，则两个位似图形的位似比是 .位似图形中的两个图形的方向相同或者 .（3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图对应点的坐标的比等于 或 .三应用新知四发现总结(1)两个位似图形对应点的连线可能在两个图形之间，可能在两个图形 .(2) 位似图形是相似形，位似图形的对应点和位似中心在 上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。(3)画一个图形关于某点位似图形时，应注意有 种.五应用巩固1如图，d，e分别是ab，ac上的点.如果debc，那么ade和abc是位似图形吗？为什么？如果ade和abc是位似图形，那么debc吗？为什么？2如图，ab，cd相交于点e，acdb.ace与bde是位似图形吗？为什么？3图中的两个直角三角形是位似图形吗？如果是，作出位似中心.六课堂堂检1.如图（1）火焰的光线穿过小孔o，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度bd=2 cm，oa=60 cm,ob=15 cm，则火焰的长度为_. 2. 如图（2），五边形abcde与五边形abcde是位似图形，且位似比为. 若五边形abcde的面积为17 cm2， 周长为20 cm，那么五边形abcde的面积为_，周长为_.3已知，如图2，abab，bcbc，且oaaa=43，则abc与_是位似图形，位似比为_；oab与_是位似图形，位似比为_.4下列说法中正确的是( )a.位似图形可以通过平移而相互得到b.位似图形的对应边平行且相等c.位似图形的位似中心不只有一个d.位似中心到对应点的距离之比都相等5. 一个三角形三顶点的坐标分别是a（0，0），b（2，2）， c（3，1），试将abc放大，使放大后的def与 abc对应边的比为21.并求出放大后的三角形各顶点坐标.6. 小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的位置关系.七学习感悟学习内容 281锐角三角函数（1） 学习时间： 学习目标1学习当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一现象.2学会将正弦概念正确进行计算并运用于实际生活中.学习重点学习正弦（sina）概念，能正确运用已知数据计算正弦值.学习难点理解当直角三角形的锐角固定时，学会运用所学知识解释它的对边与斜边的比值都固定.学习过程一自主学习1如图在rtabc中，c=90，a=30，bc=60m，求ab.2如图在rtabc中，c=90，a=30，ab=20m，求bc.3在rtabc中，c=90，a=30，bc=a，求ab.二探索新知探究一 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30角的对边与斜边的比值 1如图在rtabc中，c=90，a=45，bc=60m，求ab.2如图在rtabc中，c=90，a=45，ab=20m，求bc.3在rtabc中，c=90，a=45，bc=a，求ab.思考2：在rtabc中，c=90，a=45，计算a的对边与斜边的比，你能得出什么结论？结论：直角三角形中，45角的对边与斜边的比值 . 思考3：当a取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？、请同学试猜测你的结果： 探究二 任意画rtabc和rtabc，使得c=c=90，a=a=a，那么有什么关系你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角a的度数一定时，不管三角形的大小如何，a的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在rtabc中，c=90，a的对边记作a，b的对边记作b，c的对边记作c在rtabc中，c=90，我们把锐角a的对边与斜边的比叫做a的正弦，记作sina，即sina= sina例如，当a=30时，我们有sina=sin30= ；当a=45时，我们有sina=sin45= 三应用新知例1 如图，在rtabc中，c=90，求sina和sinb的值 四发现总结1在直角三角形中，当锐角a的度数一定时，不管三角形的大小如何，a的对边与斜边的比都是 2、在rtabc中，c=90，我们把锐角a的对边与斜边的比叫做a的 ，记作 .五巩固提高如下图，在abc中，bac=90，ad bc，ad=2cd,求sinb的值.六课堂检测1在rtabc中，各边的长度都扩大2倍，则sina的值是 a扩大2倍 b缩小2倍 c不变 d不能确定2如图，在直角abc中，c90o，若ab5，ac4，则sina（ ）a b c d3 在abc中，c=90，bc=2，sina=，则边ac的长是( )a b3 c d 4如图，已知点p的坐标是（a，b），则sin等于（ ）a b c5. 在rtabc中，c=90，sinb=,abcm，则abc的面积为 .七学习感悟学习内容 281锐角三角函数（2） 学习时间： 学习目标1学习当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值都固定（即余弦值不变）这一事实.2学习将余弦概念正确进行计算并运用于实际生活中，并注意与正弦值的异同点.学习重点正确理解余弦的概念.学习难点注意与正弦值的区别，并熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.eoabcd学习过程：一自主学习1我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2如图，在rtabc中，acb90，cdab于点d。已知ac=，bc=2，那么sinacd（ ）abcd3如图，已知ab是o的直径，点c、d在o上，且ab5，bc3则sinbac= ；sinadc= 4在rtabc中，c=90，当锐角a确定时