湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案符合题意）1已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）ax00，使得（x0+1）e1bx00，使得（x0+1）e1cx0，总有（x+1）ex1dx0，总有（x+1）ex12若向量=（x，4，5），=（1，2，2）且与的夹角的余弦值为，则x的值为 （）a3b3或11c3d3或113已知随机变量服从正态分布n（2，2），且p（4）=0.8，则p（02）=（）a0.6b0.4c0.3d0.24下列四个命题：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“不等式x0成立的一个充分不必要条件是x1”的逆否命题其中真命题的个数为（）a1b2c3d45在二项式的展开式中，各项系数之和为a，各项二项式系数之和为b，且a+b=72，则展开式中常数项的值为（）a6b9c12d186已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为fl，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）abcd7正三棱柱abca1b1c1中，若ab=2，aa1=1，若则点a到平面a1bc的距离为（）abcd8将4名同学录取到3所大学，则每所大学至少录取一名的概率为（）abcd9已知椭圆e：的右焦点为f（3，0），过点f的直线交椭圆e于a、b两点若ab的中点坐标为（1，1），则e的方程为（）abcd10用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）a120b72c48d3611如图，边长为2的正方形abcd中，点e、f分别 是ab、bc的中点，将ade，ebf，fcd分别沿de，ef，fd折起，使得a、b、c三点重合于点a，若四面体aefd的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）a8b6c11d512已知点a是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点b为该抛物线的焦点，点p在该抛物线上且满足|pb|=m|pa|，当m取最小值时，点p恰好在以a，b为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）abcd二、填空题（每小题5分，共20分）13已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为14把一枚硬币任意抛掷三次，事件a=“至少一次出现反面”，事件b=“恰有一次出现正面”，求p（b|a）=15（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为16如图，它满足第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n2）第2个数是三、解答题（共70分）17已知命题p：xr，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上若命题pq为真命题，求实数m的取值范围18武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家，每周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟，则称该天为“风顺”天（1）求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率；（3）记x为小明一周中“风顺”天的天数，求x的数学期望19已知圆c：x2+y2+dx+ey+3=0关于直线x+y1=0对称，圆心c在第二象限，半径为（1）求圆c的方程；（2）是否存在直线l与圆c相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由20某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：组别理科文科性别男生女生男生女生人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有（）求理科组恰好记4分的概率？（）设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望e21直三棱柱abca1b1c1 中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1、bc 的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：dfae；（2）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由22如图，已知圆e：=16，点，p是圆e上任意一点线段pf的垂直平分线和半径pe相交于q（）求动点q的轨迹的方程；（）设直线l与（）中轨迹相交于a，b两点，直线oa，l，ob的斜率分别为k1，k，k2（其中k0）oab的面积为s，以oa，ob为直径的圆的面积分别为s1，s2若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围2015-2016学年湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案符合题意）1已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）ax00，使得（x0+1）e1bx00，使得（x0+1）e1cx0，总有（x+1）ex1dx0，总有（x+1）ex1【考点】命题的否定；全称命题 【专题】简易逻辑【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）e1，故选：b【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题2若向量=（x，4，5），=（1，2，2）且与的夹角的余弦值为，则x的值为 （）a3b3或11c3d3或11【考点】空间向量的数量积运算 【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用【分析】根据向量的坐标表示与数量积的运算，列出方程求出x的值【解答】解：向量=（x，4，5），=（1，2，2），|=，|=3；=x8+10=x+2，且与的夹角余弦值为，3=x+2；整理得x2+8x33=0，解得x=3或x=11（不合题意，舍去）；x的值为3故选：a【点评】本题考查了向量的数量积运算与解根式方程的应用问题，是基础题3已知随机变量服从正态分布n（2，2），且p（4）=0.8，则p（02）=（）a0.6b0.4c0.3d0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【专题】计算题【分析】根据随机变量x服从正态分布n（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（02）=p（04），得到结果【解答】解：随机变量x服从正态分布n（2，2），=2，得对称轴是x=2p（4）=0.8p（4）=p（0）=0.2，p（04）=0.6p（02）=0.3故选c【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4下列四个命题：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“不等式x0成立的一个充分不必要条件是x1”的逆否命题其中真命题的个数为（）a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题；对应思想；综合法；简易逻辑【分析】直接写出原命题的逆命题判断；写出原命题的否命题，举例说明是假命题；由互为逆否命题的两个命题共真假判断；通过举例说明命题“不等式x0成立的一个充分不必要条件是x1”为假命题，再由互为逆否命题的两个命题共真假说明是假命题【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题；“若x3，则x2x60”的否命题为：“若x3，则x2x60”，为假命题，如当x=4时，x2x60；“若ab，则a2b2”为假命题，如23，但22（3）2，故其逆否命题为假命题；由x0，得x（1，0）（1，+），命题“不等式x0成立的一个充分不必要条件是x1”为假命题，其逆否命题为假命题真命题的个数是1个故选：a【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的逆命题、否命题、以及逆否命题的真假判断，是基础题5在二项式的展开式中，各项系数之和为a，各项二项式系数之和为b，且a+b=72，则展开式中常数项的值为（）a6b9c12d18【考点】二项式定理的应用 【专题】计算题【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出b，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4na=4n据二项展开式的二项式系数和为2nb=2n4n+2n=72解得n=3=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为t2=3c31=9故选项为b【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具6已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为fl，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）abcd【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：点（3，4）在以|f1f2|为直径的圆上，c=5，可得a2+b2=25又点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，=，联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：c【点评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题7正三棱柱abca1b1c1中，若ab=2，aa1=1，若则点a到平面a1bc的距离为（）abcd【考点】点、线、面间的距离计算 【专题】空间位置关系与距离【分析】由=，利用等积法能求出点a到平面a1bc的距离【解答】解：设点a到平面a1bc的距离为h，=，解得h=，故选：b【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用8将4名同学录取到3所大学，则每所大学至少录取一名的概率为（）abcd【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】先求出基本事件总数，再求出每所大学至少录取一名的基本事件个数，由此能求出每所大学至少录取一名的概率【解答】解：将4名同学录取到3所大学，基本事件总数n=34=81，每所大学至少录取一名的基本事件个数m=36，每所大学至少录取一名的概率p=故选：c【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用9已知椭圆e：的右焦点为f（3，0），过点f的直线交椭圆e于a、b两点若ab的中点坐标为（1，1），则e的方程为（）abcd【考点】椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2，=，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆e的方程为故选d【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键10用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）a120b72c48d36【考点】排列、组合的实际应用 【专题】计算题【分析】本题的限制条件比较多，可以用分类列举法来解题，分别列举出以5，6，7，8，9开头的数字，数出每一种情况中的结果数，把结果相加【解答】解：本题的限制条件比较多，可以用列举法来解题，以5开头符合要求的数：56789、56987、57698、57896、58769、58967、59678、59876 以6开头符合要求的数：65879、65897、67895、67859、69875、69857以7开头符合要求的数：75698、75896、76589、76985、78569、78965、79658、79856以8开头符合要求的数：85679、85697、87659、87695、89657、89675以9开头符合要求的数：95678、95876、96587、96785、97658、97856、98765、98567 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为：36个故选d【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分类加法计数原理，是一个数字问题，这种题目的限制条件比较多，需要小心解答11如图，边长为2的正方形abcd中，点e、f分别 是ab、bc的中点，将ade，ebf，fcd分别沿de，ef，fd折起，使得a、b、c三点重合于点a，若四面体aefd的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）a8b6c11d5【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；方程思想；综合法；球【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积【解答】解：由题意可知aef是等腰直角三角形，且ad平面aef三棱锥的底面aef扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=球的半径为，球的表面积为=6故选：b【点评】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力12已知点a是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点b为该抛物线的焦点，点p在该抛物线上且满足|pb|=m|pa|，当m取最小值时，点p恰好在以a，b为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）abcd【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义，结合|pb|=m|pa|，可得=m，设pa的倾斜角为，则当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，求出p的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【解答】解：过p作准线的垂线，垂足为n，则由抛物线的定义可得|pn|=|pb|，|pb|=m|pa|，|pn|=m|pa|，则=m，设pa的倾斜角为，则sin=m，当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，设直线pa的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1，p（2，1），双曲线的实轴长为|pa|pb|=2（1），双曲线的离心率为=+1故选：c【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最小值时，sin最小，此时直线pa与抛物线相切，属中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由4，m，9构成一个等比数列，得到m=6当m=6时，圆锥曲线是椭圆；当m=6时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率【解答】解：4，m，9构成一个等比数列，m=6当m=6时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=6时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是故答案为：【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用14把一枚硬币任意抛掷三次，事件a=“至少一次出现反面”，事件b=“恰有一次出现正面”，求p（b|a）=【考点】条件概率与独立事件 【专题】概率与统计【分析】由题意，先计算p（ab），p（a），再利用条件概率公式，即可求得结论【解答】解：由题意，p（ab）=，p（a）=1=p（b|a）=故答案为：【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题15（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为30【考点】二项式系数的性质 【专题】计算题；二项式定理【分析】法一：利用分部相乘原理，可以得出x5y2的系数；法二：利用二项式展开式的通项公式，先确定y的次数，再确定x的次数也可【解答】解法一：（x2+x+y）5可看作5个（x2+x+y）相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有种选法；x5y2的系数为=30；解法二：（x2+x+y）5=（x2+x）+y5，其展开式的通项公式为tr+1=（x2+x）5ryr，令r=2，得（x2+x）3的通项公式为（x2）3mxm=x6m，再令6m=5，得m=1，（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30故答案为：30【点评】本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目16如图，它满足第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n2）第2个数是【考点】归纳推理 【专题】压轴题；探究型；等差数列与等比数列【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n2），再由累加法求解即可【解答】解：依题意an+1=an+n（n2），a2=2所以a3a2=2，a4a3=3，anan1=n累加得 ana2=2+3+（n1）=故答案为：【点评】本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题三、解答题（共70分）17已知命题p：xr，不等式恒成立，命题q：椭圆的焦点在x轴上若命题pq为真命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据pq为假命题，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：p真：，q真：m13m02m36分若pq为假命题，则实数m的取值范围是【点评】本题考察了复合命题的判断，考察函数恒成立以及椭圆问题，是一道基础题18武汉地铁4号线每6分钟一趟列车，小明同学每天早晚两次乘地铁上学与回家，每周一至周五上五天学，如果某天至少有一次等车时间不超过2分钟，则称该天为“风顺”天（1）求小明某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率；（3）记x为小明一周中“风顺”天的天数，求x的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；几何概型；离散型随机变量及其分布列 【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为10，基本事件所构成的区王等车时间不超过2分钟，长度为2，代入公式可求；（2）可知小明一周中“风顺”天的天数x服从二项分布，然后根据二项分布的数学期望公式解之即可【解答】解：（1）由题可知，是与区间长度有关的几何概率的求解，设每次等车时间不超过2分钟的概率为p0，每隔6分钟就有一趟车经过构成全部区域，长度为6，基本事件所构成的区域是小明某次等车时间不超过2分钟，长度为2，代入公式可得p0=；某天恰有一次等车时间不超过2分钟的概率：p=；（2）某天为“风顺”天的概率为：p2=+=；依题意得，xb（5，）ex=5=【点评】本题主要考查了与区间长度有关的几何概率的求解，离散型随机变量的概率分布，同时考查了计算能力，属于中档题19已知圆c：x2+y2+dx+ey+3=0关于直线x+y1=0对称，圆心c在第二象限，半径为（1）求圆c的方程；（2）是否存在直线l与圆c相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由【考点】关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系 【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）根据题意，求得圆心c（，）在x+y1=0上，且半径r=联解得d、e的值，即可得到圆c的标准方程；（2）按直线l经过原点、不经过原点两种情况加以讨论，分别设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式建立关于参数k、m的等式，解之即可得到满足条件的直线l方程【解答】解：（1）将圆c化成标准方程，得（x+）2+（y+）2=（d2+e212）圆c的圆心坐标为（，），半径r=圆c关于直线x+y1=0对称，半径为1=0且=，解之得或结合圆心c在第二象限，得c的坐标为（1，2），（舍去c（1，2）圆c的方程是（x+1）2+（y2）2=2（2）当直线l过原点时，设为y=kx，可得=，解之得k=，得直线l方程为y=（）x，当直线l不过原点时，设l：x+ym=0可得=，解之得m=1或3此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y3=0综上所述，与圆c相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（）x或x+y+1=0或x+y3=0【点评】本题给出圆c满足的条件，求圆c方程并求与圆c相切的直线l方程，着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题20某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示：组别理科文科性别男生女生男生女生人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有（）求理科组恰好记4分的概率？（）设文科男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望e【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【专题】概率与统计【分析】（i）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有：其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有方法根据互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式即可得出（ii）由题意可得=0，1，2，3p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=4）=，即可得出分布列与数学期望【解答】解：（i）要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有共有：=424其中“理科组恰好记4分”的选法有两种情况：从理科组中选取2男1女，再从文科组中任选1人，可有方法；另一种是从理科组中选取2女，再从文科组中任选2人，可有方法p=（ii）由题意可得=0，1，2，3p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=4）=，由题意可得=0，1，2，3其分布列为：0123p（）的数学期望e=+=【点评】本题考查了互斥事件的概率计算公式与古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21直三棱柱abca1b1c1 中，aa1=ab=ac=1，e，f分别是cc1、bc 的中点，aea1b1，d为棱a1b1上的点（1）证明：dfae；（2）是否存在一点d，使得平面def与平面abc所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点d的位置，若不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用【分析】（1）先证明abac，然后以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得d（，0，1），所以=0，即dfae； （2）通过计算，面def的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面abc的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可【解答】（1）证明：aea1b1，a1b1ab，aeab，又aa1ab，aa1ae=a，ab面a1acc1，又ac面a1acc1，abac，以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则有a（0，0，0），e（0，1，），f（，0），a1（0，0，1），b1（1，0，1），设d（x，y，z）， 且0，1，即（x，y，z1）=（1，0，0），则 d（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），=0，所以dfae； （2）结论：存在一点