复变函数—课后答案傅氏变换习题解答.pdf

傅氏变换习题解答 习题一 1 试证 若满足傅氏积分定理的条件 则有 tf 00 cos sinf tatdbtd 其中 1 cos 1 sin af bf d d 证 jj 11 cosjsin cos 22 t f tfed edf td d 0 00 11 coscos cosjsin jsin 2 1 cos sinsinsin fdtdftd d atdbtdfd d t 因 sincosftd d 为 的奇函数 coscosftd d 为 的偶函数 2 试证 若满足傅氏积分定理的条件 当 tf tf为奇函数时 则有 dtbtf 0 sin 其中 0 2 sinbfd 当为偶函数时 则有 tf dtatfcos 0 其中 0 2 cosafd 证 设是奇函数 tf jj 1 2 t f tfed ed j 1 cosjsin 2 t fd ed j 0 1 sin j t fd ed j 1 2j t bed b是 的奇函数 0 1 cosjsinsin 2j btt dbtd 设是偶函数 tf jj 1 2 t f tfed ed j 1 cosjsin 2 t fd ed j 0 1 cos 2 t aedatd a是 的偶函数 注也可由 1 题推证 2 题 3 在题 2 中 设 试算出 1 1 0 1 t f t t a 并推证 0 1 2 sincos 1 4 0 1 t td t t 证 是偶函数 tf sin2 0 1 sin2 cos 0 2t tdttfa d t tdat cossin 0 2 cos 0 f 所以 0 1 2 sincos0 1 1 2224 0 t t df tt t 1 习题二 1 求矩形脉冲函数 0 0 At f t 其他 的傅氏变换 解 F jj 0 tt f tf t edtAedt j ij 0 11 jjj t e ee AAA 2 求下列函数的傅氏积分 1 2 3 22 2 1 0 1 tt f t t 1 0 2sin 0 0 tte t tf t 0 1 1 10 1 01 0 1 t t f t t t 1 0 1 1 2 t tt tf ii 1 2 tt f tf tedted 1 2ii 1 1 1 2 tt tedted 1 2i 0 1 1cos t ttdted 1 2 i 23 0 1sin2 cos2sinsin t tttttt ed i 3 2 sincos1 t ed 3 0 4sincos cos td 2 满足傅氏积分定理的条件 其傅氏积分公式为 0 2sin 0 0 tte t tf t iiii 0 11 sin2 22 ttttt f tf t edtedetedt ed i2i2 ii 0 1 22i tt ttt ed ee eedt i 2i 2i 0 1 4 i ttttt eedte d 1 i 21 i 2 i 0 1 4 i1 i 21 i 2 tt t ee ed i 111 4 i1 i 21 i 2 t ed 2 24 52 i 1 cosisin 256 tt d 22 2424 5cos2 sin5sin2cos 1i 256256 tttt dd 2 24 0 5cos2 sin 2 256 tt d 3 函数 满足傅氏积分定理的条件 其傅氏积分公式为 证明 22 0 cos 2 t t de 2 证明 tetf t cos 0 4 2 cos 2 cos 4 2 tedt t 3 证明 0 sin t tt tf 2 0 sin sinsin 2 1 0 ttt d t 解 1 tF itt f teedt ii 00 2cos2 2 tt tte e etdtedt ii ii 00 0 ii tt tt ee eedt 22 112 ii tf的积分表达式为 deFtf ti 2 1 22 12 cosisin 2 tt d 22 0 2 cos td 即 22 0 cos 2 t t de 2 F dte ee edtteetf t tt ttt i ii i 2 cos 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 1 2 ttt edtedtedtedt t 00 1 i 11 i 11 i 11 i 1 00 21 i 11 i 11 i 11 i 1 tttt eeee 1 11111 2 1 i 11 i 11 i 11 i 1 2 4 24 4 tf的积分表达式为 dedeFtf tti 4 2 i 4 42 2 1 2 1 0 4 2 cos 4 421 td 因此有 0 4 2 cos 22 cos 4 2 tetftd t 3 F ii sin tt f tf t edttedt 0 sinsini2sinicossintdttdtttt 0 1cos1cosidttt 1 1sin 1 1sin i 00 tt 2 1 1sin1sin1sin1sin i 2 1 sin i2 tf的积分表达式为 dedeFtf tti 2 i 1 sin i2 2 1 2 1 0 22 1 sinsin2 sinicos 1 sini d t dtt 因此有 0 2 0 sin 2 21 sinsin t tt tfd t 4 已知某函数的傅氏变换为 tf F sin 求该函数 tf 解 dttdeFtf t sinicos sin 2 1 2 1 i 0 sin 1 sin 11sin1 cos 22 tt tdd 00 1sin 2 11sin 2 1 d t d t 而由 0 2 sin dx x x 得 当时 0 u 000 2 sinsinsin dx x x du u u d u 当时 0 1 0 1 4 1 1 2 1 t t t tf 5 已知某函数的傅氏变换为 0 F 0 求该函数 tf 解 ii 00 11 22 tt f tFeded 00 ii 0 cos 2 tt ee t 6 求符号函数 又称正负号函数 1 0 sgn 1 0 t t t tt 的傅氏变换 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件 显然不收敛 按照如下方式推广傅氏 变换的定义 首先注意到可取 且 sgn t dt 0 00 0 t n n t n et f tt et 0 则 f t的频谱函数为 F 0 2 ii 20 22 tt AA f ttA edttA e dt ii 22 222 222i22i4 1 cos 22 AeeA 2 15 求作如图所示的锯齿形波的频谱图 h tf t O T 2T 3T T 3T 2T 3T Ttt T h tf i i i 111 atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a 同理时 0a i i i 111 atu t aa f atf at edtf at ed atf u eduF aaa a 综上 1 f atF aa 4 若 F 证明 象函数的位移性质 tf 0 1 j 0 t Fef 0 Ft 即 0 j t ef t 证 000 jjj j 0 tttt ef tef t edtf t edtF 5 若 F 证明 象函数的微分性质 tf d F d j tf t 证 d F d jjjt j tt dd f t edtf tedttf t edt dd tf t j 6 若 F 证明 翻转性质 tf F ft 证 iitt Ff t edtft edt i t ft edt ft 7 若 F 证明 tf 00 1 cos 2 f ttFF 0 00 1 sin 2j f ttFF 0 证 00 00 jj j j j 0 1 cos 22 tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t ed t 00 1 2 FF 00 00 jj j j j 0 1 sin 2j2j tt ttt ee f ttf tedtf t edtf t edt 00 1 2j FF 8 利用能量积分 2 1 2 2 f tdtFd 求下列积分的值 1 2 1 cosx dx x 2 4 2 sin x dx x 3 22 1 1 dx x 4 2 2 2 1 x dx x 解 1 2 1 cosx dx x 2 2 2 2 sin sin 2 x x dxdx xx 2 1 d x x 2 sin dx x xx dxe x x x x x 0 i cossin 2 sinsin dx x xx 0 1sin1sin 再由 2 sin 0 dx x x 得 1 2 1 0 1 2 1sin 0 dx x x 1 2 1 0 1 2 1sin 0 dx x x 所以由 式得 其他 0 11 sin x x 因此由 式得 1 2 2 1 1 cos1 2 x dxd x 2 22 4 22 1 sinsin 2 sin 4 xx x dxdx xx 22 sin1sin 2 xx dxdx xx 2 1sin11 22 2 x dx x 2 sin x d x 1 1 2 24 1 d 3 参见本题第 4 小题 4 22 22 22 1 1 11 xx dxdx xx 22 2 11 1 1 dxdx x x 2 1 arctan 12 dtx x 2 2 2 11 2 1 dx x 2 2 1 1 d x i 22 11cos 111 x 2 x edxd xxx x 利用留数理论计算 i 1 iRes2Re 1 Re 2 i 2 i z e dt t e zt iRe i1 i2Re ee e 故 0 2 22 2 2 2 1 1 1 dededt t 22 0 2 e 于是 22 1 2 2 2 dt t t 习题四 1 证明下列各式 1 1221 ftftftft 2 123123 ftftftftftft 3 121212 a ftftaftftftaft 为常数 a 4 tfetfetftfe ttt 2121 为常数 a 5 121211211222 ftftgtgtftgtftgtftgtftgt 6 12 1221 dftdftd ftftftft dtdtdt 证 1 1212 ftftff td 1221 f tu f u duftft 2 记 23 g xf tf t 123123 ftftftffdf td 1231 fff tddfg td 112 3 f tg tftftft 3 12121212 a ftftaff tdaff tdfaf td 1212 aftftftaft 4 1212 ttt efteftefef td 1212 tt eff tdeftft 5 12121212 ftftgtgtffgtgtd 11122122 fgtdfgtdfgtdfgtd 11211222 ftgtftgtftgtftgt 6 1212 dd ftftfftd dtdt 12 d fftd dt 12 d ftft dt 122121 ddd ftftftftftft dtdtdt 12 d ftft dt 因此有 12 1221 dftdftd ftftftft dtdtdt 3 若 1 0 0 0 t t ft et 与 2 sin 0 2 0 tt ft 其他 求 12 ftft 解 1212 ftftfftd 2 0 eftd 当0 2 t t时 式为 12 2 sin t t ftftetd i1i1i2 1 2 i1 i2 i1 i t t t t t t e e e e i1i1i2 1 2 i1 i1i12 i1 i tt t it t t t ee e ee e i1 i1 i1 1i i2 1 22 ee e t 2 ii1i1i i2 2222 eeeee t 2 1 2 e e t 当时 式为 0 0 t 故有 12 2 0 0 1 sincos 0 22 1 22 t t t ftftttet e et 当时 当时 当时 3 若 1 F 1 ft 2 F 2 ft 证明 1212 1 2 f tf tFF 证 1i 1212 1 2 t FFFFded i i 21 1 2 2 tt Fede Fdf tf 2 t 4 求下列函数的傅氏变换 1 0 sinf tt u t 2 0 sin t f tet u t 3 0 cos t f tet u t 4 0 jt f teu t 5 0 j 0 t f teu tt 6 0 jt f tet u t 解 1 F dtettutf t i 0 sin dte ee tu t tt i ii i2 00 dtetudtetu tt 00 ii i2 1 i2 1 0 0 0 0 i 1 i 1 00 2 0 2 0 2 i 00 22 0 0 2 i 2 F i 0 sin tt f teu ttedt 00 ii i 0 2i tt tt ee eedt 00 ii 0 1 2i tt eedt 00 ii 00 00 1 2iii tt ee 00 111 2iii 00 22 2 0 0 2i1 2ii i 3 F i 0 cos tt f teu ttedt 00 ii i 0 2 tt tt ee ee dt 00 ii 0 1 2 tt eedt 00 111 2ii 2 2 0 i i 4 由像函数的位移性质及 i 1 tu得 0 i 0 0 1 i t eu t 5 根据位移性质 0 i 0 t ett