复变函数期中试题库.pdf

复变函数论 试题库 复变函数论 试题库 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 一一 一 判断题 20 分 1 若 f z 在 z0的某个邻域内可导 则函数 f z 在 z0解析 2 有界整函数必在整个复平面为常数 3 若 n z 收敛 则 Re n z 与 Im n z 都收敛 4 若 f z 在区域 D 内解析 且 0 zf 则 Czf 常数 5 若函数 f z 在 z0处解析 则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 6 若 z0是 zf 的 m 阶零点 则 z0是 1 zf 的 m 阶极点 7 若 lim 0 zf zz 存在且有限 则 z0是函数 f z 的可去奇点 8 若函数 f z 在是区域 D 内的单叶函数 则 0 Dzzf 9 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C0 C dzzf 10 若函数 f z 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数 则 f z 在区域 D 内恒等于常数 二 填空题 20 分 1 1 0 0 zz n zz dz n为自然数 2 zz 22 cossin 3 函数 zsin 的周期为 4 设 1 1 2 z zf 则 zf 的孤立奇点有 5 幂级数 0 n n nz 的收敛半径为 6 若函数 f z 在整个平面上处处解析 则称它是 7 若 n n zlim 则 n zzz n n lim 21 8 0 Re n z z e s 其中 n 为自然数 9 z zsin 的孤立奇点为 10 若 0 z 是 zf 的极点 则 lim 0 zf zz 三 计算题 40 分 1 设 2 1 1 zz zf 求 zf 在 1 0 zzD 内的罗朗展式 2 cos 1 1 z dz z 3 设 C d z zf 173 2 其中 3 zzC 试求 1 if 4 求复数 1 1 z z w 的实部与虚部 四 证明题 20 分 1 函数 zf在区域D内解析 证明 如果 zf在D内为常数 那么它在D内 为常数 2 试证 1 f zzz 在割去线段0Re1z 的z平面内能分出两个单值解析分支 并求出支割线0Re1z 上岸取正值的那支在1z 的值 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 二 二 一 判断题 20 分 1 若函数 yxivyxuzf 在 D 内连续 则 u x y 与 v x y 都在 D 内连续 2 cos z 与 sin z 在复平面内有界 3 若函数 f z 在 z0解析 则 f z 在 z0连续 4 有界整函数必为常数 5 如 z0是函数 f z 的本性奇点 则 lim 0 zf zz 一定不存在 6 若函数 f z 在 z0可导 则 f z 在 z0解析 7 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C0 C dzzf 8 若数列 n z收敛 则 Re n z与 Im n z都收敛 9 若 f z 在区域 D 内解析 则 f z 也在 D 内解析 10 存在一个在零点解析的函数 f z 使0 1 1 n f且 2 1 2 1 2 1 n nn f 二 填空题 20 分 1 设iz 则 arg zzz 2 设Ciyxzyxixyxzf sin 1 2 222 则 lim 1 zf iz 3 1 0 0 zz n zz dz n为自然数 4 幂级数 0 n n nz 的收敛半径为 5 若 z0是 f z 的 m 阶零点且 m 0 则 z0是 zf的 零点 6 函数 ez的周期为 7 方程0832 35 zzz在单位圆内的零点个数为 8 设 2 1 1 z zf 则 zf的孤立奇点有 9 函数 zzf 的不解析点之集为 10 1 1 Res 4 z z 三 计算题 40 分 1 求函数 2sin 3 z 的幂级数展开式 2 在复平面上取上半虚轴作割线 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支 并求它在上半虚轴左沿的点及右 沿的点iz 处的值 3 计算积分 i i zzId 积分路径为 1 单位圆 1 z 的右半圆 4 求 dz z z z 2 2 2 sin 四 证明题 20 分 1 设函数 f z 在区域 D 内解析 试证 f z 在 D 内为常数的充要条件是 zf在 D 内解析 2 试用儒歇定理证明代数基本定理 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 三 三 一 判断题 20 分 1 cos z与 sin z的周期均为 k2 2 若f z 在z0处满足柯西 黎曼条件 则f z 在z0解析 3 若函数f z 在z0处解析 则f z 在z0连续 4 若数列 n z收敛 则 Re n z与 Im n z都收敛 5 若函数f z 是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数 则数f z 在区 域D内为常数 6 若函数f z 在z0解析 则f z 在z0的某个邻域内可导 7 如果函数f z 在 1 zzD上解析 且 1 1 zzf 则 1 1 zzf 8 若函数f z 在z0处解析 则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数 9 若z0是 zf的m阶零点 则z0是1 zf的m阶极点 10 若 0 z是 zf的可去奇点 则0 Res 0 zzf 二 填空题 20 分 1 设 1 1 2 z zf 则f z 的定义域为 2 函数e z的周期为 3 若 n n n i n n z 1 1 1 2 则 n z n lim 4 zz 22 cossin 5 1 0 0 zz n zz dz n为自然数 6 幂级数 0n n nx的收敛半径为 7 设 1 1 2 z zf 则f z 的孤立奇点有 8 设1 z e 则 z 9 若 0 z是 zf的极点 则 lim 0 zf zz 10 0 Res n z z e 三 计算题 40 分 1 将函数 1 2 z f zz e 在圆环域0z 内展为 Laurent 级数 2 试求幂级数 n n nz n n 的收敛半径 3 算下列积分 C z zz ze 9 d 22 其中C是1 z 4 求0282 269 zzzz在 z 1 内根的个数 四 证明题 20 分 1 函数 zf在区域D内解析 证明 如果 zf在D内为常数 那么它 在D内为常数 2 设 zf是一整函数 并且假定存在着一个正整数n 以及两个正数R及M 使得当Rz 时 n zMzf 证明 zf是一个至多n次的多项式或一常数 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 四 四 一 判断题 20 分 1 若 f z 在 z0解析 则 f z 在 z0处满足柯西 黎曼条件 2 若函数 f z 在 z0可导 则 f z 在 z0解析 3 函数zsin与zcos在整个复平面内有界 4 若 f z 在区域 D 内解析 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 0 C dzzf 5 若 lim 0 zf zz 存在且有限 则 z0是函数的可去奇点 6 若函数 f z 在区域 D 内解析且0 zf 则 f z 在 D 内恒为常数 7 如果 z0是 f z 的本性奇点 则 lim 0 zf zz 一定不存在 8 若0 0 0 0 zfzf n 则 0 z为 zf的 n 阶零点 9 若 zf与 zg在D内 解 析 且 在D内 一 小 弧 段 上 相 等 则 Dzzgzf 10 若 zf在 0z内解析 则 Res 0 Res zfzf 二 填空题 20 分 1 设 i z 1 1 则 Im Re zz 2 若 n n zlim 则 n zzz n n lim 21 3 函数 ez的周期为 4 函数 2 1 1 z zf 的幂级数展开式为 5 若函数 f z 在复平面上处处解析 则称它是 6 若函数 f z 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析 则称它是 D 内的 7 设1 zC 则 1 C dzz 8 z zsin 的孤立奇点为 9 若 0 z是 zf的极点 则 lim 0 zf zz 10 0 Res n z z e 三 计算题 40 分 1 解方程 01 3 z 2 设 1 2 z e zf z 求 Re zfs 3 9 2 2 z dz izz z 4 函数 f z zez 1 1 1 有哪些奇点 各属何类型 若是极点 指明它的阶数 四 证明题 20 分 1 证明 若函数 zf在上半平面解析 则函数 zf在下半平面解析 2 证明036 4 zz方程在2 1 z内仅有 3 个根 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 五 五 一 判断题 20 分 1 若函数 f z 是单连通区域 D 内的解析函数 则它在 D 内有任意阶导数 2 若函数 f z 在区域 D 内的解析 且在 D 内某个圆内恒为常数 则在区域 D 内 恒等于常数 3 若 f z 在区域 D 内解析 则 f z 也在 D 内解析 4 若幂级数的收敛半径大于零 则其和函数必在收敛圆内解析 5 若函数 f z 在 z0处满足 Cauchy Riemann条件 则 f z 在 z0解析 6 若 lim 0 zf zz 存在且有限 则 z0是 f z 的可去奇点 7 若函数 f z 在 z0可导 则它在该点解析 8 设函数 zf在复平面上解析 若它有界 则必 zf为常数 9 若 0 z是 zf的一级极点 则 lim Res 00 0 zfzzzzf zz 10 若 zf与 zg在D内解析 且 在D内一小弧 段上 相等 则 Dzzgzf 二 填空题 20 分 1 设iz31 则 arg zzz 2 当 z时 z e为实数 3 设1 z e 则 z 4 z e的周期为 5 设1 zC 则 1 C dzz 6 0 1 Res z ez 7 若函数 f z 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析 则称它是 D 内的 8 函数 2 1 1 z zf 的幂级数展开式为 9 z zsin 的孤立奇点为 10 设 C 是以为 a 心 r 为半径的圆周 则 1 Cn dz az n为自 然数 三 计算题 40 分 1 求复数 1 1 z z 的实部与虚部 2 计算积分 zzI L dRe 在这里 L 表示连接原点到1 i 的直线段 3 求积分 I 2 0 2 cos21aa d 其中 0 a 1 4 应用儒歇定理求方程 zz 在 z 1 内根的个数 在这里 z 在 1 z上解析 并且1 z 四 证明题 20 分 1 证明函数 2 zzf 除去在0 z外 处处不可微 2 设 zf是一整函数 并且假定存在着一个正整数 n 以及两个数 R 及 M 使得当Rz 时 n zMzf 证明 zf是一个至多 n 次的多项式或一常数 复变函数 考试试题 六 复变函数 考试试题 六 一 判断题 30 分 1 若函数 f z在 0 z解析 则 f z在 0 z连续 2 若函数 f z在 0 z处满足 Caychy Riemann 条件 则 f z在 0 z解析 3 若函数 f z在 0 z解析 则 f z在 0 z处满足 Caychy Riemann 条件 4 若函数 f z在是区域D内的单叶函数 则 0 fzzD 5 若 f z在单连通区域D内解析 则对D内任一简单闭曲线C都有 0 C f z dz 6 若 f z在区域D内解析 则对D内任一简单闭曲线C都有 0 C f z dz 7 若 0 fzzD 则函数 f z在是D内的单叶函数 8 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 9 如果函数 f z在 1Dzz 上解析 且 1 1 f zz 则 1 1 f zz 10 sin1 zzC 二 填空题 20 分 1 若 21 1 1 n n n zi nn 则lim n z 2 设 2 1 1 f z z 则 f z的定义域为 3 函数sin z的周期为 4 22 sincoszz 5 幂级数 0 n n nz 的收敛半径为 6 若 0 z是 f z的m阶零点且1m 则 0 z是 fz 的 零点 7 若函数 f z在整个复平面处处解析 则称它是 8 函数 f zz 的不解析点之集为 9 方程 53 2380zzz 在单位圆内的零点个数为 10 公式cossin ix exix 称为 三 计算题 30 分 1 2 lim 6 n n i 2 设 2 371 C f zd z 其中 3Czz 试求 1 fi 3 设 2 1 z e f z z 求Re s f z i 4 求函数 3 6 sin z z 在0z 内的罗朗展式 5 求复数 1 1 z w z 的实部与虚部 6 求 3 i e 的值 四 证明题 20 分 1 方程 763 9610zzz 在单位圆内的根的个数为 6 2 若函数 f zu x yiv x y 在区域D内解析 v x y等于常数 则 f z在D恒等 于常数 3 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 复变函数 考试试题 七 复变函数 考试试题 七 一 判断题 24 分 1 若函数 f z在 0 z解析 则 f z在 0 z的某个领域内可导 2 若函数 f z在 0 z处解析 则 f z在 0 z满足 Cauchy Riemann 条件 3 如果 0 z是 f z的可去奇点 则 0 lim zz f z 一定存在且等于零 4 若函数 f z是区域D内的单叶函数 则 0 fzzD 5 若函数 f z是区域D内的解析函数 则它在D内有任意阶导数 6 若函数 f z在区域D内的解析 且在D内某个圆内恒为常数 则在区域D内恒等于 常数 7 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 二 填空题 20 分 1 若 11 sin 1 1 n n zi nn 则lim n z 2 设 2 1 z f z z 则 f z的定义域为 3 函数 z e的周期为 4 22 sincoszz 5 幂级数 2 2 0 n n n z 的收敛半径为 6 若 0 z是 f z的m阶零点且1m 则 0 z是 fz 的 零点 7 若函数 f z在整个复平面处处解析 则称它是 8 函数 f zz 的不解析点之集为 9 方程 83 3380zzz 在单位圆内的零点个数为 10 Re 0 z n e s z 三 计算题 30 分 1 求 22 11 22 ii 2 设 2 371 C f zd z 其中 3Czz 试求 1 fi 3 设 2 z e f z z 求Re 0 s f z 4 求函数 1 1 z zz 在12z 内的罗朗展式 5 求复数 1 1 z w z 的实部与虚部 6 利用留数定理计算积分 2 0 cos dx ax 1 a 四 证明题 20 分 1 方程 7633 249610zzzz 在单位圆内的根的个数为 7 2 若函数 f zu x yiv x y 在区域D内解析 f z等于常数 则 f z在D恒等 于常数 3 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将z平面上的上半单位圆盘 1 Im0zzz 保形映射为w平面的单 位圆盘 1w w 复变函数 考试试题 八 复变函数 考试试题 八 一 判断题 20 分 1 若函数 f z在 0 z解析 则 f z在 0 z连续 2 若函数 f z在 0 z满足 Cauchy Riemann 条件 则 f z在 0 z处解析 3 如果 0 z是 f z的本性奇点 则 0 lim zz f z 一定不存在 4 若函数 f z是区域D内解析 并且 0 fzzD 则 f z是区域D的单叶函数 5 若函数 f z是区域D内的解析函数 则它在D内有任意阶导数 6 若函数 f z是单连通区域D内的每一点均可导 则它在D内有任意阶导数 7 若函数 f z在区域D内解析且 0fz 则 f z在D内恒为常数 8 存在一个在零点解析的函数 f z使 1 0 1 f n 且 11 1 2 22 fn nn 9 如果函数 f z在 1Dzz 上解析 且 1 1 f zz 则 1 1 f zz 10 sin z是一个有界函数 二 填空题 20 分 1 若 21 1 1 n n n zi nn 则lim n z 2 设 lnf zz 则 f z的定义域为 3 函数sin z的周期为 4 若lim n n z 则 12 lim n n zzz n 5 幂级数 5 0 n n nz 的收敛半径为 6 函数 2 1 1 f z z 的幂级数展开式为 7 若C是单位圆周 n是自然数 则 0 1 n C dz zz 8 函数 f zz 的不解析点之集为 9 方程 532 15480zzz 在单位圆内的零点个数为 10 若 2 1 1 f z z 则 f z的孤立奇点有 三 计算题 30 分 1 求 1 13 1 sin 2 1 4 z zz dz ezdz izz 2 设 2 371 C f zd z 其中 3Czz 试求 1 fi 3 设 2 1 z e f z z 求Re s f z 4 求函数 2 10 1 2 z zz 在2z 内的罗朗展式 5 求复数 1 1 z w z 的实部与虚部 四 证明题 20 分 1 方程 763 155610zzz 在单位圆内的根的个数为 7 2 若函数 f zu x yiv x y 在区域D内连续 则二元函数 u x y与 v x y都在D 内连续 4 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将z平面上的区域 4 0arg 5 zz 保形映射为w平面的单位圆盘 1w w 复变函数 考试试题 九 复变函数 考试试题 九 一 判断题 20 分 1 若函数 f z在 0 z可导 则 f z在 0 z解析 2 若函数 f z在 0 z满足 Cauchy Riemann 条件 则 f z在 0 z处解析 3 如果 0 z是 f z的极点 则 0 lim zz f z 一定存在且等于无穷大 4 若函数 f z在单连通区域D内解析 则对D内任一简单闭曲线C都有 0 C f z dz 5 若函数 f z在 0 z处解析 则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数 6 若函数 f z在区域D内的解析 且在D内某一条曲线上恒为常数 则 f z在区域D内 恒为常数 7 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 8 如果函数 f z在 1Dzz 上解析 且 1 1 f zz 则 1 1 f zz 9 lim z z e 10 如果函数 f z在1z 内解析 则 11 max max zz f zf z 二 填空题 20 分 1 若 12 sin 1 1 n n zi nn 则lim n z 2 设 1 sin f z z 则 f z的定义域为 3 函数sin z的周期为 4 22 sincoszz 5 幂级数 0 n n nz 的收敛半径为 6 若 0 z是 f z的m阶零点且1m 则 0 z是 fz 的 零点 7 若函数 f z在整个复平面除去有限个极点外 处处解析 则称它是 8 函数 f zz 的不解析点之集为 9 方程 83 2011350zzz 在单位圆内的零点个数为 10 2 Re 1 1 z e s z 三 计算题 30 分 1 2 lim 6 n n i 2 设 2 371 C f zd z 其中 3Czz 试求 1 fi 3 设 2 1 z e f z z 求Re s f zi 4 求函数 1 2 z zz 在12z 内的罗朗展式 5 求复数 1 1 z w z 的实部与虚部 6 利用留数定理计算积分 2 42 2 109 xx dx xx 四 证明题 20 分 1 方程 763 9610zzz 在单位圆内的根的个数为 6 2 若函数 f zu x yiv x y 在区域D内解析 u x y等于常数 则 f z在D恒等 于常数 7 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是 1 f z 的m阶极点 五 计算题 10 分 求一个单叶函数 去将z平面上的带开区域 Im 2 zz 保形映射为w平面的单位圆 盘 1w w 复变函数 考试试题 十 复变函数 考试试题 十 一 判断题 40 分 1 若函数 f z在 0 z解析 则 f z在 0 z的某个邻域内可导 2 如果 0 z是 f z的本性奇点 则 0 lim zz f z 一定不存在 3 若函数 f zu x yiv x y 在D内连续 则 u x y与 v x y都在D内连续 4 cosz与sin z在复平面内有界 5 若 0 z是 f z的m阶零点 则 0 z是1 f z的m阶极点 6 若 f z在 0 z处满足柯西 黎曼条件 则 f z在 0 z解析 7 若 0 lim zz f z 存在且有限 则 0 z是函数的可去奇点 8 若 f z在单连通区域D内解析 则对D内任一简单闭曲线C都有 0 C f x dz 9 若函数 f z是单连通区域D内的解析函数 则它在D内有任意阶导数 10 若函数 f z在区域D内解析 且在D内某个圆内恒为常数 则在区域D内恒等于常 数 二 填空题 20 分 1 函数 z e的周期为 2 幂级数 0 n n nz 的和函数为 3 设 2 1 1 f z z 则 f z的定义域为 4 0 n n nz 的收敛半径为 5 Re 0 z n e s z 三 计算题 40 分 1 2 9 z z dz zzi 2 求 2 Re 1 iz e si z 3 11 22 nn ii 4 设 22 ln u x yxy 求 v x y 使得 f zu x yiv x y 为解析函数 且满足 1 ln2fi 其中zD D为复平面内的区域 5 求 4 510zz 在1z 内根的个数 复变函数 考试试题 十一 复变函数 考试试题 十一 一 判断题 正确者在括号内打 错误者在括号内打 每题 2 分 1 当复数0z 时 其模为零 辐角也为零 2 若 0 z是多项式 1 10 nn nn P za zaza 0 n a 的根 则 0 z也 P z是的根 3 如果函数 f z为整函数 且存在实数M 使得Re f zM 则 f z为一常数 4 设函数 1 f z与 2 fz在区域内D解析 且在D内的一小段弧上相等 则对任意的zD 有 1 f z 2 fz 5 若z 是函数 f z的可去奇点 则Re 0 z s f z 二 填空题 每题 2 分 1 23456 iiiii 2 设0zxi y 且a r g a r c t a n 22 y z x 当0 0 xy 时 a r ga r c t a n y x 3 函数 1 w z 将z平面上的曲线 22 1 1xy 变成w平面上的曲线 4 方程 44 0 0 zaa 的不同的根为 5 1 ii 6 级数 2 0 2 1 n n z 的收敛半径为 7 cosnz在zn n为正整数 内零点的个数为 8 函数 336 6sin 6 f zzzz 的零点0z 的阶数为 9 设a为 函 数 z f z z 的 一 阶 极 点 且 0 0 0aaa 则 Re z a fz s f z 10 设a为函数 f z的m阶极点 则 Re z a fz s f z 三 计算题 50 分 1 设 22 1 ln 2 u x yxy 求 v x y 使得 f zu x yiv x y 为解析函数 且 满足 1 1 ln2 2 fi 其中zD D为复平面内的区域 15 分 2 求下列函数的奇点 并确定其类型 对于极点要指出它们的阶 10 分 1 2 tan z 5 分 2 1 1 1 z z e e 5 分 3 计算下列积分 15 分 1 19 2443 4 1 2 z z dz zz 8 分 2 2 0 1 cos d 7 分 4 叙述儒歇定理并讨论方程 742 520zzz 在1z 内根的个数 10 分 四 证明题 20 分 1 设 f zu x yiv x y 是上半复平面内的解析函数 证明 f z是下半复平面内的解 析函数 10 分 2 设函数 f z在zR 内解析 令 max 0 zr M rf zrR 证明 M r在区 间 0 R上是一个上升函数 且若存在 1 r及 2 r 12 0rrR 使 12 M rM r 则 f z 常数 10 分 复变函数 考试试题 十二 复变函数 考试试题 十二 二 判断题 正确者在括号内打 错误者在括号内打 每题 2 分 1 设复数 111 zxiy 及 222 zxiy 若 12 xx 或 12 yy 则称 1 z与 2 z是相等的复数 2 函数 Ref zz 在复平面上处处可微 3 22 sincos1zz 且sin1 cos1zz 4 设函数 f z是有界区域D内的非常数的解析函数 且在闭域DDD 上连续 则存 在0M 使得对任意的zD 有 f zM 5 若函数 f z是非常的整函数 则 f z必是有界函数 二 填空题 每题 2 分 1 23456 iiiii 2 设0zxi y 且a r g a r c t a n 22 y z x 当0 0 xy 时 a r ga r c t a n y x 3 若已知 2222 11 1 1 f zxiy xyxy 则其关于变量z的表达式为 4 n z以z 为支点 5 若ln 2 zi 则z 6 1z dz z 7 级数 246 1 zzz 的收敛半径为 8 cosnz在zn n为正整数 内零点的个数为 9 若za 为函数 f z的一个本质奇点 且在点a的充分小的邻域内不为零 则za 是 1 f z 的 奇点 10 设a为函数 f z的n阶极点 则 Re z a fz s f z 三 计算题 50 分 1 设区域D是沿正实轴割开的z平面 求函数 5 wz 在D内满足条件 5 11 的单值 连续解析分支在1zi 处之值 10 分 2 求下列函数的奇点 并确定其类型 对于极点要指出它们的阶 并求它们留数 15 分 1 2 n 1 Lz f z z 的各解析分支在1z 各有怎样的孤立奇点 并求这些点的留数 10 分 2 求 1 0 Re z n z e s z 5 分 3 计算下列积分 15 分 1 7 232 2 1 2 z z dz zz 8 分 2 2 22 2 0 x dx a xa 7 分 4 叙述儒歇定理并讨论方程 6 6100zz 在1z 内根的个数 10 分 四 证明题 20 分 1 讨论函数 z f ze 在复平面上的解析性 10 分 2 证明 2 1 2 nzn n C z edz inn 此处C是围绕原点的一条简单曲线 10 分 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 十三 十三 一 填空题 每题 分 设 cossin zri 则 1 z 设函数 f zu x yiv x y 00 Auiv 000 zxiy 则 0 lim zz f zA 的充 要条件是 设函数 f z在单连通区域D内解析 则 f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分 C f z dz 设za 为 f z的极点 则lim za f z 设 sinf zzz 则0z 是 f z的 阶零点 设 2 1 1 f z z 则 f z在0z 的邻域内的泰勒展式为 设zazab 其中 a b为正常数 则点z的轨迹曲线是 设sincos 66 zi 则z的三角表示为 4 0 coszzdz 设 2 z e f z z 则 f z在0z 处的留数为 二 计算题 计算下列各题 分 1 cosi 2 ln 23 i 3 3 3 i 2 求解方程 3 80z 分 设 22 uxyxy 验 证u是调和 函数 并 求解 析函 数 f zuiv 使之 1f ii 分 计算积分 10 分 1 2 C xiy dz 其中C是沿 2 yx 由原点到点1zi 的曲线 2 1 2 0 i xyix dz 积分路径为自原点沿虚线轴到i 再由i沿水平方向向右到1 i 试将函数 1 1 2 f z zz 分别在圆环域01z 和12z 内展开为洛朗级 数 分 计算下列积分 分 1 2 2 52 1 z z dz z z 2 2 2 4 sin 1 z z dz zz 计算积分 2 4 1 x dx x 分 求下列幂级数的收敛半径 分 1 1 1 n n nz 2 1 1 n n n z n 讨论 2 f zz 的可导性和解析性 分 三 证明题 设函数 f z在区域D内解析 f z为常数 证明 f z必为常数 分 试证明0azazb 的轨迹是一直线 其中a为复常数 b为实常数 分 复变函数 复变函数 考试试题考试试题 十四 十四 一 填空题 每题 分 设 cossin zri 则 n z 设函数 f zu x yiv x y 00 Auiv 000 zxiy 则 0 lim zz f zA 的充 要条件 设函数 f z在单连通区域D内解析 则 f z在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分 C f z dz 设za 为 f z的可去奇点 lim za f z 设 2 2 1 z f zz e 则0z 是 f z的 阶零点 设 2 1 1 f z z 则 f z在0z 的邻域内的泰勒展式为 设zazab 其中 a b为正常数 则点z的轨迹曲线是 设sincoszi 则z的三角表示为 1 0 i z ze dz 设 2 1 sinf zz z 则 f z在0z 处的留数为 二 计算题 计算下列各题 分 1 34 Lni 2 1 6 i e 3 1 1 i i 2 求解方程 3 20z 分 设2 1 uxy 验证u是调和函数 并求解析函数 f zuiv 使之 2 fi 分 计算积分 1 2 0 i xyix dz 其中路径为 自原点到点1 i 的直线段 2 自原点沿虚轴到i 再由i沿水平方向向右到1 i 10 分 试将函数 1 2 f z z 在1z 的邻域内的泰勒展开式 分 计算下列积分 分 1 2 2 sin 2 z z dz z 2 2 2 4 2 3 z z dz zz 计算积分 2 0 53cos d 分 求下列幂级数的收敛半径 分 1 1 1 n n n iz 2 2 1 n n n n z n 设 3232 f zmynx yi xlxy 为复平面上的解析函数 试确定l m n的值 分 三 证明题 设函数 f z在区域D内解析 f z在区域D内也解析 证明 f z必为常数 分 试证明0azazb 的轨迹是一直线 其中a为复常数 b为实常数 分 试卷一至十四参考答案试卷一至十四参考答案 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 一一 参考答案参考答案 一 判断题 1 2 6 10 二 填空题 1 21 01 in n 2 1 3 2k kz 4 zi 5 1 6 整函数 7 8 1 1 n 9 0 10 三 计算题 1 解 因为01 z 所以01z 111 1 2 1 2 1 2 f z z zzz 00 1 22 nn nn z z 2 解 因为 222 1 2 Re limlim1 cossin zzz z s f z zz 222 1 2 Re limlim1 cossin zzz z s f z zz 所以 2 22 1 2 Re Re 0 cos z zz dzis f zs f z z 3 解 令 2 371 则它在z平面解析 由柯西公式有在3z 内 2 c f zdziz z 所以 1 1 2 2 136 2 6 13 zi fiiziii 4 解 令zabi 则 222222 122 1 2 1 2 111 11 1 1 1 zabiab w zzababab 故 22 12 1 Re 1 1 1 za zab 22 12 Im 1 1 zb zab 四 证明题 1 证明 设在D内 f zC 令 2 222 f zuivf zuvc 则 两边分别对 x y求偏导数 得 0 1 0 2 xx yy uuvv uuvv 因为函数在D内解析 所以 xyyx uv uv 代入 2 则上述方程组变为 0 0 xx xx uuvv vuuv 消去 x u得 22 0 x uv v 1 若 22 0uv 则 0f z 为常数 2 若0 x v 由方程 1 2 及 CR 方程有0 x u 0 y u 0 y v 所以 12 uc vc 12 c c为常数 所以 12 f zcic 为常数 2 证明 1 f zzz 的支点为0 1z 于是割去线段0Re1z 的z平面内变点就 不可能单绕 0 或 1 转一周 故能分出两个单值解析分支 由于当z从支割线上岸一点出发 连续变动到0 1z 时 只有z的幅角增加 所以 1 f zzz 的幅角共增加 2 由已知所取分支在支割线上岸取正值 于是可认为该分 支在上岸之幅角为 0 因而此分支在1z 的幅角为 2 故 2 1 22 i fei 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 二二 参考答案参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 1 2 i 2 3 1 sin2 i 3 21 01 in n 4 1 5 1m 6 2k i kz 7 0 8 i 9 R 10 0 三 计算题 1 解 3 212163 3 00 1 2 1 2 sin 2 21 21 nnnnn nn zz z nn 2 解 令 i zre 则 2 2 0 1 k i f zzrek 又因为在正实轴去正实值 所以0k 所以 4 i f ie 3 单位圆的右半圆周为 i ze 22 所以 22 22 2 i ii i zdzdeei 4 解 dz z z z 2 2 2 sin 2 sin2 z zi 2 cos2 z zi 0 四 证明题 1 证明 必要性 令 12 f zcic 则 12 f zcic 12 c c为实常数 令 12 u x yc v x yc 则0 xyyx uvuv 即 u v满足 CR 且 xyyx u v u v连续 故 f z在D内解析 充分性 令 f zuiv 则 f zuiv 因为 f z与 f z在D内解析 所以 xyyx uvuv 且 xyyyxx uvvuvv 比较等式两边得 0 xyyx uvuv 从而在D内 u v均为常数 故 f z在D内为常数 2 即要证 任一 n 次方程 1 0110 0 0 nn nn a za zazaa 有且只有 n个 根 证明 令 1 011 0 nn nn f za za zaza 取 1 0 max 1 n aa R a 当z 在 CzR 上时 有 11 1110 nnn nnn za RaRaaaRa R f z 由儒歇定理知在圆 zR 内 方程 1 011 0 nn nn a za zaza 与 0 0 n a z 有相 同个数的根 而 0 0 n a z 在 zR 内有一个 n 重根 0z 因此n次方程在zR 内有n 个根 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 三三 参考答案参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 z zizC 且 2 2 k ikz 3 1 ei 4 1 5 21 01 in n 6 1 7 i 8 21 zki 9 10 1 1 n 三 计算题 1 解 12 22 2 0 11 1 2 n z n z z ez zzn 2 解 1 1 1 11 l i ml i ml i m l i m 1 1 n nn n n nnnn n cnnn e cnnnn 所以收敛半径为e 3 解 令 22 9 z e f z zz 则 2 0 0 1 Re 99 z z z e s f z z 故原式 0 2 2Re 9 z i is f z 4 解 令 962 22f zzzz 8zz 则在 C 1z 上 f zz 与均解析 且 6 8f zz 故由儒歇定理有 1NfCNfC 即在 1z 内 方程只有一个根 四 证明题 1 证明 证明 设在D内 f zC 令 2 222 f zuivf zuvc 则 两边分别对 x y求偏导数 得 0 1 0 2 xx yy uuvv uuvv 因为函数在D内解析 所以 xyyx uv uv 代入 2 则上述方程组变为 0 0 xx xx uuvv vuuv 消去 x u得 22 0 x uv v 1 22 0uv 则 0f z 为常数 2 若0 x v 由方程 1 2 及 CR 方程有0 x u 0 y u 0 y v 所以 12 uc vc 12 c c为常数 所以 12 f zcic 为常数 2 证明 取 rR 则对一切正整数 kn 时 1 0 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr 于是由r的任意性知对一切kn 均有 0 0 k f 故 0 n nn k f zc z 即 f z是一个至多n次多项式或常数 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 四四 参考答案参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 1 2 1 2 2 3 2 k ikz 4 2 0 1 1 nn n zz 5 整函数 6 亚纯函数 7 0 8 0z 9 10 1 1 n 三 计算题 1 iiz iz iiz k k i k zz 2 3 2 1 3 5 sin 3 5 cos 1sincos 2 3 2 1 3 sin 3 cos 2 1 0 3 2 sin 3 2 cos1 3 2 1 3 解 2 解 1 1 Re 12 z z z ee s f z z 1 1 1 Re 12 z z z ee s f z z 故原式 1 11 2 Re Re zz is f zs f zi ee 3 解 原式 2 2Re 2 95 zi zi z is f zi z 4 解 zez 1 1 1 1 1 z z ez ez 令 0 1 z ez 得 ikzz 2 0 2 1 k 而 zz z z z z z z z zee e ze ez ze 1 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 000 2 1 lim 0 zzz z z zeee e 0 z 为可去奇点 当 ikz 2 时 01 0 z ezk 而 0 2 1 2 1 ikz zee ikz ze zzz ikz 2 为一阶极点 四 证明题 1 证明 设 F zf z 在下半平面内任取一点 0 z z是下半平面内异于 0 z的点 考虑 000 000 000 limlimlim zzzzzz F zF zf zf zf zf z zzzzzz 而 0 z z在上半 平面内 已知 f z在上半 平面解 析 因此 00 F zfz 从而 F zf z 在下半平面内解析 2 证明 令 63f zz 4 zz 则 f z与 z 在全平面解析 且在 1 2Cz 上 15 16f zz 故在2z 内 11 4N fCNC 在 2 1Cz 上 3 1f zz 故在1z 内 22 1N fCN f C 所以f 在12z 内仅有三个零点 即原方程在12z 内仅有三个根 复变函数 考试试题 复变函数 考试试题 五五 参考答案参考答案 一 判断题 1 6 10 二 填空题 1 2 3 13i 2 2 ak ikz a 为任意实数 3 21 ki kz 4 2 k i kz 5 0 6 0 7 亚纯函数 8 2 0 1 1 nn n zz 9 0 10 21 01 in n 三 计算题 1 解 令zabi 则 222222 122 1 2 1 2 111 11 1 1 1 zabiab w zzababab 故 22 12 1 Re 1 1 1 za zab 22 12 Im 1 1 zb zab 2 解 连接原点及1 i 的直线段的参数方程为 1 01zi tt 故 11 00 1 ReRe 1 1 1 2 c i zdzi ti dtitdt 3 令 i ze 则 dz d iz 当0a 时 212 1 1 2 cos1 zaaz aaa zza z 故 1 1 1 z dz I izaaz 且在圆1z 内 1 1 f z zaaz 只以za 为一级极点 在1z 上无奇点 故 2 11 Re 01 11 z a z a s f za aza 由残数定理有 2 12 2Re 01 1 z a Iis f za ia 4 解 令 f zz 则 f zz 在1z 内解析 且在 C1z 上 1 zf z 所以在1z 内 1N fCN f C 即原方程在 1z 内只有一个根 四 证明题 1 证明 因为 22 0u x yxy v x y 故2 2 0 xyxy ux uy vv 这四个偏导数在z平面上处处连续 但只在0z 处满足 CR 条件 故 f z只在除了 0z 外处处不可微 2 证明 取 rR 则对一切正整数 kn 时 1 0 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr 于是由r的任意性知对一切kn 均有 0 0 k f 故 0 n nn k f zc z 即 f z是一个至多n次多项式或常数 复变函数 考试试题 六 复变函数 考试试题 六 参考答案参考答案 一 判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二 填空题 1 1 ei 2 1z 3 2 4 1 5 1 6 1m 阶 7 整函数 8 9 0 10 欧拉公式 三 计算题 1 解 因为 2115 1 69366 i 故 2 lim 0 6 n n i 2 解 123 i 1 2 C f f zd iz 2 371 C d z 因此 2 2 371 fi 故 2 2 371 f zizz 1 1 2 67 2 136 2 6 13 i fiiziii 3 解 2 11 12 zz ee zzizi Re 2 i e s f z i 4 解 3 21 3 0 1 sin 21 nn n z z n 3 63 6 0 sin 1 21 n n n z z zn 5 解 设zxiy 则 22 22 11 1 2 11 1 zxiyxyyi w zziyxy 22 2222 12 Re Im 1 1 xyy ww xyxy 6 解 3 1 cos sin 13 332 i eii 四 1 证明 设 673 9 61 f zzzzz 则在1z 上 9 1 6 18 f zz 即有 f zz 根据儒歇定理 f z与 f zz 在单位圆内有相同个数的零点 而 f z的零点个 数为 6 故 763 9610zzz 在单位圆内的根的个数为 6 2 证明 设 v x yabi 则0 xy vv 由于 f zuiv 在内D解析 因此 x yD 有 0 xy uv 0 yx uv 于是 u x ycdi 故 f zacbd i 即 f z在内D恒为常数 3 证明 由于 0 z是 f z的m阶零点 从而可设 0 m f zzzg z 其中 g z在 0 z的某邻域内解析且 0 0g z 于是 0 111 m f zzzg z 由 0 0g z 可知存在 0 z的某邻域 1 D 在 1 D内恒有 0g z 因此 1 g z 在内 1 D解析 故 0 z为 1 f z 的m阶极点 复变函数 考试试题 七 参考答案 复变函数 考试试题 七 参考答案 一 判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 二 填空题 1 ei 2 1z 3 2 i 4 1 5 1 6 1m 阶 7 整函数 8 9 0 10 1 1 n 三 计算题 1 解 22 11 0 22 ii