2015届天津市南开区高三一模理科数学试题及答案.doc

本试卷分第本试卷分第 卷 选择题 和第卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部卷 非选择题 两部 分分 共共 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟分钟 第第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷卷 3 3 至至 9 9 页页 祝各位考生考试顺利 祝各位考生考试顺利 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 1 答第 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂在答题卡上 考试科目涂在答题卡上 2 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它 答案标号 答案标号 3 3 本卷共本卷共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 参考公式 参考公式 如果事件如果事件A A B B互斥 那么互斥 那么 如果事件如果事件A A B B 相互独立 那么相互独立 那么 P P A A B B P P A A P P B B P P ABAB P P A A P P B B 棱柱的体积公式棱柱的体积公式V V 柱体柱体 Sh Sh 球的体积公式球的体积公式 V V 球球 R R3 3 3 4 其中其中S S表示棱柱的底面积表示棱柱的底面积 其中其中R R表表 示球的半径示球的半径 h h表示棱柱的高表示棱柱的高 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 合题目要求的 1 1 i i是虚数单位 复数是虚数单位 复数 i i 52 25 A A i i B B i i C C i i D D i i 29 21 29 20 21 4 21 10 2 2 已知实数 已知实数x x y y满足约束条件满足约束条件 则目标函数 则目标函数 4 0 04 y yx yx z xz x 2 2y y的最小值是 的最小值是 A A 0 0 B B 6 6 C C 8 8 D D 1212 3 3 设 设A A B B为两个不相等的集合 条件为两个不相等的集合 条件p p x x A A B B 条件条件q q x x A A B B 则 则p p是是q q的 的 A A 充分不必要条件 充分不必要条件 B B 充要条件 充要条件 C C 必要不充分条件 必要不充分条件 D D 既不充分也不 既不充分也不 必要条件必要条件 4 4 已知双曲线 已知双曲线axax2 2 byby2 2 1 1 a a 0 0 b b 0 0 的一条渐近线 的一条渐近线 方程是方程是x x y y 0 0 它的一个焦点在抛物线 它的一个焦点在抛物线y y2 2 4 4x x的准线的准线3 上 则双曲线的方程为 上 则双曲线的方程为 A A 4 4x x2 2 1212y y2 2 1 1 B B 4 4x x2 2 y y2 2 1 1 3 4 C C 1212x x2 2 4 4y y2 2 1 1 D D x x2 2 4 4y y2 2 1 1 3 4 5 5 函数函数y y loglog0 4 0 4 x x2 2 3 3x x 4 4 的值域是的值域是 A A 0 0 2 2 B B 2 2 C C 2 2 D D 2 2 6 6 如图 网格纸上小正方形边长为 如图 网格纸上小正方形边长为 1 1 粗线是一个棱锥 粗线是一个棱锥 的三的三 视图 则此棱锥的体积为 视图 则此棱锥的体积为 A A B B 3 8 3 4 C C D D 3432 7 7 在 在 ABCABC中 内角中 内角A A B B C C的对边分别为的对边分别为a a b b c c 且且b b2 2 a a2 2 bc bc A A 则内角 则内角C C 6 A A B B 6 4 C C D D 或或 4 3 4 4 3 8 8 已知函数 已知函数f f x x mxmx x x n n 0 0 n n 1 1 m m 若关于若关于x x 的不等式的不等式f f x x 0 0的解集中的整数恰有的解集中的整数恰有3 3个个 则实数则实数m m的的取值取值 范围为 范围为 A A 3 3 m m 6 6 B B 1 1 m m 3 3 C C 0 0 m m 1 1 D D 1 1 m m 0 0 南开区南开区 20142014 20152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量质量 检测 一 检测 一 答答 题题 纸纸 理工类 理工类 三三 题题 号号 二二 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 总分总分 得得 分分 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 1 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题 2 2 本卷共 本卷共 1212 小题 共小题 共 110110 分 分 得得 分分 评卷评卷 人人 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 个小题 每个小题 每 小题小题 5 5 分 共分 共 3030 分 请将答案填分 请将答案填 在题中横线上 在题中横线上 9 9 如图是某学校抽取的学生体重的 如图是某学校抽取的学生体重的 频率分布直方图 已知图中从左到右的频率分布直方图 已知图中从左到右的 前前 3 3 个小组的频率依次成等差数列 第个小组的频率依次成等差数列 第 2 2 小组的频数为小组的频数为 1515 则抽取的学生人数为 则抽取的学生人数为 1010 已知 已知a a 0 0 x x 6 6的二项展开式中 的二项展开式中 2 x a 常数项等于常数项等于 6060 则 则 x x 6 6的展开式中各项系的展开式中各项系 2 x a 数和为数和为 用数字作答 用数字作答 1111 如果执行如图所示的程序框图 则输出 如果执行如图所示的程序框图 则输出 的数的数S S 1212 已知在平面直角坐标系 已知在平面直角坐标系xOyxOy中 圆中 圆C C的的 参数方程为 参数方程为 为参数 为参数 以 以OxOx为极轴建立极为极轴建立极 sin22 cos2 y x 坐标系 直线坐标系 直线l l的极坐标方程为 的极坐标方程为 coscos sinsin 0 0 则则3 圆圆C C截直线截直线l l所得弦长为所得弦长为 1313 如图 圆 如图 圆O O的割线的割线PABPAB交圆交圆O O于于 A A B B两点 割线两点 割线PCDPCD经过圆心经过圆心O O 已知 已知 PA AB PA AB 2 2 PO PO 8 8 则 则BDBD的长为的长为 6 1414 已知正三角形 已知正三角形ABCABC的边长为的边长为2 2 点 点D D E E分别在边分别在边 ABAB ACAC上 且上 且 若点 若点F F为线段为线段BEBE的中的中ADABAEAC 点 点点 点O O为为 ADEADE的重心 则的重心 则 OFCF D C B A P O 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 8080 分 解答应写出分 解答应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 文字说明 证明过程或演算步骤 得得 分分 评卷评卷 人人 1515 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 设函数设函数f f x x cos 2cos 2x x 2cos2cos2 2x x x x R R 3 2 求函数 求函数f f x x 的最小正周期和单调减区间 的最小正周期和单调减区间 将函数 将函数f f x x 的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度后得到个单位长度后得到 3 函数函数g g x x 的图象 求函数的图象 求函数g g x x 在区间在区间上的最小值 上的最小值 2 0 得得 分分 评卷评卷 人人 1616 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 将编号为将编号为 1 1 2 2 3 3 4 4 的的 4 4 个小球随机放到个小球随机放到A A B B C C三个不三个不 同的小盒中 每个小盒至少放一个小球 同的小盒中 每个小盒至少放一个小球 求编号为 求编号为 1 1 2 2 的小球同时放到的小球同时放到A A盒的概率 盒的概率 设随机变量 设随机变量 为放入为放入A A盒的小球的个数 求盒的小球的个数 求 的分的分 布列与数学期望 布列与数学期望 得得 分分 评卷评卷 人人 1717 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 如图 在四棱锥如图 在四棱锥P P ABCDABCD中 中 四边形四边形ABCDABCD是直角梯形 是直角梯形 ABAB ADAD ABAB CDCD PCPC 底面底面ABCDABCD AB AB 2 2AD AD 2 2CD CD 4 4 PC PC 2 2a a E E是是PBPB的中点 的中点 求证 平面 求证 平面EACEAC 平面平面PBCPBC 若二面角 若二面角P P ACAC E E的余弦值为的余弦值为 求直线 求直线 3 6 PAPA与平面与平面EACEAC所成角的正弦值 所成角的正弦值 得得 分分 评卷评卷 人人 1818 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 已知椭圆已知椭圆C C a a b b 0 0 与 与y y轴的交点为轴的交点为1 2 2 2 2 b y a x A A B B 点 点A A位于点位于点B B的上方 的上方 F F为左焦点 原点为左焦点 原点O O到直线到直线 FAFA的距离为的距离为b b 2 2 求椭圆 求椭圆C C的离心率 的离心率 设 设b b 2 2 直线 直线y kx y kx 4 4 与椭圆与椭圆C C交于不同的两点交于不同的两点 M M N N 求证 直线 求证 直线BMBM与直线与直线ANAN的交点的交点G G在定直线上 在定直线上 得得 分分 评卷评卷 人人 1919 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 设数列设数列 a an n 满足 满足 a a1 1 1 1 a an n 1 1 3 3a an n n n N N 设 设S Sn n为数列为数列 b bn n 的前的前n n项和 已知项和 已知b b1 1 0 0 2 2b bn n b b1 1 S S1 1 S Sn n n n N N 求数列 求数列 a an n b bn n 的通项公式 的通项公式 设 设c cn n b bn n loglog3 3a an n 求数列 求数列 c cn n 的前的前n n项和项和T Tn n 证明 对任意 证明 对任意n n N N 且且n n 2 2 有 有 22 1 ba 33 1 ba nn ba 1 2 3 得得 分分 评卷评卷 人人 2020 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知函数已知函数f f x x 曲线 曲线y fy f x x 在点在点 1 1 f f 1 1 处的切线处的切线 1 x be ax 方程为方程为x x e e 1 1 2 2y y e e 0 0 其中其中e e 2 71828 2 71828 为自然对数的底数 为自然对数的底数 求 求a a b b的值 的值 如果当 如果当x x 0 0 时 时 f f 2 2x x 求实数 求实数k k的取值范的取值范 x e k 1 围 围 南开区南开区 20142014 20152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量检质量检 测 一 测 一 数学试卷 理工类 参考答案数学试卷 理工类 参考答案 2015 042015 04 一 选择题 一 选择题 题题 号号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答答 案案 A A C C C C D D B B A A B B B B 二 填空题 二 填空题 9 9 6060 1010 1 1 1111 25002500 1212 2 2 1313 2 2 1414 0 036 三 解答题 其他正确解法请比照给分 三 解答题 其他正确解法请比照给分 由 由 得 得g g x x cos 2 cos 2 x x 1 1 cos 2cos 2x x 3 3 3 1 1 10 10 分分 因为因为 0 0 x x 2 所以所以 2 2x x 3 3 3 2 所以所以 cos 2cos 2x x 1 1 2 1 3 12 12 分分 因此因此 cos 2cos 2x x 1 1 2 2 即 即f f x x 的取值范围为的取值范围为 2 1 3 2 2 13 13 分分 2 1 1616 解 解 设 设编号为编号为 1 1 2 2 的小球同时放到的小球同时放到A A盒的概率盒的概率 为为P P P P 3 3 2 4 2 2 AC A 18 1 4 4 分分 1 1 2 2 5 5 分分 P P 1 1 3 3 2 4 2 2 2 3 1 4 AC ACC 3 2 P P 2 2 3 3 2 4 2 2 2 4 AC AC 3 1 所以所以 的的分布列为分布列为 1 12 2 P P 3 2 3 1 11 11 分分 的数学期望的数学期望E E 1 1 2 2 3 2 3 1 3 4 13 13 分分 1717 解 解 PCPC 平面平面ABCDABCD ACAC 平面平面 ABCDABCD ACAC PCPC AB AB 4 4 AD CD AD CD 2 2 AC BC AC BC 2 ACAC2 2 BC BC2 2 AB AB2 2 ACAC BCBC 又又BCBC PC CPC C ACAC 平面平面PBCPBC ACAC 平面平面EACEAC 平面平面EACEAC 平面平面PBCPBC 5 5 分分 如图 以点 如图 以点C C为原点 为原点 DA 分别为分别为x x轴 轴 y y轴 轴 z z轴正方向 建立空间直角坐标轴正方向 建立空间直角坐标CDCP 系 则系 则C C 0 0 0 0 0 0 A A 2 2 2 2 0 0 B B 2 2 2 2 0 0 设设P P 0 0 0 0 2 2a a a a 0 0 则 则E E 1 1 1 1 a a 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2a a 1 1 1 1 a a CACPCE 取取m m 1 1 1 1 0 0 则 则m m m m 0 0 m m为面为面PACPAC的法的法CACP 向量 向量 设设n n x x y y z z 为面为面EACEAC的法向量 则的法向量 则 n n n n 0 0 CACE 即即 取 取x ax a y y a a z z 2 2 则 则n n a a 0 0 azyx yx a a 2 2 依题意 依题意 cos cos 则 则a a 2 2 nm nm 2 2 a a 3 6 10 10 分分 于是于是n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 PA 设直线设直线PAPA与平面与平面EACEAC所成角为所成角为 则则 sinsin cos cos PA nPA nPA 3 2 即直线即直线PAPA与平面与平面EACEAC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 3 2 13 13 分分 1818 解 解 设 设F F的坐标为的坐标为 c c 0 0 依题意有 依题意有 bc bc abab 2 2 椭圆椭圆C C的离心率的离心率e e a c 2 2 3 3 分分 若 若b b 2 2 由 由 得 得a a 2 2 椭圆方程为椭圆方程为 21 48 22 yx 5 5 分分 联立方程组联立方程组 4 82 22 kxy yx 化简得 化简得 2 2k k2 2 1 1 x x2 2 16 16kx kx 2424 0 0 由由 3232 2 2k k2 2 3 3 0 0 解得 解得 k k2 2 2 3 由韦达定理得 由韦达定理得 x xM M x xN N x xM Mx xN N 12 16 2 k k 12 24 2 k 7 7 分分 设设M M x xM M kxkxM M 4 4 N N x xN N kxkxN N 4 4 MBMB方程为 方程为 y y x x 2 2 M M x kx6 NANA方程为 方程为 y y x x 2 2 N N x kx2 9 9 分分 由由 解得 解得 y y MN NMNM xx xxxkx 3 3 2 11 11 分分 1 1 12 16 4 2 12 16 12 24 2 2 22 k k x x k k k k N N 12 16 4 2 12 8 2 2 2 k k x x k k N N 即即y yG G 1 1 直线直线BMBM与直线与直线ANAN的交点的交点G G在定直线上 在定直线上 13 13 分分 1919 解 解 a an n 1 1 3 3a an n a an n 是公比为是公比为 3 3 首项 首项a a1 1 1 1 的等比数列 的等比数列 通项公式为通项公式为a an n 3 3n n 1 1 2 2 分分 2 2b bn n b b1 1 S S1 1 S Sn n 当当n n 1 1 时 时 2 2b b1 1 b b1 1 S S1 1 S S1 1 S S1 1 b b1 1 b b1 1 0 0 b b1 1 1 1 3 3 分分 当当n n 1 1 时 时 b bn n S Sn n S Sn n 1 1 2 2b bn n 2 2b bn n 1 1 b bn n 2 2b bn n 1 1 b bn n 是公比为是公比为 2 2 首项 首项a a1 1 1 1 的等比数列 的等比数列 通项公式为通项公式为b bn n 2 2n n 1 1 5 5 分分 c cn n b bn n loglog3 3a an n 2 2n n 1 1log log3 33 3n n 1 1 n n 1 1 2 2n n 1 1 6 6 分分 T Tn n 0 0 2 20 0 1 1 2 21 1 2 2 2 22 2 n n 2 2 2 2n n 2 2 n n 1 1 2 2n n 1 1 2 2T Tn n 0 0 2 21 1 1 1 2 22 2 2 2 2 23 3 n n 2 2 2 2n n 1 1 n n 1 1 2 2n n 得 得 T Tn n 0 0 2 20 0 2 21 1 2 22 2 2 23 3 2 2n n 1 1 n n 1 1 2 2n n 2 2n n 2 2 n n 1 1 2 2n n 2 2 n n 2 2 2 2n n T Tn n n n 2 2 2 2n n 2 2 1010 分分 nn ba 1 11 23 1 nn12 233 1 nn 23 23 1 222 nnn 2 3 1 n 22 1 ba 33 1 ba nn ba 1 0 3 1 1 3 1 2 3