湖北省武汉市部分学校高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对一个容量为n的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）ap1=p2p3bp2=p3p1cp1=p3p2dp1=p2=p32（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a10b8c4d23（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd4（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）ab1cd25（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）abcd6（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a0.8b0.75c0.6d0.457（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）a144b120c72d248（5分）设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，10），则y1，y2，y10的均值和方差分别为（）a1+a，4b1+a，4+ac1，4d1，4+a9（5分）设mr，过定点a的运直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y），则|pa|pb|的最大值是（）a4b5c6d810（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m3，n3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）则（）ap1p2，e（1）e（2）bp1p2，e（1）e（2）cp1p2，e（1）e（2）dp1p2，e（1）e（2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）在（1x2）10的展开式中，x6的系数为12（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为13（5分）在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，2），b（1，3，1），点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是14（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900）900，1100）1100，1300）1300，1500）1500，1700）1700，1900）1900，+）频数4812120822319316542频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率17（12分）矩形abcd的两条对角线相交于点m（2，0），ab边所在直线的方程为x3y6=0，点t（1，1）在ad边所在直线上（）求ad边所在直线的方程；（）求矩形abcd外接圆的方程18（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千克）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得xi=80，yi=20，xiyi=184，xi2=720（）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值19（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品a，乙组研发新产品b，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品a研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品b研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望20（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从正态分布n（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求p（187.8z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求ex附：12.2若zn（，2）则p（z+）=0.6826，p（2z+2）=0.954421（14分）如图，已知圆c的圆心在直线l：y=2x4上，半径为1，点a（0，3）（）若圆心c也在直线y=x1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；（）若圆c上存在点m，使|ma|=2|mo|（o为坐标原点），求圆心c的横坐标a的取值范围湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对一个容量为n的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（）ap1=p2p3bp2=p3p1cp1=p3p2dp1=p2=p3考点：等可能事件的概率 分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即p1=p2=p3，故选：d点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础2（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a10b8c4d2考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可解答：解：圆的标准方程为（x+1）2+（y1）2=2a，则圆心坐标为（1，1），半径r=，圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，圆心到直线的距离d=，解得a=4，故选：c点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用，求出圆心和半径是解决本题的关键3（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论解答：解：ab=2，bc=1，长方体的abcd的面积s=12=2，圆的半径r=1，半圆的面积s=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以ab为直径的半圆内的概率是，故选：b点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础4（5分）阅读下面的程序，当a=1，b=2时，输出的a的值为（）ab1cd2考点：顺序结构 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序，根据赋值语句的功能，按照顺序依次写出a，b的值即可解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2a=3，b=1b=1，a=2输出a的值为2故选：d点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模，本题属于基础题5（5分）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：由题意2人总的下法功36种结果，2人在同一层下共6种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得解答：解：由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，而两人在同一层下，共有6种结果，两个人在同一层离开电梯的概率是=：所以2个人在不同层离开的概率为1=故选：d点评：本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手时解决问题的关键，属基础题6（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）a0.8b0.75c0.6d0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75p=0.6，由此解得p的值解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75p=0.6，解得p=0.8，故选：a点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题7（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）a144b120c72d24考点：计数原理的应用 专题：应用题；排列组合分析：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理可得结论解答：解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理，64=24故选：d点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键8（5分）设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，10），则y1，y2，y10的均值和方差分别为（）a1+a，4b1+a，4+ac1，4d1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论解答：解：方法1：yi=xi+a，e（yi）=e（xi）+e（a）=1+a，方差d（yi）=d（xi）+e（a）=4方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+x10+10a）=（x1+x2+x10）=+a=1+a，方差s2=（x1+a（+a）2+（x2+a（+a）2+（x10+a（+a）2=（x1）2+（x2）2+（x10）2=s2=4故选：a点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则ey=aex+b，dy=a2dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算9（5分）设mr，过定点a的运直线x+my=0和过定点b的动直线mxym+3=0交于点p（x，y），则|pa|pb|的最大值是（）a4b5c6d8考点：两点间距离公式的应用；直线的一般式方程 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先计算出两条动直线经过的定点，即a和b，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有papb；再利用基本不等式放缩即可得出|pa|pb|的最大值解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点a（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点b（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，p又是两条直线的交点，则有papb，|pa|2+|pb|2=|ab|2=10故|pa|pb|=5（当且仅当|pa|=|pb|=时取“=”）故选：b点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|pa|2+|pb|2是个定值，再由基本不等式求解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题10（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m3，n3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i=1，2）则（）ap1p2，e（1）e（2）bp1p2，e（1）e（2）cp1p2，e（1）e（2）dp1p2，e（1）e（2）考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出p1，p2和e（1），e（2）进行比较即可解答：解析：，所以p1p2；由已知1的取值为1、2，2的取值为1、2、3，所以，=，e（1）e（2）=故选a点评：正确理解i（i=1，2）的含义是解决本题的关键此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）在（1x2）10的展开式中，x6的系数为120考点：二项式系数的性质 专题：综合题；二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6，从而可求出x6的系数解答：解：根据所给的二项式（1x2）10，写出展开式的通项，tr+1=（1）rx2r；要求x6的项的系数2r=6，r=3，x6的项的系数是c103=120故答案为：120点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：利用系统抽样的性质求解解答：解：由已知得：分段的间隔为：=25故答案为：25点评：本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用13（5分）在空间直角坐标系中，已知点a（1，0，2），b（1，3，1），点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是（0，1，0）考点：用空间向量求直线间的夹角、距离 专题：计算题；方程思想分析：根据点m在y轴上，设出点m的坐标，再根据m到a与到b的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得am，bm，解方程即可求得m的坐标解答：解：设m（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=1故m（0，1，0）故答案为：（0，1，0）点评：考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题14（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是55考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=55时，不满足条件z50，退出循环，输出z的值为55解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，z=2满足条件z50，x=1，y=2，z=3满足条件z50，x=2，y=3，z=5满足条件z50，x=3，y=5，z=8满足条件z50，x=5，y=8，z=13满足条件z50，x=8，y=13，z=21满足条件z50，x=13，y=21，z=34满足条件z50，x=21，y=34，z=55不满足条件z50，退出循环，输出z的值为55故答案为：55点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题15（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，p=故答案为：点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组500，900）900，1100）1100，1300）1300，1500）1500，1700）1700，1900）1900，+）频数4812120822319316542频率（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率考点：概率的意义；频率分布表 专题：概率与统计分析：（1）由频率=，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；（3）恰至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时即2支灯管使用寿命不足1500小时，或3支灯管使用寿命超过1500小时，分为两种情形，最后求出它们的和即可解答：解：（1）解：分组500，900）900，1100）1100，1300）1300，1500）1500，1700）1700，1900）1900，+）频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042（2）解：由（i）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6（3）解：由（ii）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率p=0.6，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648点评：本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题17（12分）矩形abcd的两条对角线相交于点m（2，0），ab边所在直线的方程为x3y6=0，点t（1，1）在ad边所在直线上（）求ad边所在直线的方程；（）求矩形abcd外接圆的方程考点：直线和圆的方程的应用 专题：综合题分析：（i）由已知中ab边所在直线的方程为x3y6=0，且ad与ab垂直，我们可以求出直线ad的斜率，结合点t（1，1）在直线ad上，可得到ad边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程（ii）根据矩形的性质可得矩形abcd外接圆圆心即为两条对角线交点m（2，0），根据（i）中直线ab，ad的直线方程求出a点坐标，进而根据am长即为圆的半径，得到矩形abcd外接圆的方程解答：解：（i）ab边所在直线的方程为x3y6=0，且ad与ab垂直，直线ad的斜率为3又点t（1，1）在直线ad上，ad边所在直线的方程为y1=3（x+1），即3x+y+2=0（ii）由，解得点a的坐标为（0，2），矩形abcd两条对角线的交点为m（2，0）m为矩形abcd外接圆的圆心，又|am|2=（20）2+（0+2）2=8，从而矩形abcd外接圆的方程为 （x2）2+y2=8点评：本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）的关键是根据已知中ab边所在直线的方程及ad与ab垂直，求出直线ad的斜率，（2）的关键是求出a点坐标，进而求出圆的半径am长18（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千克）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得xi=80，yi=20，xiyi=184，xi2=720（）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程=x+，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄注：线性回归方程=x+中，=，其中，为样本平均值考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（）由题意可知n=10，=xi=8，=yi=2，代入可得b值，进而可得a值，可得方程，由回归方程x的系数b的正负可判；（）把x=7代入回归方程求其函数值即可解答：解：（）由题意，n=10，=xi=8，=yi=2，=0.3，=20.38=0.4，=0.3x0.4，0.30，变量x与y之间是正相关；（）x=7时，=0.370.4=1.7千元点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题19（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品a，乙组研发新产品b，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品a研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品b研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）利用对立事件的概率公式，计算即可，（）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可解答：解：（）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件a且事件b为事件a的对立事件，则事件b为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则p（b）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得p（a）=1p（b）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为（）由题可得设企业可获得利润为x，则x的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，所以x的分布列如下：x0120100220p（x）则数学期望e（x）=140点评：本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年2015届高考题目的常考的题型20（13分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从正态分布n（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求p（187.8z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求ex附：12.2若zn（，2）则p（z+）=0