3.1.2空间向量的数乘运算.doc

31.2空间向量的数乘运算空间中有向量a，b，c(均为非零向量)问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数，使ab.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出ab(R)?提示：不能1空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算(2)向量a与a的关系：的范围方向关系模的关系0方向相同a的模是a的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空间向量的数乘运算律设，是实数，则有分配律：(ab)ab.结合律：( a)()a.2共线向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示. 若在l上取a，则式可化为 t .如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使x y ，或对空间任意一点O来说，有x y .1a是一个向量当0或a0时，a0.2平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立3共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b0不可遗漏4直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反5共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来另外，还可以用x y z ，且xyz1判断P，A，B，C四点共面空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， ，2 .设a，b，c，试用a，b，c表示.思路点拨先利用三角形法则进行向量的加减运算，将表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示.精解详析如图所示，连接AN，则()()()c(bc)(ab)abc.一点通用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量本题也可以先将表示为.1.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc解析：()abc.答案：A2已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1) xy；(2) xy.解：(1)()，xy.(2)2，2.又2，2.从而有2(2)22.x2，y2.向量共线问题例2如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线思路点拨 根据M，N的位置表示出 根据与的关系作出判断精解详析M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，()()().，即与共线一点通判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使axb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出axb，从而得出ab，即a与b共线3已知空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：(5a6b)(7a2b)2a4b2，A，B，D三点共线答案：A4.已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形证明：E，H分别是AB，AD的中点，()()()()，且|.又点F不在上，四边形EFGH是梯形.向量共面问题例3对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点试证：与，共面思路点拨利用向量的运算法则表示 利用中点关系寻求，的关系精解详析空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，则，.又E，F分别是AB，CD的中点，故有，.将代入中，两式相加得2 .所以 ，即与，共面一点通利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件解答本题实质上是证明存在实数x，y使向量xy成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用，表示.5在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A32B0C0D解析：0，M与A，B，C必共面答案：C6已知e1，e2为两个不共线的非零向量，且e1e2，2e18e2，3e13e2 ，求证：A，B，C，D四点共面证明：设存在实数，使得，即e1e2(2e18e2)(3e13e2)(23)e1(83)e2.e1，e2为两个不共线的非零向量，有解得即.从而点B位于平面ACD中，即A，B，C，D四点共面1共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a，b，若存在实数，使ab(b0)ab，可以作为以后证明线线平行的依据2共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O，有 (1)成立，则P，A，B，C共面)3在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线要注意：向量的共线与共面不具有传递性1下列命题中正确的个数是()若a与b共线，b与c共线，则a与c共线向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面若ab，则存在唯一的实数，使ab.A0B1C2 D3当b0时，a与c不一定共线，故错误；中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故错误；当b为零向量，a不为零向量时，不存在解析：当b0时，a与c不一定共线，故错误；中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故错误；当b为零向量，a不为零向量时，不存在答案：A2在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则()A.abc BabcC.abc D.abc解析：()()abc.答案：C3已知两非零向量e1，e2不共线，设ae1e2(，R且，0)，则()Aae1Bae2Ca与e1，e2共面D以上三种情况均有可能解析：若ae1，则存在实数t使得ate1，te1e1e2，(t)e1e2，则e1与e2共线，不符合题意同理，a与e2也不平行由向量共面的充要条件知C正确答案：C4A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点()A不共面 B共面C不一定共面 D无法判断是否共面解析：()()，.由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面答案：B5在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_解析：延长DE交边BC于点F，则有，故 0.答案：06设e1，e2是平面内不共线的向量，已知2e1ke2，CBe13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，则k_.解析：3e1(k4)e2.由A，B，D三点共线可知，存在使，即2e1ke23e1(k4)e2.e1，e2不共线，可得k8.答案：87.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.证明：A，E，C1，F四点共面证