湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.11 有理数的乘方导学案 华东师大版 .doc

湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.11 有理数的乘方导学案 华东师大版 【目标概览】有理数的乘方是一种新的定义运算，它是有理数乘法的特殊情况。在学习过程中要注意以下几点：理解有理数乘方的定义。认识有理数的乘方的底数、指数、幂等概念。能应用乘方的法则进行运算。明确数学的分类和转化思想。培养同学们观察、分析、比较、归纳和概括的能力。【思考交流】边长是3厘米的正方形的面积是多少？棱长是3厘米的正方体的体积是多少？某种细菌在一定条件下，每个细菌每隔1小时分裂成2个，那么，5小时后，1个细菌可以繁殖成多少个？你喜欢吃拉面吗？拉面馆师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉开，再捏合，再拉，反复多次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示： 第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合经过第二次捏合后，可以拉出_根细面条。到第_次捏合后可拉出32根细面条。经过第10次捏合后，可以拉出_根细面条。一张白纸只有0.1毫米厚，现在请你对折20次你先估计一下，对折20次后大概有多重，这时你肯定会想：太简单了，最多1米吧！再请你用计算器算一下吧，想不到吧！这样相当于40层左右的摩天大楼高吧！【学法指津】本节主要学习有理数的乘方的意义及有关概念，学习乘方运算的符号法则，通过本节学习，要明确乘方和加减乘除一样，是一种运算，是求几个相同因数乘积的运算，乘方本质是一种特殊的乘法运算，幂与和、差、积、商一样，是运算的结果，乘方运算与加减乘除运算步骤一样，先确定符号，再计算绝对值。【知识导学】本节的重点是有理数乘方的意义和运算，难点是有理数乘方的意义。在中学阶段，要求同学们主要掌握六种基本运算，其中加、减、乘、除这四种运算。在小学时已经学过，这一节的乘方和以后要学习的开方是中学阶段学习的新运算，与前四种运算相比较，乘方对于学生来说，是一个新概念，也是一种新运算，关键是让同学们理解其意义，在这个基础上才能更好地来运算。有理数的乘方，实质上就是特殊的有理数的乘法（只不过乘法的每个因数都相同），无非它将一个复杂的有理数的乘法写简单化了。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。学好乘方，可为以后学习开方打下基础，因为乘方和开方是互为逆运算，并且可更好地理解二次函数等，另外在以后的几何学中的“勾股定理”“面积计算”及实际生产、生活中，我们要经常应用。知识点一：（重点）有理数乘方的意义有理数乘方的意义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。如几个相同的因数a相乘，即aaa=an。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。名师点拨：对于an的认识，我们应注意：a可以是我们学过的任何有理数。一个数可以看做这个数本身的一次方。如6就是61，指数1通常省略不写。当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在括号外右上角写上指数，如的3次方，应记作()3，而不能记作；-2的5次方，应记作(-2)5，不能记作-25；当底数是带分数时，应先将带分数化成假分数再进行乘方运算。初中阶段共学习六种基本运算，截止到目前，已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，第六种运算“开方”将在以后学习。知识点二：（重点）有理数的乘方运算乘方是利用乘法来定义的，乘方是乘法运算的特例，因此乘方的运算可以参照乘法运算进行，根据有理数乘法运算法则，有以下运算规律：正数的任何次幂都是正数。负数的偶数次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数。0的任何次幂是0。任何数a的偶数幂为非负数，如a20。根据乘方的定义，乘方运算一般分为两步：先根据符号法则确定幂的符号，再根据乘法运算计算幂的绝对值。知识迁移：a2是一个非负数，任何数的偶次幂均为非负数，它的应用与绝对值结合在一起，常作为中考的热点问题。知识点三：（难点）有理数混合运算进行有理数的混合运算时：先算乘方，再算乘除，最后计算加、减法，如果有括号，就先算括号里面的。代数运算中基本的运算分为三级，加与减是第一级运算，乘与除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算。在运算过程中，先进行高级运算，再进行低级运算。同级运算中，按从左到右的顺序运算，如果有括号，先算小括号内，再算中括号内，最后算大括号内里的。方法规律：有理数混合运算时要注意。除了注意运算顺序外，还应注意两点：时刻注意符号的变化；适时使用运算律能达到简化运算的目的。【技巧解悟】一、考查乘方的意义例1：把下列各式写成乘方的形式222(-3)(-3)(-3)(-3)-3333解析：注意理解乘方的意义是指几个相同因数的乘的运算，要分清底数与指数。答案：=()3222=23(-3)(-3)(-3)(-3)=(-3)4-3333=-(3)4例2：填空题：(-5)3读作_或_，它表示_。-53可读作_，它表示_。解析：本题命题的主旨在理解乘方的意义。答案：(-5)3读作-5的3次方或-5的3次幂它表示三个负5相乘。-53可读作5的3次方的相反数，它表示3个5之积的相反数。二、考查有理数乘方的运算例3：计算：(-3)2-32(-)3-解析：理解乘方的意义进行运算。答案：(-3)2=9-32= -9(-)3= -= -例4：计算(-3)2-(-32)+(-4)2+(-42)(-2)2004+(-2)2005解析：进行乘方运算后计算加减法。运用乘方的意义进行化简。答案：(-3)2-(-32)+(-4)2+(-42)=9-(-9)+16+(-16)=9+9+16-16=18(-2)2004+(-2)2005=22004-22005=22004-222004= -22004三、考查有理数的混合运算例5：计算-82+3(-2)2+(-6)(-)(-25)3-(-1)(-)2-(-)2(-0.1)3解析：按有理数混合运算顺序进行计算，一般可将所有的乘方运算一次性完成，乘除运算一次性完成，加减运算一次性完成，可节省大量解题时间。答案：原式= -64+34+（-6）= -64+12-54= -106原式=(-10)3-(-)-(-10)2(-)3= -1000+1-100(-1000)= -1000+1+100000=99001【能力拓展】创新题：例1：说明-an与(-a)n的联系与区别。解析：当n为偶数时，-an与(-a)n互为相反数，即有-an+(-a)n=0；当n为奇数时，-an与(-a)n相等，即有-an=(-a)n；它们的区别是-an表示a的n次方的相反数，而(-a)n表示-a的n次方，且-an的底数是a，而(-a)n的底数是-a。思维拓展：充分理解有理数的乘方的意义是解决有关有理数混合运算的基础。实验题：例2：把一根木棍第一次折成两节，第二次同时折这两节就得到四节，依次这样进行下去，当折十次时，将得到多少节木棍？解析：从这些动作中找出每一次动作后木棍的节数的规律。答案：折一次得到2节，折2次得到4节，折3次得到8节，依次类推，折十次时得到210=1024节。【探究体验】探索题：例1：计算：1+3；1+3+5；1+3+5+7+，并找出规律，利用这个规律求1+3+5+7+19的值。解析：1+3=4=22，1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42，从中找出规律。答案：1+3+5+7+19=100=102方法规律：利用题目呈现的规律进行探索，我们还可探索得到：1+3+5+(2n-1)=n2归纳猜想题：例2：回答下列问题：看一看，下面两组算式：(35)2与3252，(-)42与(-)242，每组两个算式的计算结果是否相等？想一想，(ab)3等于什么？猜一猜，当n为正整数时，(ab)n等于什么？试证明你的结论的正确性。解析：通过有理数的乘方意义进行计算。探索。验证。答案：(35)2=225，3252=925=225，(35)2=3252同理，(-)42=(-)242(ab)3=a3b3(ab)n=anbn 证明如下：证明：(ab)n=ababab n个=(aaa)(bbb) n个 n个=anbn名师点评：本题给我们展示了一个“观察分析或计算判断特殊到一般（字母表示数）猜想（规律的总结）证明”的探索模式，从中逐渐形成数学研究的思想，这是我们探索未知世界的一般规律。【习题解疑】p63 练习(-4)5读作-4的5次方，其中底数是-4，指数是5，(-4)5是负数。(-1)3=(-1)(-1)(-1)= -1 (-1)10=(-1)(-1)(-1)=1 10个 (0.1)3=0.10.10.1=0.001 ()4= (-2)3(-2)2= -84= -32 (-)3(-)5=(-)(-)= + 103=101010=1000 105=1010101010=100000p63 习题2.11666=632.12.1=2.12 (-3)(-3)(-3)(-3)=(-3)4=()534=333343=444 (-1)2=(-1)(-1)1.13=1.11.11.13的平方是9，-3的平方也是9；平方得9的数有2个，是3；没有平方得-9的有理数。(-1)2=(-)2=(-0.2)3=(-)3= - -(-3)4= -81-(-3)5=243【自主评价】一、基础题：在式子（-）2中，底数是_，指数是_。0.56表示_个0.5_。(-1)2004+(-1)2005=_。平方等于16的数是_，立方等于27的数是_，立方等于-27的数是_。式子-的意义是（ ）a.3与2商的相反数的平方b.3的平方与2的商的相反数c.3除以2的平方的相反数d.3的平方的相反数除以2下列计算正确的是（ ）a.-52(-)= -1b.25(-0.5)5 = -1c.-24(-3)2=144 d.()2(12)=一个数的立方等于它本身，这个数是（ ）a.1b.1c.0d.1，0二、拓展题：小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入12345输出那么当输入的数据是8时，输出的数据是（ ）a.b.c.d.观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，用你发现的规律写出32003的末位数字_。已知2+=22，3+=32，4+=42，若10+=102（a、b为正整数），则a+b=_。计算（可用计算器计算）：=_；=_；=_。由此你可以猜想出哪些类似的等式？探究数学“黑洞”，“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里就别想再“爬”出来完，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌。譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数t=_。我们称它为数字“黑洞”，t为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘？观察下列各式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜，可以引出什么规律？并把这个规律用等式写出来。在公式(a+1)2=a2+2a+1中，当a分别取1、2、3、n时，可得到下列几个等式：(1+1)2=12+21+12(2+1)2=22+22+1(3+1)2=32+23+1(n+1)2=n2+2n+1将这几个等式变形，可推导求和公式：1+2+3+n是什么？（用n表示）【自主评价】答案点拨- 2 解析：利用乘方的意义6 相乘 解析：利用乘方的意义0 解析：(-1)2004+(-1)2005=1+(-1)=04 3 -3 解析：运用乘方的意义进行计算b 解析：-含有三种运算，第一种是3的平方，第二种是3的平方，这个幂除以2的除法运算，第三种是对上两步的结果取它的相反数。b 解析：a、c进行符号判断即知错误，d()2(12)= =d 解析：x3=x解析：分析分母的规律：5=22+1，10=32+1，17=42+1，26=52+1，7 解析：20034=5000余 3109 解析：3=22-1，8=32-1，15=42-110+=102，其中a=10，b=102-1=99，故a+b=109解析：=121，=12321，=1234321，从中探索，不有如下的等式：=123454321等。t=153 解析：如15，进行规律性运算：13+53=1+125=126，13+23+63=1+8+216=225，23+23+53=141，13+43+13=66，63+63=532，53+33+23=160，13+63+03=217，23+13+73= 352，33+53+23=160，如此循环计算。解析：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，13+23+33+n3=(1+2+3+n)2，等式左边各项幂的底数之和等于各边幂的底数。1+2+3+n=n(n+1)【资料卡片】棋盘上的算题“天堂壮丽啊，闪闪发光，点点星火啊，如海无疆，按照棋盘啊，逐格倍加，计了又计啊，其数无崖。”这是意大利著名诗人但丁神曲中的一首小诗，说的是一则关于棋盘的故事：相传，古