电磁场理论 答案 习题2.pdf

电磁场与电磁波 习题详解 13 第二章 静电场 2 1 总量为q的电荷均匀分布于球体中 分别求球内 外的电场强度 解 解 设球半径为 R 则 3 3 4 R q 在球内 0 因0 E v 同理有 2 22 2 0 1 r C EEr rr E rr v 考虑Rr 时 应一致连续 求得 0 2 4 q C 所以 2 0 4r q Er 综上求得 2 0 3 0 4 4 r q Rr R qr Rr EE r 方向为矢径方向 2 2 半径分别为a b ba 球心距为c bac ar r a ar r EE r 0 2 0 2 2 2 4 一个半径为a的均匀带电圆盘 电荷面密度为 0S 如图 2 2 所示 求轴线 上任一点的电场强度 解 解 Sd rr rrr rE S S 3 0 4 1 vv vvv v v z ezr vv yx ererr vvv sin cos rrsd dd 2 1 22 rzrr vv yxz ererezrr vvvvv sin cos rr rz ererez rE yxz S dd sin cos 4 2 3 22 0 0 vvv v v 0dcos d 4 2 00 2 3 22 2 0 0 a S x rz rr E 0dsind 4 2 00 2 3 22 2 0 0 r rz r E a S y 22 0 0 2 00 2 3 22 0 0 1 2 dd 4 az z r rz z E S a S z 上式对0 z时成立 此时 z S zz e az z eErE vvv v 22 0 0 1 2 当0 z时 z S zz e az z eErE vvv v 22 0 1 2 2 5 已知半径为a的球内 外电场分布为 x y z z r R r 图 2 2 课后答案网 课后答案网 习题二 16 are a r E are r a E E r r 0 2 0 v v v 求电荷密度 解 解 在球外 即ar 因为 0 外 E v 而 0 11 2 2 0 2 2 2 2 r a Er rr Er rr E r v 所以0 0 外 即0 外 在球内 即ar 2 0 3 0 4 4 r q Rr R qr Rr EE r Rr 时 R R rr r r q r R qr lErd 4 d 4 d 2 0 3 0 vv 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波 习题详解 17 22 3 00 22 3 0 3 8424 rR R q R qrR R q Rr 时 r q r r q lEr rr 0 2 0 4 d 4 d v v 2 7 电荷分布如图 2 3 所示 试证明 在lr 处的电场为 4 0 2 2 3 r ql E 解 解 建立如图坐标系 原点在q2 处 2 0 2 0 2 0 44 2 4lr eq r eq lr eq E xxx vvv v 222 0 121 4lrrlr q ex v 22 2 0 1 1 2 1 1 4 r l r l r q ex v L v 3 3 2 2 2 0 4321 4r l r l r l r q ex 泰勒展开 L 3 3 2 2 43212 r l r l r l xxx e r ql e r ql r l r l r q e vv L v 4 0 2 4 0 2 4 3 2 2 2 0 2 3 4 6 53 4 2 x l l r q 2q q 图 2 3 课后答案网 课后答案网 习题二 18 2 8 真空中有两个点电荷 一个电荷q 位于原点 另一个电荷2q位于 0 0 a 处 求电位为零的等位面方程 解 设电位为零的点的坐标为 zyx 选择无穷远处为零电势点 则 222 0 04 4 1 zyx q rr q r q vv v 222 0 024 22 4 1 zyx q rr q r q vv v 22 2222 0 2 11 4 zyxazyx q r v 令 0 r v 得 22222 2 4zyxzyxa 化简得 22 222222 3 2 3 4 0483 aaxzyaaxzyx 用极坐标得 04cossin83 22 aarr 此方程为球心在 00 3 4 a半径为 3 2a 的球面方程 2 9 一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴向方向 介质柱的高度为L 半径为a 且均匀极化 求束缚体电荷及束缚电荷分布 解 解 选取圆柱坐标系计算 并假设极化强度沿z方向 z ePP v v 0 如图 2 4 所示 由于均匀极化 束缚体电荷为 0 P v 在圆柱的侧面 注意介质的外法向半径方向 r en vv 极化强度 在z方向 故 0 rSP eP v v P 图 2 4 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波 习题详解 19 在顶面 外法向为 z en vv 故 0 PeP zSP v v 在底面 外法向为 z en vv 故 0 PeP zSP v v 2 10 假设0 x的区域为电介质 电介质的介电常数为 0 3 如果空气中的电场强度 543 1 mVeeeE zyx vvv v 求电介质中的电场强 度 2 E v 解 解 由边界条件知 0 1 3 1 3 1 3 1221 1212201021 EEnyozEE EEEEEEDD tt xxnnnnnn vv v 平面内 且切向在 即 可知分界面法线 21 E E vv 在同一平面上 从而可知 zyzzyyzzyy eeeEeEeEeE vvvvvv 54 2122 zyx eeeE vvv v 54 2 2 11 一个半径为a的导体球表面套一层厚度为ab 的电介质 电介质的介电常数 为 假设导体球带电q 求任意点的电位 解 方法一解 方法一 用电场强度的积分计算 导体球电荷只分布在球外表 由高斯 定理可得 br r q bra r q ar E 4 4 0 2 0 2 当ar 时 即导体球内电势 课后答案网 课后答案网 习题二 20 dr r q dr r q l d l d E b b a a rr 2 0 2 44 0 vvv 0 111 4 bba q 当bra 时 r q dr r q l d E rr 0 2 0 4 4 v v 综上得 时 0 d d d d1 1 2 2 1 2 r r rr 当bra 时 电位为 4 0r q 当bra 时 电位为 0 111 4 bbr q 2 12 证明极化介质中 束缚电荷体密度与自由电荷体密度的关系为 0 p 证明 证明 PEPE E D vvvv v v 00 p0 00 p 2 13 同轴线内 外导体的半径分别为a和b 证明其所储存的电能有一半是在半 课后答案网 课后答案网 习题二 22 径为abc 的圆柱内 证明 证明 同轴线内电场由高斯定理可求得 r E 2 又 2 2 1 2 1 EDEwe vv 半径为x bxa 计 算两个导体球之间的电容 解 解 因为ad 所以球面电荷可看作是均匀分布的 由电位系数的定义 可得 a PP 0 2211 4 1 d PP 0 2112 4 1 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波 习题详解 23 代入电容器的电容表示式可得 ad ad daa C 0 000 2 4 2 4 1 4 1 1 2 16 四个完全相同的导体球置于正方形的四个顶点 并按照顺时针方向排序 如 图 2 5 所示 若给球 1 带电 然后用细电线依次将它与球 2 3 4 接触 每 次接触均达到平衡为止 证明最后球 4 和球 1 上的电荷为 1411 2411 4 8pp ppq q 1411 241411 1 2 8pp pppq q 证明 证明 由导体球排列的位置可以知道 电位系 数有以下的性质 44332211 pppp 14342312 pppp 1324 pp 设第一次球 1 和球 2 达到平衡时 球 1 带电 1 q 球 2 带电 2 q 则 2121111 qpqp 2111122221212 qpqpqpqp 再由 21 和 21 qqq 可以解出 2 1 q q 2 2 q q 当球 1 和球 3 接触并且平衡以后 球 1 带电 1 q 球 3 带电 3 q 则 3242141113132121111 qpqpqpqpqpqp 3332141243332321313 qpqpqpqpqpqp 再由 31 和 31 2 qq q 2 2 q q 可以解出 4 1 q q 4 3 q q 当球 1 和球 4 接触并且平衡以后 球 1 带电 1 q 球 4 带电 4 q 则 1 3 2 4 图 2 5 课后答案网 课后答案网 习题二 24 4143242141114143132121111 qpqpqpqpqpqpqpqp 4113142241144443432421414 qpqpqpqpqpqpqpqp 再由 41 和 41 4 qq q 2 2 q q 4 3 q q 可以解出 1411 2411 4 8pp ppq q 1411 241411 1 2 8pp pppq q 2 17 间距为d的两平行金属板 竖直的插入介电常数为 的液体内 板间加电 压U 试证明 两板间液面升高 2 0 2 1 d U g h 式中 为液体密度 g为重力加速度 证明 证明 设在液体以上部分平行金属板组成的电容器的高度是H 液面升高 h 极板的宽度为l 如图 2 6 所示 仅仅考虑这部分极板间的电场能量 液体以上 部