湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2.4 绝对值导学案 华东师大版 .doc

1 湖北省武穴市实验中学七年级数学上册湖北省武穴市实验中学七年级数学上册 2 42 4 绝对值导学案绝对值导学案 华东师大版华东师大版 目标 概览 绝对值是初中数学的一个重要内容 也是中考的必考内容 本节内容要求同学们理解如下目 标 能根据一个数的绝对值表示 距离 初步理解绝对值概念 给一个数 能求出它的绝对值 会利用绝对值比较两个负数的大小 要充分重视绝对值与数轴之间的关系 同时也加深对数轴作用的认识 理解一个数的绝对值是唯一的非负数 进一步理解数形结合的数学思想 初步了解分类讨论的数学思想 思考 交流 正式比赛的篮球的质量有严格的规定 已知四个篮球超过规定的质量记为正数 不是规定的 质量记为负数 为选一个篮球用于比赛 裁判对这四个篮球进行了称量 记录如下 甲篮球 10 克 乙篮球 20 克 丙篮球 6 克 丁篮球 15 克 你认为应选哪一个篮球用于比赛 说明你选择的理由 我们通过本节内容的探索 一定会圆满地解决 学法 指津 求一个数的绝对值 必须遵循 先判后去 的程序 即先判定这个数是正数 零还是负数 再由绝对值的代数定义推出结论的符号 去掉绝对值符号 当这个数的正负性不能确定时 要分类 讨论 比较两个负数的大小时 先求出这两个数的绝对值 比较绝对值的大小 再由 两个负数 绝对值大的反而小 来得出结论 学习绝对值应将绝对值的代数定义和几何定义结合在一起理解 几何定义表示该数的点到原 点距离的大小 代数定义是我们求绝对值的法则 应明确一个有理数是由符号和绝对值两方面来确 定的 同时应掌握 利用数轴和绝对值两种方法来比较两个有理数的大小 知识 导学 本节的重点是掌握绝对值的几何意义 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离 2 一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远 绝对值越大 离原点的距离越近 绝对值越小 0 的 绝对值可以看成原点到原点的距离 因此仍然是 0 由于距离应是非负的 所以任何一个数的绝对 值都是非负数 利用绝对值的几何意义来求一个数的绝对值时 首先确定这个数在数轴上表示的点 然后再看一下这一点到原点的距离即可 本节的难点是如何求用字母表示数的绝对值 绝对值是一种运算 这个运算符号是 求 这个数的绝对值 就是想办法去掉这个绝对值符号 在去掉这个符号时 应注意理解绝对值的非负 性 由于距离总是正数或零 因此正数的绝对值应为正数 负数的绝对值就是它的相反数 0 的绝 对值是 0 对于任意的有理数 a 有 a a a 0 0 a 0 a a 0 这就是说去掉绝对值符号不是随意能去掉的 要求绝对值里面的数的正负性 若绝对值符号里面的 数是非负数 那么这个数的绝对值是它的本身 此时绝对值符号就相当于 的作用 如 5 2 1 5 2 1 5 1 4 由于此时 2 1 0 故去掉绝对值符号后 2 1 2 1 若绝对值里面的 数是负数 那么这个数的绝对值是这个数的相反数 此时去掉绝对值符号时 就要把绝对值符号里 面的数添上括号 然后变为它的相反数 如 1 2 1 2 1 求一个数或式的绝对值是中考热点题型 求一个数或式的绝对值 必须遵循 先判后去 的 程序 即先判定这个数是正数 负数或零 再由绝对值的定义 去掉绝对值符号 当这个数的正负 性不能确定时 要分类讨论 由于绝对值的定义是通过距离来定义的 因此 绝对值往往与距离结 合起来考查 本节中着重考查学生的两种基本的数学思想方法 数形结合思想与分类讨论思想 知识点一 重点 绝对值的概念 绝对值的几何定义 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 记作 a 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝 对值是 0 绝对值的代数定义可用下式表示 a a a a 0 a 0 a 0 或 a a a 0 a a 0 3 从数轴上看 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离 离原点距离越远 绝对值 越大 离原点的距离越近 绝对值越小 由于距离总是正数或零 则有理数的绝对值不可能是负数 因此 无论是绝对值的几何定义 还是绝对值的代数定义 都揭示了绝对值的一个重要性质 非 负性 也就是说 任何一个有理数的绝对值都是非负数 即 a 取任意有理数 都有 a 0 如 a 0 时 a 0 即当 a 0 a a 仍为一个正数 能力拓展 分类讨论思想是数学上一种重要的思想 绝对值的符号的去掉过程就是一种分类 讨论思想的实践 知识点二 绝对值的求法 要求一个数的绝对值 应先判断这个数是正数 负数还是 0 再由绝对值的意义确定去掉绝对 值符号后的结果 也就是说 去掉绝对值符号 要看绝对值符号里面的数是什么性质的数 若绝对值符号里面 的数是非负数 那么这个数的绝对值就是它本身 此时绝对值 符号就相当于小括号 的功能 若绝对值符号里面的数是负数 那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数 这时 去 掉绝对值符号 就要把绝对值里面的数添上括号 再在括号里面加上 号 方法规律 化简含有绝对值符号的代数式 关键是去掉绝对值符号 而去掉绝对值符号关键 是判断绝对值符号里面的数或式的正负性 知识点三 重点 非负数的应用 任何一个数的绝对值均为非负数 非负数在数学上应用非常广泛 几个非负数之和等于 0 则 这几个非负数均必须为 0 能力拓展 无论是绝对值的几何定义 还是绝对值的代数定义 都揭示了绝对值的一个重要 性质 非负性 也就是说 任何一个有理数的绝对值都是非负数 即无论 a 取任何有理数时 a 0 技巧 解悟 一 考查绝对值概念 例 1 填空 如果两个数的绝对值相等 那么这两个数 如果两个数相等 那么这两个数的绝对值 4 如果一个数的绝对值比它本身大 则这个数一定是 如果一个数的绝对值等于它本身 则这个数一定是 解析 由绝对值定义可知 若两个数的绝对值相等 那么这两个数相等或互为相反数 若两个数相等 则它们的绝对值必相等 只有负数的绝对值比本身大 正数的绝对值等于它本 身 零的绝对值等于它本身 答案 相等或互为相反数 相等 负数 正数或零 方法规律 紧紧围绕绝对值的定义及性质 同时请注意不要忽略特殊数零 例 2 绝对值是 3 的数有几个 各是什么 绝对值是 0 的数有几个 各是什么 绝对值是 2 的数有几个 各是什么 解析 本题要正确理解绝对值的概念 尤其要理解绝对值的几何意义 一个数 a 的绝对值就 是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 表示到原点距离等于 3 的点有 2 个 显然表示数 3 与 3 的点到原点的距离都等于 3 所以 绝对值等于 3 的数有两个 它们互为相反数 到原点距离为 0 的点只有原点本身 它对应的数是 0 任意有理数的绝对值都是非负数 故不存在绝对值是 2 的数 答案 绝对值是 3 的数有两个 它们分别是 3 和 3 绝对值是 0 的数只有一个 它是 0 绝对值是 2 的数不存在 方法规律 一般地 一个有理数的绝对值只有一个 但是绝对值为一个正数时的有理数有两 个 它们互为相反数 绝对值为 0 的有理数仍然是 0 没有绝对值为负数的有理数 例 3 下列说法中正确的是 a 一个数的绝对值一定是正数 b 任何正数一定大于它的倒数 c a 的相反数的绝对值等于 a 的绝对值的相反数 d 绝对值最小的有理数是 0 解析 此题可用排除法 而要说明一句话不正确 只要举一反例即可 也就是结合特殊值法 5 加以说明 因为 0 0 而 0 不是正数 故 a 错误 因为的倒数为 2 而 2 故 b 错误 因为 2 2 1 2 1 的相反数的绝对值是 2 而 2 的绝对值的相反数是 2 且 2 2 故 c 也不成立 故选 d 答案 选 d 经验技巧 任何数的绝对值总是一个非负数 零是绝对值最小的数 这些知识常作为考试考 查的热点 二 考查绝对值的求法 例 4 求下列各数的绝对值 4 5 2 0 2 1 解析 求有理数的绝对值 用绝对值的代数定义比较方便 正数的绝对值是它本身 负数的 绝对值是它的相反数 0 的绝对值是 0 答案 4 4 5 2 5 2 0 0 2 1 2 1 例 5 当 a 4 时 化简 a 4 解析 当 a 4 时 a 40 a 0 a0 时 a 0 a a a a 当 ay 求 x y 的值 解析 由绝对值的定义可知 已知 x 3 y 4 可求得 x 3 y 4 进而求出代数式 x y 的值 但请注意 x y 答案 x 3 x 3 y 4 y 4 又 x y 可分解为两种情况 x 3 y 4 x 3 y 4 当 x 3 y 4 时 x y 1 当 x 3 y 4 时 x y 7 方法规律 分类讨论的思想是解决本题的关键 例 3 已知 x 3 y 4 求 x y 的值 7 解析 本题与例 2 相比之下未确定 x y 之间的大小关系 但使用的方法相同 答案 x 3 y 4 x 3 y 4 于是有四种情况 x 3 x 3 x 3 x 3 y 4 y 4 y 4 y 4 此时 x y 7 或 1 或 1 或 7 误区警示 x y 的配对情况有四种不能只写成两种 应用题 例 4 正式排球比赛对所使用的排球的重量有严格的规定 现检查五个排球的重量 超过规定 重量的克数记为正数 不是规定重量的记为负数检查结果如下表 15 10 30 20 40 问题 1 指出哪个排球的质量好些 即重量按规定重量 2 如果对两个排球作上述检查 检查结果分别为 p q 请利用学过的绝对值的知识加以说 明哪个排球质量更好一些 解析 本题考查正 负数的意义及绝对值在实际问题中的应用 根据实际问题知哪个排球的 质量偏差较小 哪个排球偏差较大 哪个排球的质量更好 这个偏差可以用绝对值表示绝对值小表 示偏差小 绝对值大表示编差大 答案 1 第二排球 2 如果 p q 则结果为 q 的质量更好 如果 p q 则结果为 p 的质量更好 如果 p q 则两个排球质量一样好 方法规律 正确理解正 负偏差的意义和偏差的绝对值的意义是解决本题的关键 在实际问 题中 往往只关心数的绝对值 而并不一定关心数的符号 探究 体验 探究题 例 1 出租车司机小李一天下午营运全是在东西走向的一条大街上进行的 如果规定向东为正 他这天下午的行李路程 单位 km 如下 15 2 5 1 10 3 2 12 4 5 6 8 若汽车的耗油量为 0 03 升 千米 这天下午小李共耗油多少升 解析 小李的耗油量与行驶的总路程有关系 而总路程是规定了方向的行车路程的绝对值之 和 答案 小李这天下午共行驶的路程为 15 2 5 1 10 3 2 12 4 5 6 15 2 5 1 10 3 2 12 4 5 6 65 故这天下午小李共耗油 65 0 03 1 95 升 开放题 例 2 求满足 ab a b 1 的整数对 a b 有多少个 解析 根据整数性质解决 答案 由题意可知 一 ab 0 或 二 ab 1 a b 1 a b 0 对于第 一 种情况有 a 1a 1 a 0 a 0 b 0b 0 b 1 b 1 对于第 二 种情况有 a 1a 1 b 1b 1 名师点拨 根据整数的性质对本题进行分类讨论是解题的关键 方案设计题 例 3 设 a b c 为非零有理数 试求 的值 abc abc bc bc ac ac ab ab c c b b a a 解析 化简这个含有绝对值的代数式要进行方案的设计 而方案的设计的基本理念是分类讨 论 答案 当 a b c 均为正数时 原式 1 1 1 1 1 1 1 7 当 a b c 均为负数时 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 当 a b c 一正二负时 如 a 为正 b c 为负 9 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 当 a b c 二正一负时 如 a b 为正 c 为负 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 方法规律 利用绝对值的含义来化简含有绝对值的代数式要先判断绝对值符号里面的数或 式的正负性 本题的分类的四种情况的分类标准是由于 a b c 三数的地位的恒等性 习题 解疑 p31 练习 5 的绝对值 5 5 4 5 的绝对值 4 5 4 5 0 5 的绝对值 0 5 0 54 1 的绝对值 1 1 0 的绝对值 0 0 3 的符号为负 绝对值是 3 符号是 号 绝对值是 7 的数是 7 10 5 的符号是 绝对值是 10 7 绝对值是 5 1 符号是 号的数是 5 1 绝对值是 12 的数有 2 个 分别为 12 12 绝对值是 0 的数只有 1 个 它为 0 没有绝对值为 3 的数 因为任何有理数的绝对值均为非负数 p31 习题 2 4 2 0 4 2 5 2 3 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 5 5 0 0 2 2 4 2 4 2 2 3 2 3 14 14 3 3 6 5 6 5 2 3 2 3 2 1 2 1 6 5 6 5 11 3 3 2 1 3 3 2 1 1 2 4 5 0 2 4 5 0 2 0 9 2 3 3 2 2 3 2 3 4 9 错误 如 0 的绝对值是 0 不是正数 错误 如 2 2 的绝对值相等 但这两个数并不相等 正确 10 错误 这个数还可能为 0 自主 评价 若 x 2 则 x 若 x 2 0 则 x 若 x 1 2 则 x 的绝对值是 4 绝对值不大于 2 的整数有 若 x 2 y 3 0 则 y x 若 a b 4 且 a 3 则 b 下列叙述正确的是 a 若 a b 则 a bb 若 a b 则 a b c 若 a b 则 a 1b a0 原式 0 当 a 0 时 原式 2 a aa a aa a a 2 x 1 解析 由 x x x 0 又 x 故 x 0 且 x2 1 x 1 x 1 而 x 0 x 1 b a a b 解析 在数轴上排列 a a b b 1 或 3 解析 a b 0 cd 1 m 2 原式 0 1 2 1 2 1 1 2 3 12 1 解析 1 x0 a 0 b 0 原式 a c a b c b 解析 数轴上表示 2 5 两点之间的距离为 3 数轴上表示 2 5 两点之间的距离为 3 数轴上表示 1 3 两点之间的距离为 4 数轴上表示 x 和 1 两点 a b 之间的距离为 x 1 若 a b 2 即 x 1 2 x 1 或 3 当代数式 x 1 x 2 取最小值时 用几何方式来分析为 1 0 2 在数轴上有一点 x 它到 1 和 2 的距离之和最小 它出现的情况有三种 x 在 1 的左边 x 在 1 与 2 之间 x 在 2 的右边 经过分析可知 1 x 2 科学史话 数学家冯 诺依曼 约翰 冯 诺依曼 1903 年 12 月 28 日出生于匈牙利布达佩斯的一个犹太人家庭 少年时代的 诺伊曼勤奋好学 兴趣广泛 博览群书 他讲究学习方法 善于独立思考 在学校里各门功课成绩 优异 青年时期 冯 诺依曼进入大学学习 对集合论和逻辑产生了浓厚的兴趣 他刻苦努力 17 岁时就发表了第一篇数学论文 20 岁时发表的序数定义被数学界普遍采用 23 岁获得博士学位 此后 他在量子理论和算子理论方面进行了大量研究 发表了多篇论文 在纯粹数学和理论物理领 域做出了大量贡献 第二次世界大战爆发后 冯 诺依曼积极投身反法西斯战争 及时转变科研方向 由纯粹数 学家转变成应用数学家 先后在统计学 空气动力学 弹道学 爆炸学和气象方面做了大量工作 冯 诺依曼通过把数学与经济学相结合创立了博弈论理论 发表的 博弈论与