湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定学案 新人教版必修2.doc

31.2两条直线平行与垂直的判定 提出问题平面几何中，两条直线平行同位角相等问题1：在平面直角坐标中，若l1l2，则它们的倾斜角1与2有什么关系？提示：相等问题2：若l1l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定可能平行也可能重合导入新知对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.化解疑难对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在. 提出问题已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30，l1l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1，k2.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k21.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为1吗？提示：一定导入新知如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.化解疑难对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1l2k1k21或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点a(2,1)，b(3,5)，l2经过点c(3，3)，d(8，7)；(2)l1经过点e(0,1)，f(2，1)，l2经过点g(3,4)，h(2,3)；(3)l1的倾斜角为60，l2经过点m(1，)，n(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点p(0，2)，q(0,5)解(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kbc，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平行或重合，kfg1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.类题通法判断两条不重合直线是否平行的步骤活学活用1试确定m的值，使过点a(m1,0)，b(5，m)的直线与过点c(4,3)，d(0,5)的直线平行解：由题意直线cd的斜率存在，则与其平行的直线ab的斜率也存在kab，kcd，由于abcd，即kabkcd，所以，得m2.经验证m2时直线ab的斜率存在，所以m2. 例2已知直线l1经过点a(3，a)，b(a2，3)，直线l2经过点c(2,3)，d(1，a2)，如果l1l2，求a的值解设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.直线l2经过点c(2,3)，d(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，此时k10，由k1k21，得1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.类题通法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1k21.活学活用2已知定点a(1,3)，b(4,2)，以a、b为直径作圆，与x轴有交点c，则交点c的坐标是_解析：以线段ab为直径的圆与x轴的交点为c，则acbc.设c(x,0)，则kac，kbc，所以1，得x1或2，所以c(1,0)或(2,0)答案：(1,0)或(2,0) 例3已知a(4,3)，b(2,5)，c(6,3)，d(3,0)四点，若顺次连接a，b，c，d四点，试判定图形abcd的形状解由题意知a，b，c，d四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kab，kcd，kad3，kbc.所以kabkcd，由图可知ab与cd不重合，所以abcd.由kadkbc，所以ad与bc不平行又因为kabkad(3)1，所以abad，故四边形abcd为直角梯形类题通法1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有k1k2是不够的，注意排除两直线重合的情况活学活用3已知a(1,0)，b(3,2)，c(0,4)，点d满足abcd，且adbc，试求点d的坐标解：设d(x，y)，则kab1，kbc，kcd，kda.因为abcd，adbc，所以，kabkcd1，kdakbc，所以解得即d(10，6)典例已知直线l1经过a(3，m)，b(m1,2)，直线l2经过点c(1,2)，d(2，m2)(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值解题流程先求l2的斜率由l1l2得k1k2列关系式检验由l1l2讨论k20或k20，再由k1k21得出结论当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k21，即1，解得m3或m4，(10分)所以m3或m4时，l1l.(12分)名师批注处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨处讨论k20和k20两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范活学活用已知a(m3,2)，b(2m4,4)，c(m，m)，d(3,3m2)，若直线abcd，求m的值解：因为a，b两点纵坐标不等，所以ab与x轴不平行因为abcd，所以cd与x轴不垂直，故m3.当ab与x轴垂直时，m32m4，解得m1，而m1时，c，d纵坐标均为1，所以cdx轴，此时abcd，满足题意当ab与x轴不垂直时，由斜率公式得kab，kcd.因为abcd，所以kabkcd1，解得m1.综上，m的值为1或1. 随堂即时演练1下列说法正确的有()若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若l1l2，则k1k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行a1个b2个c3个 d4个解析：选a若k1k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()a平行 b重合c相交但不垂直 d垂直解析：选d设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k21.3已知abc中，a(0,3)、b(2，1)，e、f分别为ac、bc的中点，则直线ef的斜率为_解析：e、f分别为ac、bc的中点，efab.kefkab2.答案：24经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直，则m的值是_解析：由题意可知kl，又因为kl，所以，解得m.答案：5判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系(1)l1的斜率为10，l2经过点a(10,2)，b(20,3)；(2)l1过点a(3,4)，b(3,100)，l2过点m(10,40)，n(10,40)；(3)l1过点a(0,1)，b(1,0)，l2过点m(1,3)，n(2,0)；(4)l1过点a(3,2)，b(3,10)，l2过点m(5，2)，n(5,5)解：(1)k110，k2.k1k21，l1l2.(2)l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.(3)k11，k21，k1k2.又kam2k1，l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，l1l2.课时达标检测一、选择题1已知过点p(3,2m)和点q(m,2)的直线与过点m(2，1)和点n(3,4)的直线平行，则m的值是()a1 b1c2 d2解析：选b因为mnpq，所以kmnkpq，即 ，解得m1.2以a(1,1)，b(2，1)，c(1,4)为顶点的三角形是()a锐角三角形b钝角三角形c以a点为直角顶点的直角三角形d以b点为直角顶点的直角三角形解析：选c如右图所示，易知kab，kac，由kabkac1知三角形是以a点为直角顶点的直角三角形3已知点a(2，5)，b(6,6)，点p在y轴上，且apb90，则点p的坐标为()a(0，6) b(0,7)c(0，6)或(0,7) d(6,0)或(7,0)解析：选c由题意可设点p的坐标为(0，y)因为apb90，所以apbp，且直线ap与直线bp的斜率都存在又kap，kbp，kapkbp1，即()1，解得y6或y7.所以点p的坐标为(0，6)或(0,7)4若a(4,2)，b(6，4)，c(12,6)，d(2,12)，则下面四个结论：abcd；abad；acbd；acbd中正确的个数为()a1 b2c3 d4解析：选c由题意得kab，kcd，kad，kac，kbd4，所以abcd，abad，acbd.5已知点a(2,3)，b(2,6)，c(6,6)，d(10,3)，则以a，b，c，d为顶点的四边形是()a梯形 b平行四边形c菱形 d矩形解析：选b如图所示，易知kab，kbc0，kcd，kad0，kbd，kac，所以kabkcd，kbckad，kabkad0，kackbd，故adbc，abcd，ab与ad不垂直，bd与ac不垂直所以四边形abcd为平行四边形二、填空题6l1过点a(m,1)，b(3,4)，l2过点c(0,2)，d(1,1)，且l1l2，则m_.解析：l1l2，且k21，k11，m0.答案：07已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点a(2，1)和b(3，a)，则a的值为_解析：l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，所以a4.答案：48已知a(2,3)，b(1，1)，c(1，2)，点d在x轴上，则当点d坐标为_时，abcd.解析：设点d(x,0)，因为kab40，所以直线cd的斜率存在则由abcd知，kabkcd1，所以41，解得x9.答案：(9,0)三、解答题9当m为何值时，过两点a(1,1)，b(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行？解：(1)由kabtan 1351，解得