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文档简介
31.2两条直线平行与垂直的判定 提出问题平面几何中,两条直线平行同位角相等问题1:在平面直角坐标中,若l1l2,则它们的倾斜角1与2有什么关系?提示:相等问题2:若l1l2,则l1,l2的斜率相等吗?提示:不一定,可能相等,也可能都不存在问题3:若l1与l2的斜率相等,则l1与l2一定平行吗?提示:不一定可能平行也可能重合导入新知对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1l2k1k2.化解疑难对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在;l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90,则l1l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1l2k1k2或l1,l2斜率都不存在. 提出问题已知两条直线l1,l2,若l1的倾斜角为30,l1l2.问题1:上述问题中,l1,l2的斜率是多少?提示:k1,k2.问题2:上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系?提示:k1k21.问题3:若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为1吗?提示:一定导入新知如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于1;反之,如果它们的斜率之积等于1,那么它们互相垂直,即l1l2k1k21.化解疑难对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k21成立的前提条件是:两条直线的斜率都存在;k10且k20.(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为:l1l2k1k21或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零 例1根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点a(2,1),b(3,5),l2经过点c(3,3),d(8,7);(2)l1经过点e(0,1),f(2,1),l2经过点g(3,4),h(2,3);(3)l1的倾斜角为60,l2经过点m(1,),n(2,2);(4)l1平行于y轴,l2经过点p(0,2),q(0,5)解(1)由题意知,k1,k2,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kbc,故l1l2.(2)由题意知,k11,k21,所以直线l1与直线l2平行或重合,kfg1,故直线l1与直线l2重合(3)由题意知,k1tan 60,k2,k1k2,所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1l2.类题通法判断两条不重合直线是否平行的步骤活学活用1试确定m的值,使过点a(m1,0),b(5,m)的直线与过点c(4,3),d(0,5)的直线平行解:由题意直线cd的斜率存在,则与其平行的直线ab的斜率也存在kab,kcd,由于abcd,即kabkcd,所以,得m2.经验证m2时直线ab的斜率存在,所以m2. 例2已知直线l1经过点a(3,a),b(a2,3),直线l2经过点c(2,3),d(1,a2),如果l1l2,求a的值解设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.直线l2经过点c(2,3),d(1,a2),且21,l2的斜率存在当k20时,a23,则a5,此时k1不存在,符合题意当k20时,即a5,此时k10,由k1k21,得1,解得a6.综上可知,a的值为5或6.类题通法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第一步(2)二用:就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值:计算斜率的值,进行判断尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1l2;l1与l2斜率都存在时,满足k1k21.活学活用2已知定点a(1,3),b(4,2),以a、b为直径作圆,与x轴有交点c,则交点c的坐标是_解析:以线段ab为直径的圆与x轴的交点为c,则acbc.设c(x,0),则kac,kbc,所以1,得x1或2,所以c(1,0)或(2,0)答案:(1,0)或(2,0) 例3已知a(4,3),b(2,5),c(6,3),d(3,0)四点,若顺次连接a,b,c,d四点,试判定图形abcd的形状解由题意知a,b,c,d四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得kab,kcd,kad3,kbc.所以kabkcd,由图可知ab与cd不重合,所以abcd.由kadkbc,所以ad与bc不平行又因为kabkad(3)1,所以abad,故四边形abcd为直角梯形类题通法1在顶点确定的情况下,确定多边形形状时,要先画出图形,由图形猜测其形状,为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时,仅有k1k2是不够的,注意排除两直线重合的情况活学活用3已知a(1,0),b(3,2),c(0,4),点d满足abcd,且adbc,试求点d的坐标解:设d(x,y),则kab1,kbc,kcd,kda.因为abcd,adbc,所以,kabkcd1,kdakbc,所以解得即d(10,6)典例已知直线l1经过a(3,m),b(m1,2),直线l2经过点c(1,2),d(2,m2)(1)若l1l2,求m的值;(2)若l1l2,求m的值解题流程先求l2的斜率由l1l2得k1k2列关系式检验由l1l2讨论k20或k20,再由k1k21得出结论当k20时,直线l2的斜率存在且不为0,则直线l1的斜率也存在,且k1k21,即1,解得m3或m4,(10分)所以m3或m4时,l1l.(12分)名师批注处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值,解答过程不严谨处讨论k20和k20两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范活学活用已知a(m3,2),b(2m4,4),c(m,m),d(3,3m2),若直线abcd,求m的值解:因为a,b两点纵坐标不等,所以ab与x轴不平行因为abcd,所以cd与x轴不垂直,故m3.当ab与x轴垂直时,m32m4,解得m1,而m1时,c,d纵坐标均为1,所以cdx轴,此时abcd,满足题意当ab与x轴不垂直时,由斜率公式得kab,kcd.因为abcd,所以kabkcd1,解得m1.综上,m的值为1或1. 随堂即时演练1下列说法正确的有()若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;若l1l2,则k1k2;若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直;若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行a1个b2个c3个 d4个解析:选a若k1k2,则这两条直线平行或重合,所以错;当两条直线垂直于x轴时,两条直线平行,但斜率不存在,所以错;若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,才有这两条直线垂直,所以错;正确2直线l1,l2的斜率是方程x23x10的两根,则l1与l2的位置关系是()a平行 b重合c相交但不垂直 d垂直解析:选d设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1k21.3已知abc中,a(0,3)、b(2,1),e、f分别为ac、bc的中点,则直线ef的斜率为_解析:e、f分别为ac、bc的中点,efab.kefkab2.答案:24经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为4的直线互相垂直,则m的值是_解析:由题意可知kl,又因为kl,所以,解得m.答案:5判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系(1)l1的斜率为10,l2经过点a(10,2),b(20,3);(2)l1过点a(3,4),b(3,100),l2过点m(10,40),n(10,40);(3)l1过点a(0,1),b(1,0),l2过点m(1,3),n(2,0);(4)l1过点a(3,2),b(3,10),l2过点m(5,2),n(5,5)解:(1)k110,k2.k1k21,l1l2.(2)l1的倾斜角为90,则l1x轴k20,则l2x轴,l1l2.(3)k11,k21,k1k2.又kam2k1,l1l2.(4)l1与l2都与x轴垂直,l1l2.课时达标检测一、选择题1已知过点p(3,2m)和点q(m,2)的直线与过点m(2,1)和点n(3,4)的直线平行,则m的值是()a1 b1c2 d2解析:选b因为mnpq,所以kmnkpq,即 ,解得m1.2以a(1,1),b(2,1),c(1,4)为顶点的三角形是()a锐角三角形b钝角三角形c以a点为直角顶点的直角三角形d以b点为直角顶点的直角三角形解析:选c如右图所示,易知kab,kac,由kabkac1知三角形是以a点为直角顶点的直角三角形3已知点a(2,5),b(6,6),点p在y轴上,且apb90,则点p的坐标为()a(0,6) b(0,7)c(0,6)或(0,7) d(6,0)或(7,0)解析:选c由题意可设点p的坐标为(0,y)因为apb90,所以apbp,且直线ap与直线bp的斜率都存在又kap,kbp,kapkbp1,即()1,解得y6或y7.所以点p的坐标为(0,6)或(0,7)4若a(4,2),b(6,4),c(12,6),d(2,12),则下面四个结论:abcd;abad;acbd;acbd中正确的个数为()a1 b2c3 d4解析:选c由题意得kab,kcd,kad,kac,kbd4,所以abcd,abad,acbd.5已知点a(2,3),b(2,6),c(6,6),d(10,3),则以a,b,c,d为顶点的四边形是()a梯形 b平行四边形c菱形 d矩形解析:选b如图所示,易知kab,kbc0,kcd,kad0,kbd,kac,所以kabkcd,kbckad,kabkad0,kackbd,故adbc,abcd,ab与ad不垂直,bd与ac不垂直所以四边形abcd为平行四边形二、填空题6l1过点a(m,1),b(3,4),l2过点c(0,2),d(1,1),且l1l2,则m_.解析:l1l2,且k21,k11,m0.答案:07已知直线l1的倾斜角为45,直线l2l1,且l2过点a(2,1)和b(3,a),则a的值为_解析:l2l1,且l1的倾斜角为45,kl2kl1tan 451,即1,所以a4.答案:48已知a(2,3),b(1,1),c(1,2),点d在x轴上,则当点d坐标为_时,abcd.解析:设点d(x,0),因为kab40,所以直线cd的斜率存在则由abcd知,kabkcd1,所以41,解得x9.答案:(9,0)三、解答题9当m为何值时,过两点a(1,1),b(2m21,m2)的直线:(1)倾斜角为135;(2)与过两点(3,2),(0,7)的直线垂直;(3)与过两点(2,3),(4,9)的直线平行?解:(1)由kabtan 1351,解得
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