海洋石油浮动装置的运动学与动力学.doc

第五章 海洋石油浮动装置的运动学与动力学第一节 海洋石油浮动设备的摇摆与稳定一、海洋石油浮动装置的运动分析当海洋石油装备浮于海面上时，在海洋环境载荷的作用下，都有可能产生六种运动。（一）浮动钻进装备的两类六种运动今以海上钻井装置浮于海面上时为例进行分析，一般常有两类运动在外力作用下产生。1移动根据刚体运动学，若将浮于海面上的钻井装备看做刚体，则它沿x、y、z三个轴线，在外力作用下，可以有三个移动。如图5-1所示。（1）进退（Surge） 海上浮动钻井装置沿x轴，即前进与后退方向的移动，称为进退；（2）横漂（平移）（Sway） 海上浮动钻井装置沿y轴，即与前进成垂直方向的移动，称为横漂或平移；（3）升沉（Heave） 海上浮动钻井装置沿z轴，即沿垂直方向所做的移动，称为升沉。2转动若将海上浮动钻井装置看成刚体，且取x、y、z坐标的原点与钻井装置的重心相重合，x轴通过首尾，y轴横贯左右两舷侧，z轴铅直，且海上浮动钻井装置分别以x、y、z三个轴作为转轴，则在外力矩作用下，又可产生三种转动。即（1）横摇（Roll） 海上浮动钻井装置以x轴作为转动轴的转动，称为横摇。（2）纵摇（Pitch） 海上浮动钻井装置以y轴作为转动轴转动，称为纵摇。（3）平摇（Yaw） 海上浮动钻井装置以z轴作为转动轴的转动，称为平摇或称首摇。（二）海上浮动钻井装置的运动微分方程式理论力学的动力学中指出：不平衡力系作用到刚体上时，刚体将产生运动。若刚体质量为m，且有加速度，则作用于刚体的力与刚体质量和加速度三者之间的关系，以数学方程式表达出来，即称之为运动微分方程式，结合海上浮动钻井装置的运动情况，可以写出如下的运动微分方程式：1移动设海上浮动钻井装置沿x、y、z坐标不同方向的位移，分别为、，而外力系分别为、，质量为m，则可写出其移动的微分方程式为：（1）进退 （5-1）（2）平移 （5-2）（3）升沉 （5-3）式（5-1）、（5-2）、（5-3）中，及和分别为加速度，而、及为惯性力。2转动若将海上浮动钻井装置看成刚体，运用动力学原理，设海上浮动钻井装置发生转动的力矩为、及，则可写出以x、y、z三个轴为转动轴的运动微分方程式 （5-4） （5-5） （5-6）式（5-4）、（5-5）、（5-6）中及和分别为围绕x及y和z轴的转动的角加速度。二、海洋石油浮动装备摇摆与稳定的基本概念（一）重心与浮心1重心海洋石油浮动装备浮漂与海面上时，受相等相反的两个力的作用，因此处于平衡状态。如图5-2所示。设W为重力，B为浮力，则此时W=B，而重力W集中的所在处g即称做重心。对于海上浮动钻井装置来说，一般只考虑纵向重心，而不知考虑横向重心。2浮心如图5-2a所示，将浮力B集中的所在处b，叫做浮心。（二）稳心与稳心高度1稳心如图5-2b所示，当海上浮动装置受有外力矩作用时，若产生较小的倾斜角。则虽重力W仍通过重心g，但浮力B却偏至右边，因此浮心已移至右边，这时浮体的中心线om与浮力线的交点点所在位置高低，直接影响着海洋石油浮动装备的稳定程度。2稳心高度如图5-2b所示，自稳心至重心g的距离，即叫做稳心高度。图5-2b所示者为稳心高度是正值的情况，心态，这时由重力W与浮力B，所组成的力偶的方向为逆时针，恰与外力矩的顺时针方向相反，故这个力偶趋于使浮动装置恢复到原来位置，有助于保持稳定，而且随着稳心高度的加高，此恢复力偶的力臂越长，即恢复力矩越大。但当如图5-3c所示，稳心高度为负值时，重力W为浮力B所组成的力偶方向为顺时针，与外倾倒力矩的稳心高度一般在9-180m之间。（三）回复力矩与倾倒力矩1回复力矩趋于使浮动装备恢复到原来平衡位置的力矩叫做回复力矩。如图5-2b所示的重力W与浮力B及二力之间的垂直距离（力臂）所组成的力矩，即为回复力矩。其方向与外力矩方向相反。2倾倒力矩趋于使浮动装备离开原来平衡位置的力矩，叫做倾倒力矩。如图5-2c所示的重力W与浮力B力偶所组成的与外力矩方向相同力矩，则称做倾倒力矩。（四）转动与摇摆前面已介绍，海洋石油浮动装备浮动时，在外力矩作用下，将可能产生围绕转动轴x轴、y轴或z轴的转动。若此转动是在一定角度范围周期性地往复地进行着，则称做为摇摆。发生摇摆时自开始的平衡位置至的最大倾斜位置之间的角度称为摇摆，两倍摇摆则称做摆程；摆程的两倍称为全摆程；而完成全摆程所需要的时间，即称为摇摆周期。根据产生摇摆的外力矩的情况的不同，可分为：（1）静水摇摆 当外力矩停止后，浮动装备因惯性力矩的作用，仍然反复越过平衡位置，循环不断地在静水面上摇摆即称做静水摇摆。（2）自然自由摇摆 静水摇摆的浮动装备若无外界阻力时，则将自然地永远摇摆下去，故称此种摇摆为自然自由摇摆，自然是指无阻尼，自由是指无强迫外力矩。但实际上由于海水有阻尼存在，因此自然自由摇摆很快即会停止。（3）强迫摇摆 因强迫外力矩作用而引起的摇摆，称做强迫摇摆。一般海洋石油装备在海面上作用有周期性的海浪力引起的强迫力矩，因而它们产生的摇摆是强迫摇摆与自然自由摇摆的合成。综观上述，海洋石油浮动装备所产生的摇摆是一种极限振动现象，只不过这种振动是属于旋转运动的振动，即角振动。三、海洋石油浮动钻井装置的稳定性（一）半潜式钻井平台与钻井浮船的稳定性一般对于半潜式钻井平台与钻井浮船来说，因纵向稳心高度较横向稳心高度大好多倍，纵摇振幅很小，一般不会超过几度，故纵摇问题不甚重要，不予考虑，而只考虑横摇时的稳定性问题。1分析横摇时的基本假设（1）横摇时的倾斜力矩来自于波浪力。而波浪的倾斜角按照服从正弦三角函数规律来考虑。如图5-3所示。 （5-7）式中 波峰的斜坡角，即自波浪相邻波谷及波峰所做切线与静水面所成的角度，它随时间而变化； 波浪的最大斜坡角； 海浪的圆频率。（2）海上浮动装置横摇的倾侧角与波浪的斜坡角，在钻井工作时均很小，在阵风10级的海况下，也不超过。一般海况下还要小，故均可以及来代替。（3）浮力B与重力W均成铅直方向垂直于静水面，且两者平行。2横摇的运动微分方程式（1）回复力矩的力臂 如图5-3所示。浮力B与重力W之间的垂直距离应为力臂。它可以稳心高度h与之乘积来表示，即。（2）运动微分方程式 设半潜式钻井平台或钻井浮船围绕x轴横摇的转动惯量为Ix，而使其恢复的力矩，应为浮力B与力臂的乘积，即。因而按照达伦贝尔理论，自前面式（5-4），即可写出横摇的运动微分方程式为： （5-8）将式（5-7）代入式（5-8）中，又可写成 （5-9）式（5-9）表明：海上浮动钻井装置的横摇是由两种摆动合成的。其一是即无阻尼的在静水中的自然自由摇摆，其二是式（5-9）等号右端的，它是一个典型的简谐振动。以遍除式（5-9）各项，且令，即可得出海上浮动钻井装置的固有频率，而此频率与海浪的圆频率接近时，则将产生共振现象，使摆幅逐渐越来越大。因而在实际钻井工作时，必须注意即是调整半潜式钻井平台或钻井浮船本身的特征参数，改变固有频率，采取如加载变化或B等措施，防止共振的发生。（二）沉没式钻井平台的稳定性对于沉没式钻井平台来说，在其下沉过程中，纵摇及纵向稳定性是一个很重要的问题。因为它一般采用一端下沉的做法，而在一端下沉过程中，若纵摇失去平衡将会发生翻沉事故。纵摇的运动微分方程式中，只要将转动惯量换以，倾侧角换以，稳心高度换以纵向稳心高度，则依式（5-5），依照式（5-9）同样可写出为 （5-10）一般对于移动式移动平台来说，常将最大允许的倾侧角称做稳定范围，通常限定这个范围为，而初定倾中心高度约为15m。（三）自升式钻井平台的稳定性1整体稳定性的定义自升式钻井平台在升船状态时，抗风浪摇摆的能力，叫做整体稳定性。通常定义为平台在风浪方向所具有的回复力矩与风浪作用在平台上所产生的倾倒力矩的比值。若将此比值以抗倾安全系数来表示时，则可写出 （5-11）2倾倒力矩的计算自升式钻井平台的倾倒力矩是由风浪所引起的。它由平台及桩腿所承受的风力矩和作用在桩腿上的波浪力矩组成。今以三角形甲板的三根桩腿的自升式钻井平台为例来说明计算的方法。如图5-4所示，设作用在1、2、3号桩腿上的波浪力分别为、，而其作用点至桩腿下部交接点的距离分别为、，作用在平台及桩腿上的风力为，其作用点至桩腿下部铰接点的距离为HW，作用在平台重心的平台重量为WG，桩腿在水中的重量为Wp；平台重心g至x轴的距离为L，则平台的倾倒力矩ML可写成 （5-12）式（5-12）中的风力及海浪力的计算，应按照海洋环境载荷的计算有关公式进行。3回复力矩的计算通常规定最小抗倾力矩的方向是，因此如图5-5所示，应相对x-x轴，沿其方向计算回复力矩，而由于回复力矩是因平台重量及桩腿重量所造成的，因此即可写出 （5-13）式（5-13）中： （5-14）其中，e为三根桩腿所组成的三角形的重心的偏心矩。式（5-13）中：其中：W为桩腿在空气中的重量；BP为桩腿的浮力，它们应根据桩腿在水中的长度及总长度以及每段桩腿的排水体积来计算。对于桁架式桩腿来说，一般每段长约5m，排水体积20m3，计算时海水密度取1.025每立方米，若桩腿下面有沉垫时，还应根据其重量及钢的密度7.8t每立方米，若桩腿下面有沉垫时，还应根据其重量及钢的密度7.8t每立方米，计算沉垫的浮力。4抗倾安全系数曲线将式（5-13）、（5-12）代入到式（5-11）中即可得出抗倾安全系数为 （5-15）由于式（5-15）中的平台重量WG以及LO均是可变的，而且它们都是随着可变载荷的变化而变化的。因此若以可变载荷为横坐标，抗倾安全系数n为纵坐标，则即可给出抗倾安全系数曲线。一般规定自升式钻井平台的最小抗倾安全系数为1.31.4。四、海上钻井装置拖航过程中的稳定性（一）拖航时钻井装置的运动与承载特点海上钻井装置在拖航过程中，处于漂浮状态，在风浪的作用下，将有移动与转动同时产生。通常影响比较大的是沿铅直方向的升沉振动及相对进退轴线的横摇引起的旋转振动。这些振动均将对海上钻井装置产生动载荷。1升沉运动及动载荷假设钻井装置拖航时随海浪的升沉为正弦三角函数的简谐振动。且升沉振幅为AP，则根据力学的简谐振动理论，可分别写出升沉振动的位移、速度、加速度如下：（1）升沉振动位移 （5-16）式中 海浪的圆频率，若海浪周期为T，则； AP平台的升沉振幅。一般在设计钻井装置时应已做过模型试验，给出试验曲线，可自其曲线中查出。对于三角形甲板的自升式钻井平台来说，可以近似地将此升沉振幅看成是纵摇时桩腿处被摆起的高度。因此若桩腿纵轴线至平台纵向重心g的距离为LP，而纵摇的最大摇摆角max时则如图5-5所示，可得出升沉振幅 （5-17）根据规定：纵摇的允许最大摇摆角max=15，在海况阵风10级。波高89m，周期1112s，测得纵摇角为13。对于目前使用于渤海的桁架式桩腿的自升式平台的LP尺寸，计算结果APB=6.75m，而按照max=15时，代入式（5-17），则APB=6.58m，两者数值很接近。因此一般按规定的max=15计算是合理的。（2）升沉运动的加速度 将式（5-16）对时间t进行两次微分即可得出 （5-18）而 （5-19）根据式（5-19）即可计算出一根桩腿处的最大加速度值。（3）升沉振动对自升式平台的桩腿的动弯矩 如图5-6所示，若自桩腿上取一小段dz，且桩腿在某一段上单位长度的质量为mi，则知因升沉振动引起的动载即应为其质量与升沉加速度的乘积，故可写出小段dx处的惯性力dFI为 （5-20）而此惯性力在桩腿的固桩块处，引起的动弯矩则应为 （5-21）因而整个桩腿全长l所引起的对固桩块处的动弯矩，即应为 （5-22）2横摇摇摆运动及动载荷假设海上钻井装置在拖航过程中随海浪横摇而产生的是简谐旋转振动，则根据力学中简谐振动理论，可写出此摇摆运动的位移、加速度、动载荷的计算公式。（1）角位移 （5-23）式中 Ag横摇摇摆运动的摆幅，一般规定（2）角加速度 （5-24）而 （5-25）式中 T海浪的周期。（3）横摇摇摆对自升式平台的桩脚引起的动弯矩 依照上面分析升沉振动时间同样的办法，将纵摇换成横摇。设自所取小块处至固桩处的距离为z，则对桩腿的固桩块处的动弯矩MIR为 （5-26）（二）拖航时海上钻井装置的总体稳定性进行拖航时总体稳定性的校核，仍应根据前面式（5-12）、（5-13）、（5-15）来进行抗倾安全系数的校核。无论是浮动钻井装置或自升式平台，均应根据具体不同结构特点，来计算倾倒力矩及回复力矩。但这里应强调指出的是，应该将因升沉振动及摇摆振动引起的倾倒力矩考虑进去。当然，在考虑时应根据风的方向进行具体分析。即应将与风及波浪力引起的倾倒力矩方向一致的升沉振动及摇摆振动的力矩考虑进去。这里不再详述。（三）拖航时自升式钻井平台桩腿的强度校核对于自升式钻井平台的桩腿来说，拖航时与钻井工作时不同的特点是拖航时不仅因桩腿上提，高出海面及平台甲板很多，而且它还承受除静弯矩以外的来自升沉振动及摇摆振动的动弯矩，因此拖航时必须按照下列方法对桩腿的强度进行校核。1拖航时桩腿承受的静弯矩静弯矩是指因桩腿本身重量，在平台拖航时摇摆发生摆角后，对固桩块处的弯矩，如图5-6所示。此静弯矩MS可写成 （5-27）2拖航时桩腿在固桩块处承受的最大总弯矩除静弯矩外，将升沉振动引起的动弯矩MI及横摇引起的动弯矩MIR以及风力引起的弯矩MW均考虑进去，则可得出总最大弯矩MTmax为 （5-28）将上面式（5-22）、（5-26）、（5-27）等代入，计算出MTmax，即可根据桩腿在固桩块处的横截面，进行强度校核。第二节 海上浮动钻井的升沉补偿一、升沉运动对浮动钻井的影响与补偿措施海上浮动钻井，试验半潜式钻井平台、钻井浮船、张力腿平台，平台或船随海浪升沉运动，给钻井工作带来一系列问题。必须采取措施加以补偿。（一）升沉运动对浮动钻井的影响当海上浮动钻井未采取对升沉运动的补偿措施时，则将产生下列影响：1大钩振动载荷引起钻柱载荷与井底钻压的变化悬吊钻柱的大钩随浮动钻井装置升沉振动，产生振动动载，引起钻柱的拉力产生周期性变化，因而使井底钻压不能保持稳定，这样将使牙轮钻头寿命降低。海上浮动钻井实践表明：钻头承受的冲击动载达钻压的1020%时，钻头寿命将降低27%，而升沉运动对钻柱载荷的影响，一般常在正常钻压的1520%，显然对钻头的寿命有着严重影响。2大钩振动位移影响下井器具在井筒内位置的变化大钩随浮动钻井装置升沉振动，产生振动位移，将使通过或直接悬吊在大钩上的下井器具随之周期性上下往复运动，给钻井工作的不同作用工况带来很多困难。（1）绳索作业 如借助钢丝绳或电缆等绳索，通过大钩，下入井内的测井器具、射孔器具、井壁取芯器等器具的位置，均周期性往复变化，对控制位置精确度，造成困难。（2）钻井特殊作业 如试油时下入井内的地层测验器的封隔器、打捞作业时下入井内的打捞工具；通过导向绳下入海底导向架上的防喷器组等水下设备，均将由于悬吊这些器具的大钩的往复振动，且造成在就位、找正或对准时的困难。3钻柱及套管的往复运动造成有关器具的磨损如不压井作业时，防喷器芯子封严，钻柱往复运动，加剧了防喷器芯子的磨损。下套管时，套管柱的周期性往复运动，增加了套管与井壁的摩擦。（二）海上浮动钻井的升沉补偿措施1增加伸缩钻杆这种办法是在钻柱的上方，增加一根可伸缩钻杆，如图5-7所示。采用伸缩钻杆补偿升沉运动后，仍存在以下问题：（1）井底钻压有钻铤所决定，不能在钻进过程中进行调节；（2）伸缩钻杆本身承受交变载荷，疲劳严重；（3）伸缩钻杆以上的钻柱仍有往复运动，造成作业困难。2增设钻柱升沉补偿装置这种办法一般常用的是在游动滑车与大钩之间装设一套钻柱升沉补偿装置（D.S.C）（Drilling String Compensation System）。如图5-8所示，其结构组成与工作原理已在第一章第二节做过介绍，不再重述。采用钻柱升沉补偿装置以后，由于补偿液缸内的液体阻尼以及机械摩擦，还有储能器上端气体体积变化引起气体及活塞下端液体压力的变化等因素，使大钩仍然产生少许振动位移，只是井底钻压仍有少量变化，不能做到完全补偿。因此装设钻柱升沉补偿装置后，仍应注意钻压的变化，使其保持在钻井工作允许的范围之内。3装设隔水管张紧绳及导向架的导向绳的张紧器海上浮动钻井时，为了保持隔水管及其张紧绳的恒张力，以使隔水管式中不受压力，需要解决隔水管张紧绳随平台升沉的补偿问题。同样，也需要解决海底导向架上的四根导向绳的随平台升沉的补偿问题。一般均采取装设隔水管和导向绳的张紧系统，如图5-9所示。这种对升沉运动的补偿办法，主要是采用了张紧器，张紧器的结构组成如图5-10所示。隔水管的张紧绳以及导向绳自安放在平台上的绞车引出，全都是首先通过张紧器上下两端的滑轮，然后在固定到隔水管上或是导向架上。张紧器上端滑轮为液缸内活塞杆及活塞所支持，借助调节储气罐气压，使储能器内活塞下端的液压与绳的张力相平衡，这样，当绳张力减少时，活塞及活塞杆则向外伸出直到平衡为止。而当绳的张力增大时，活塞杆及活塞又被推回，于是通过液缸内活塞及活塞杆的伸长及缩回使绳子放长或缩短，即可实现对升沉运动的补偿，从而保持隔水管及导向绳的恒张力。二、海上浮动钻井的钻压控制（一）正常钻井时设大钩上悬吊的钻柱总重量为Q，井底钻压为Wb，大钩载荷为Qb，若补偿缸中液体压力为pc，活塞的有效面积为Ap，则按照图5-11给出的受力分析图，取=0，即沿铅直方向的诸力合力为零，即可写出 （5-29）即 （5-30）式（5-30）中，L为钻柱的总长，q为每米钻柱重量。自式（5-30）可看出：当钻柱长度一定时，只要补偿液缸中压力不变即可使井底钻压Wb恒定保持。但若调节钻压时，则只要改变补偿液缸中压力，亦即调节储气罐内气压，即可实现适应地层的不同而随时调节钻压的目的。（二）自动送钻时若欲使用升沉补偿装置来进行自动送钻，则只需要调节补偿液缸中的压力pc。自式（5-29）可看出，当2pcAp略小于钻柱的悬重Q时，即钻柱即自动下放，直至下放补偿液缸的一个行程，液缸中活塞到达下死点后，又需将活塞通过液压推回到上死点，再继续送钻。三、升沉补偿装置的振动分析海上浮动钻井装置装设升沉补偿装置后，大钩处仍然有振动发生。因此，需建立升沉补偿装置的振动系统，分析计算其振动量参数。（一）建立动力学模型今将海上浮动钻井用的钻柱升沉补偿装置，看成如图5-12所示的动力学模型。假设如下：（1）质量集中 将整个钻柱的受拉部分看成是一个弹性体，将其质量及大钩等固定设备的重量WF均集中在大钩处，借助机械振动理论中的瑞利法，将钻柱的集中的相当重量看成是钻柱全部重量WDP的1/3，于是大钩处集中质量M可写成 （5-31）（2）刚度集中 刚度是弹性件产生单位变形所施加的外力，今将整个钻柱弹性体的刚度集中，刚度系数为K2，而将升沉补偿装置的液缸的液体与储能器中的气体，看成是一个无质量的弹簧，刚度集中，刚度系数为K1。（3）阻尼集中 阻尼是以数学型式描述阻尼力的一个系数，今将钻柱在井筒中的摩擦以阻尼系数C2代表，而将液体在补偿液缸及储能器中的摩擦的阻尼系数以C1代表。（4）边界假设条件 钻柱下端的钻铤及钻头在钻井时与井底连成一体，可看成为固定端；升沉补偿装置的顶端的液缸缸体可看成是激振位移作用之下的支承，且此激振位移x1，近似地忽略游动钢丝绳的影响，仍与浮动钻井装置随海浪的升沉位移一样假设成遵从简协运动规律即 （5-32）式中 Hc为考虑平台或船的吃水量以后折减的波高； 海浪的圆频率。根据上述假设，若只将升沉振动看成是主要影响因素，而忽略井底钻头振动的影响时，则即可将钻柱升沉补偿系统看成是一个自由度具有阻尼的两个弹簧并联的在激振位移作用之下的强迫振动系统。（二）受力分析按照上面图5-12所示的动力学模型图，自大钩处取出一个小单元。若大钩向上的位移为x2，平台的升沉位移向上为x1时，则其主要受力有：1.弹簧恢复力即弹性体受外力变形后，欲恢复变形的力。它应该等于变形量乘以刚度系数。这里有：（1）钻柱的弹簧恢复力 因大钩位移向上时钻柱被拉伸，此恢复力为压缩，应为负值，即；（2）补偿装置的液气弹簧恢复力 因液缸缸体位移向上时，缸内液体受压缩，故其恢复力为拉伸，应为正值。且其实际位移应为升沉位移x1与大钩位移的差值x2，即。2.阻尼力一般均将阻尼力看成是粘滞阻尼，它等于在液体中运动速度与粘滞阻尼系数的乘积。这里有：（1）钻柱的阻尼力 因钻柱随大钩向上运动，故阻尼力应与其运动方向相反，为负值，及；（2）液缸中液体的阻尼力 因液缸缸体随平台向上位移，缸内液体相对于液缸，向下运动，故液缸中液体的阻尼力与运动方向相反，应为正值，即。3.重力钻柱系统的集中质量M的重力，向下为负值；但因这个重力恰与此钻柱弹性体的静伸长的恢复力大小相等，方向相反，相互抵消，故在计算合力时可略去。（三）列出运动微分方程式根据动力学中的达伦贝尔原理，可得出整理后，又可写成 （5-33）式（5-33）是一个二阶常系数线性非奇次微分方程式。它就是钻柱升沉补偿系统的运动微分方程式。自式（5-33）可看出：这是一个激振位移作用下的一个自由度的有阻尼强迫振动系统。（四）确定大钩的振动位移自式（5-33）可看出，若浮动资金周转的升沉位移及M、C1、C2、K1、K2均为已知时，则解此微分方程式即可求得大钩的振动位移。这里拟给出欧拉（Euler）解n阶非奇次线性微分方程的方法。首先应用哥西（Cauchy）的导数记号，即令，于是式（5-33）即可写成为 （5-34）若令，则依式（5-34）可写出 （5-35）高等数学中的欧拉公式给出了在复数域中指数函数与三角函数的关系即 （5-36）式（5-36）表明：任何一个自然界的简谐振动的数学函数或均可以用一个指数函数来表达。这样不仅海上浮动钻井装置的升沉振动位移可用来表达，而且大钩的振动位移也可用来表达。但自的微分知于是哥西（Cauchy）的导数记号D即可写成为 （5-37）式（5-37）代入式（5-35）之后，即可写出 （5-38）由机械振动理论可知：两个串联的弹簧的固有频率及临界阻尼振动的临界阻尼比应分别为 （5-39） （5-40）式中 r阻尼系数； rc临界阻尼系数。将式（5-39）及式（5-40）代入式（5-38）中，又可写成 （5-41）自式（5-41）可看出其分子及分母均为复数。由高等数学知一个复数可以其模R（Modulus）来表示其大小，以其幅角（Argument）来表示其方向。因此例如式（5-41）的分子的复数，如图5-13所示，即可以其实部的平方与虚部的平方的和的开方来表示复数的大小。若式（5-41）的分子及分母的复数，均用模来表示，则T即可写成模比的形式 （5-42）再将式（5-32）代入式（5-42）即可得出 （5-43）自式（5-43）显见若升沉补偿装置本身的参数K1、K2、C1已知，而振动系统的参数，也已知，且海浪的圆频率及浮动钻井装置升沉位移HC均为已知，则自此式即可计算确定出大钩的振动位移x2。（五）确定井底钻压的变化量海上浮动钻井装置装设升沉补偿装置后，由于大钩仍有振动位移x2，因此井底钻压还会有变化量，而 （5-44）将式（5-43）代入式（5-44）后，可以计算出钻压变化量，还应根据钻压工艺要求，检验其是否在允许范围之内。四、升沉补偿装置的设计计算（一）储能器内气体体积的变化如图5-14所示，由于活塞下面的高压液体自液缸中压入及排出，使活塞上面的气体体积随之发生变化。若原来气体的平均体积V0，而由于活塞上升x距离后，气体体积减少到Vx则， （5-45）式中 Ap活塞的有效面积。（二）储能器内气体压力的变化根据气体的等温定律，可写出 （5-46）式（5-46）中：p0及px分别为储能器内活塞上部压力变化前后的数值。（三）液气弹簧的刚度K1的确定根据液气弹簧的恢复力应与储能器内压力改变的力相等的原理，即可写出 （5-47）将式（5-46）中的px及式（5-45）中的Vx代入到式（5-47）中，即可得出 即 （5-48）式（5-48）表明： （1）根据钻柱升沉补偿装置已有的数据V0、Ap及p0可以计算出液气弹簧的刚度K1。（2）借助式（5-44）根据钻井工艺允许的Wb，确定出，再依式（5-43）计算出K1值相比，以便合理选定或设计钻柱升沉补偿装置。（3）根据钻井工艺要求的Wb，依式（5-44）、（5-43）计算出K1值，然后运用式（5-48）来合理确定钻柱升沉补偿装置的Ap及V0等结构尺寸，进行结构设计。第三节 海洋石油浮动装备的动力响应及其影响一、升沉振动响应及其对所装设的起重机的影响一般在海洋钻采平台及钻井浮船以及供应船上均装有臂式起重机。浮动钻采装置上的起重机随甲板在海浪作用下升沉振动，且当自供应船上进行起重作业时，船亦有升沉振动；固定钻采装置上的起重机虽不做升沉振动，但因供应船在海面上随海浪升沉振动，因此当起重机自供应船上起吊或向供应船上放置重物时，起重机的吊钩仍要受升沉振动的影响。总之，无论是浮动钻采装置或是固定钻采装置均应研究升沉振动对所装设的起重机的影响。下面将分析起重机的吊钩的升沉振动位移及动载。（一）海洋钻采装置上的起重机的升沉振动响应1.建立动力学模型起重机的吊钩为通过臂架上的复滑轮系的钢丝绳所悬挂，另有变幅绳借助绳的放松或拉紧，来使臂架伸开或收起，以适应起吊操作的需要。起重机转台的旋转，可以使臂架及吊钩转到适合的工作位置。起重机的吊升系统的动力学模型如图5-15所示。其基本假设如下：（1）假设起重机的台座等主要构件刚度很大，不考虑其变形，忽略吊升过程中重物的摆动及空气阻尼。（2）重物质量M集中在振动系统的平衡位置，即坐标系原点O处。（3）通过臂架复滑轮系的钢丝绳被看成弹性体，其刚度为K2；而变幅机构，支承结构等也可看成是弹性体，其在垂直方向的等效刚度为K1。（4）假设吊钩下端为自由端，而上端为固定约束，但支承具有激振位移u。考虑此系甲板随海浪的升沉位移，可看成为正弦函数，即 （5-49）（5）起吊重物时，钢丝绳缠绕绞车，其位移为y；而此时因臂架受压缩短，致使变幅绳拉伸，相当于端点向下位移为z。基于上述假设，即可建立起一个无阻尼的两个弹簧串联的一个自由度的在激振位移作用之下的强迫振动系统的动力学模型。2.受力分析起重机的吊钩承受以下几种力：（1）弹簧恢复力 当重物起升x位移时，复滑轮系的n根钢丝绳的位移为nx，而钢丝绳缠绕绞车的位移为y，因而一根钢丝绳本身变形为（y-nx），故n根钢绳的弹簧恢复力应为正值，+K2(y-nx)n。（2）惯性力 应为重物的质量M与激振加速度的乘积，故取负值，应为。（3）重力 因与重物系统弹性体的静伸长的回复力抵消，故可不计。3.运动微分方程式根据立项中的达伦贝尔原理，即可列出 （5-50）设起重机的钢丝绳的缠绕速度为vL，缠绕时间为t，则 y=vLt （5-51）而 （5-52）将式（5-51）代入到式（5-50），并以M遍除各项，则可写出 （5-53）令 ， （5-54）则式（5-53）可写成 （5-55）4.吊钩的上床升沉振动位移解式（5-55）二阶常系数线性非奇次微分方程式后，即可得出吊钩的振动位移为 （5-56）式（5-56）的前两项为自由振动，经过一定时间，由于阻尼作用消失，因而当系统处于稳态时，就只有式（5-56）的最后一项，即 （5-57）将式（5-54）的及A代入式（5-57），并求出其最大值，则得出 （5-58）（二）海洋石油钻采装置上起重机吊钩的附加载荷1.吊钩附加动载的通式由于此附加动载系因吊钩的振动位移产生，而若悬吊吊钩的钢丝绳有n根，且其弹簧刚度为K2，则此附加动载 （5-59）将式（5-58）代入，即可得出最大附加动载QDmax为 （5-60）式（5-60）为计算起重机吊钩的动载最大值的通式，当不同作业工况时，还需视具体情况具体分析。2.下降制动工况时吊钩的附加动载具体分析如下：（1）初始条件 下降制动工况，正在下降时有速度v0，因此，当 时 ， （5-61）（2）吊钩的振动位移 自式（5-56）知吊钩的振动位移的通式为运用初始条件，将式（5-61）代入式（5-56）中，则可确定出系数A和B为 （5-62）将式（5-62）代入式（5-56），并取最大值，则可求得最大振动位移 （5-63）（3）吊钩的附加动载 将式（5-60）代入式（5-56）的x，则可求得下降制动工况时吊钩附加动载QBDmax为 （5-64）3.加载起吊工况时吊钩的附加动载自供应船上起吊重物，当重载突然加到吊钩上时，将产生最大动载。而且若当浮动钻采装置随海浪以最大速度上升，而供应船以最大速度下降时，加载起吊的动载最大。现分析这种复杂工况如下：（1）运动微分方程式的特点 因考虑供应船的运动，列运动微分方程式时，除承受式（5-50）中的几项力外，还应作用有供应船甲板给吊钩的力R，而重物的重力，这是假设在挂钩过程中，经过时间T，且加载时服从线形规律，如图（5-16）所示。即开始t=0时，Q=0，尔后达到t=T时，Q=Q0，显见R力的有无与大小是与所取时间t大于等于还是小于时间T有关。例如当tT时，则重物已脱离供应船甲板，即应R=0，而且此时Q=Q0=Mg。（2）重物起吊挂钩开始离开甲板时的振动位移 按照上述分析，用同样方法列出运动微分方程式后，求解即可得出振动位移为 （5-65）式（5-65）中 vs为供应船相对于起重机臂架的速度，方向向下为正。而式中的B及A应分别为 ， （5-66）（3）起重起吊挂钩时吊钩的附加最大动载 考虑到加载时间T越短，动载荷越大，而当T趋于0时， （5-67） （5-68）将式（5-67）（5-68）代入式（5-65）中，并取最大值，得出 （5-69）按照式（5-59）即可求得吊钩的附加最大动载QBDmax为 （5-69）这里应该指出的是式（5-64）及式（5-70）所求得的动载，均系吊钩上的附加动载。而吊钩上承受的总的动载，均应再加上静载Mg。式（5-64）及式（5-70）均表明应注意使系统的固有频率0与海浪的圆频率避开，以防发生共振。二、海洋石油钻采装置水平方向的动力响应海上浮动钻井和采油装置一般均用锚泊系统定位，抛锚于海底，借助锚链的拉力，保持浮动钻采装置的定位。当浮动钻采装置在海浪等动力作用下产生水平方向的位移时，则锚链的拉力将引起变化。今一多点系泊的浮动装置为例分析锚链的受力情况。（一）锚链的静力分析如图5-17所示，锚链的拉力为T，若在锚链上取一小段ds，而此小断的拉力变化为dT，锚链ds段上的阻力的正压力为Dds，切线方向ds段上的摩擦力为Fds，单位长度的重力在ds段上者为Pds，锚链与海浪速度v的方向的夹角为，而是经过ds段后角的改变量。则可列出其静力学平衡方程式，并分析其静力如下：1.锚链拉力的水平分力如图5-17所示，取与ds段正交方向的分力的和为零，则可列出静力的平衡方程式为 （5-71）若近似地看成 则式（5-71）又可写成 （5-72）同样，取与ds段成切线方向的诸力的分力之和为零，则可写出 （5-73）或即 （5-74）由于锚链很重，因而在三个力中重力PD和F，重力占主导地位，D及F力可以忽略。于是式（5-72）、（5-74）即可写成 （5-75） （5-76）将式（5-75）与式（5-76）相除，即可得出 （5-77）若自至取积分，则可写出 （5-78）此处T0系初始时时锚链上的拉力自式（5-78）可得 （5-79）显见锚链的水平拉力等于一个常数T0，因为T0是在坐标原点，即时锚链上的拉力，如图5-17所示，若抛锚处并非座标原点，即锚链不与海底相切，则如图5-18所示，。2. 锚链拉力的铅直分力将式（5-79）代入式（5-75）中，则可得出 （5-80）按照上面同样方法，取式（5-80）的两边积分，则可得出 （5-81）将式（5-79）代入式（5-81）中，即得到 （5-82）式（5-82）表明：锚链拉力的铅直分力Tv等于锚链在水中的重量，但锚链的长度是自原点至点。3.锚链的拉力设在锚链的任一点处的锚链拉力为T，则得 （5-83）分别将式（5-82）及式（5-79）代入式（5-83），又可写成 （5-84）4.锚链上任一点的座标的确定可分别确定如下：（1）横坐标x 由于 （5-85）而自式（5-79）知 （5-