数学教学中培养学生的否定意识.pdf

数学教学中培养学生的否定意识 俞 昕 浙江省湖州市第二中学 313000 1 问题的提出 法国著名文学家雨果说过 科学向前推进 也就不断地把自己勾销 对科学研究 当然也包 括数学研究 而言 否定意识是非常重要的 笔者 所指的否定意识主要归结为 如果不是的话 那么 会怎么样呢 这句话说来简单 但要真正做到却 实属不易 从广义的范围来讲 做到勇于否定权威 是需要勇气与非凡创造力的 如果缺乏否定意识 爱因斯坦就不会在建立了狭义相对论后进而又建 立了意义更大的广义相对论 如果缺乏否定意识 就不会有非欧几何的产生 非欧几何的创始人罗 巴切夫斯基 高斯与波约尔采用的基本数学思想 就是 如果不是的话 那么会怎么样呢 他们用与 欧几里得第五公设相反的断言 通过直线外一点 可以引至少两条直线平行于已知直线 作为代替 公设 由此出发进行逻辑推理而得出一连串新几 何学的定理 罗巴切夫斯基明确指出 这些定理并 不包含矛盾 因而它的总体就形成了一个逻辑上 可能的 无矛盾的理论 这个理论就是一种新的几 何学 非欧几里得几何学 非欧几何从发现到 获得普遍接受 经历了曲折的道路 罗巴切夫斯基 终其一生努力没有实现这个目标 由此可见 数学 研究中 否定意识的确立不仅具有划时代的意义 而且其道路是艰难曲折的 人类对客观世界的认 识并不是若干正确理论的简单相加 更不是某一 正确理论的反复证实 而是在证实 证伪 新的 证实 新的证伪的曲折过程中螺旋式前进的 要 想有所发现有所创造 对前人的学说和理论还必 须要有 不唯上 不唯书 只唯实 的辩证唯物主义 态度 自觉形成一种多问一个为什么的否定意识 笔者在这里主要是针对在高中数学学习中 从狭义的范围来讲的否定意识 美国学者布朗和 沃尔特在对美国大学生和大学预科生提出问题进 行研究时发现 提出数学问题的一个很有用的方 法就是通过对原有问题的条件和限定进行思考而 自由改变来产生新问题 即所谓的 否定假设法 what if not 他们在 提出问题的艺术 中对 否定假设法 的具体原则作了以下阐述 1 确定 出发点 这可以是已知的命题 问题或概念 2 对 所确定的对象进行分析 列举出它的各个属性 3 就所列举的每一属性思考 如果这一属性不是 这样的话 那它可能是什么 4 依据上述对于 各种属性的分析提出新的问题 5 对所提出的新 问题进行选择 笔者考虑的问题是 在高中数学教 学中如何正确地培养学生的否定意识 从而提高 学生在数学学习过程中提出问题与解决问题的能 力 在解决数学问题的过程中 一个独创性的数学 问题的重建离不开数学问题的提出 与此同时 学 生常常是在他们产生和分析一系列相关的新的数 学问题时 才会理解和欣赏解决数学问题的方法 2 否定假设法 在数学教学中的应用 笔者曾经试图将 否定假设法 运用到高中数 学课堂教学中 创设各种问题的情境 引导与鼓励 学生积极启动数学思维能力 开启学生对数学知 识与数学问题的 否定意识 从而增强学生提出 问题与解决问題的意识 2 1 否定意识有助于学生发现新的数学知识与 理论 数学的发展就是在肯定 否定 肯定 否定 这样的过程中发展与壮大的 根据历史相似 性理论 学生的数学学习在某种程度上也是遵循 这样的过程的 案例 1 虚数的学习 虚数的引入对学生而言存在困难 从历史的 492010 年 第 49 卷 第 4 期 数学通报 角度分析 从 16 世纪卡丹和邦贝利开始应用虚数 到 19 世纪虚数逐渐被人接受 整整经历了三百多 年的漫长岁月 最终他们也是通过几何解释才说 服自己接受这些虚无缥缈的数 如果在课堂教学 中仅仅是简单地给出虚数单位 i 学生就会对为何 要引入这一 本来就不存在 的数一头雾水 笔者 觉得虚数的教学是一个非常好的培养学生否定意 识的契机 以下是笔者的教学设计片段 1 负数的引入 16 17 世纪帕斯卡认为从 0 减去 4 是纯粹的胡说 帕斯卡的朋友阿润德提出 一种有趣的说法来反对负数 他说如果 1 1 1 1 那么较小数与较大数的比怎么等于较大 数与较小数的比呢 英国著名代数学家德 摩根 在 1831 年仍认为负数是虚构的 他用以下的例子 说明这一点 父亲 56 岁 其子 29 岁 何时父亲的 年龄将是儿子的 2倍 他列方程 56 x 2 29 x 解得 x 2 他称此解是荒唐的 但我们现在 不妨可以这样想 当时减法是只能适用于较大数 减去较小数 如果不是较大数减去较小数 而是较 小数减去较大数 那结果会如何呢 这就引发我 们去思考是否还存在正数以外的其他的数呢 随 着 19 世纪整数理论基础的建立 负数在逻辑上的 合理性才真正确立 2 无理数的引入 毕达哥拉斯将数学知识运 用得纯熟之后 觉得不能只满足于用来算题解题 于是他试着从数学领域扩大到哲学 用数的观点 去解释一下世界 经过一番刻苦实践 他提出 万 物皆数 的观点 世界上的一切东西 都可以相互 用数字直接准确地表达出来 但我们现在不妨可 以这样想 如果有些物质无法用数字直接准确地 表达出来 但它们又确实客观存在 那结果又会如 何呢 当时人们确实发现等腰直角三角形的直角 边无法去量准斜边 而且圆的直径也无法去量尽 圆周 那数字是 3 141 592 653 589 793 238 462 6 还有一些无限的不能循环的小数 这确实是一 种新发现的数 无理数 3 让学生考虑 是否可能把 10 分成两部分 使它们的乘积等于 40 时 学生会将问题转化为 解一元二次方程 x 2 10 x 40 0的问题 运用判 别式得出此方程无实数解 但我们现在不妨可以 这样想 如果这个方程有解 并且我们赋予 60 某种意义的话 那结果又会如何呢 4 己知 x 2 y 2 2 xy 2 求 x y x的值以及y 的值 在 中 我们看到 x y 是 存在的 但 x 和y 却没有实数解 x y 的存在使 得我们没有理由怀疑x 和 y 的存在 但此时的 x 和y 却不是实数 那么 它是一种什么样的数呢 让我们还原 x 和y 的真面目 将 x y 6代入 xy 2 我们可以看出 x 和 y 都可以看成一个一 元二次方程的根 但在实数范围内 此方程是无解 的 看来 x 和y 是存在的 但它们都不是实数 要 解决这个问题 必须引入新数 而问题的关键在 于 当判别式小于零时 方程的根该如何表示 请 学生们相互交流讨论 并思考 如果我们把负数 的平方根也看作一个新的数 试用求根公式表示 方程 x 2 10 x 40 0 与 x2 6x 2 0 的根 当 b 0 外的 一点 过点 Q 引 椭圆的两 条切线 设切 点为 A x1 y1 B x2 y2 则 A B 的方程为mx a 2 ny b 2 1 又得结论 8 若点 Q m n 是双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 a 0 b 0 外的一点 过点 Q 引双曲线的两条 切线 设切点为 A x1 y1 B x2 y2