2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学2卷.pdf

1 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 课标 卷文科 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合M x 3 x 1 N 3 2 1 0 1 则M N A 2 1 0 1 B 3 2 1 0 C 2 1 0 D 3 2 1 2 2 1i A 2 2 B 2 C 2 D 1 3 设x y满足约束条件 10 10 3 xy xy x 则z 2x 3y的最小值是 A 7 B 6 C 5 D 3 4 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知b 2 6 B 4 C 则 ABC的面积为 A 2 3 2 B 3 1 C 2 32 D 3 1 5 设椭圆C 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 P是C上的点 PF2 F1F2 PF1F2 30 则C的离心率为 A 3 6 B 1 3 C 1 2 D 3 3 6 已知 sin 2 2 3 则 2 cos 4 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 7 执行下面的程序框图 如果输入的N 4 那么输出的S A 111 1 234 B 111 1 23 24 3 2 C 1111 1 2345 D 1111 1 23 24 3 25 4 3 2 8 设a log32 b log52 c log23 则 A a c b B b c a C c b a D c a b 9 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到的正视图可以为 10 设抛物线C y 2 4x 的焦点为F 直线l过F且与C交于A B两点 若 AF 3 BF 则l的方程为 A y x 1 或 y x 1 B 3 1 3 yx 或 3 1 3 yx 2 C 3 1 3 yx 或 3 1 3 yx D 2 1 2 yx 或 2 1 2 yx 11 已知函数f x x 3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x0 R f x0 0 B 函数 y f x 的图像是中心对称图形 C 若 x0 是 f x 的极小值点 则 f x 在区间 x0 单调递减 D 若 x0 是 f x 的极值点 则 f x0 0 12 若存在正数x使 2 x x a 1 成立 则 a的取值范围是 A B 2 C 0 D 1 第第 卷卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 从 1 2 3 4 5 中任意取出两个不同的数 其和为 5 的概率是 14 已知正方形ABCD的边长为 2 E为CD的中点 则AE BD 15 已知正四棱锥O ABCD的体积为 3 2 2 底面边长为3 则以O为球心 OA为半径的球的表面 积为 16 函数y cos 2x 的图像向右平移 2 个单位后 与函数y sin 2 3 x 的图 像重合 则 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1的中点 3 19 本小题满分 12 分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1 t 该产品获利润 500 元 未售出的产品 每 1 t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图 所示 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度 内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 1 将T表示为X的函数 2 根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系xOy中 已知圆P在x轴上截得线段长为2 2在y轴上截得线 段长为2 3 1 求圆心P的轨迹方程 2 若P点到直线y x的距离为 2 2 求圆P的方程 21 本小题满分 12 分 已知函数f x x 2e x 1 求f x 的极小值和极大值 2 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x轴上截距的取值范围 4 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且BC AE DC AF B E F C四点共圆 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知动点P Q都在曲线C 2cos 2sin xt yt t为参数 上 对应参数分别为t 与t 2 0 2 M为PQ的中点 1 求M的轨迹的参数方程 2 将M到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断M的轨迹是否过坐标原点 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ca 1 3 2 222 abc bca 1 5 20201313 年普通高等学校统一考试 年普通高等学校统一考试 课标 课标 卷 卷 数学 数学 文文科 科 参考答案参考答案 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 答案 答案 C 解析 解析 由题意可得 M N 2 1 0 故选 C 2 答案 答案 C 解析 解析 2 1i 1 i 2 1i 1 i 2 3 答案 答案 B 解析 解析 如图所示 约束条件所表示的区域为图中的阴影部分 而目标函数可化为 2 33 z yx 先画出l0 y 2 3 x 当z最小时 直线在y轴上的截距最大 故最优点为图中的点C 由 3 10 x xy 可得C 3 4 代入目标函数得 zmin 2 3 3 4 6 4 答案 答案 B 解析 解析 A B C 7 6412 由正弦定理得 sinsin ab AB 则 7 2sin sin 12 62 sin sin 6 bA a B S ABC 112 sin 2 62 31 222 abC 5 答答案 案 D 解析 解析 如图所示 在 Rt PF1F2中 F1F2 2c 设 PF2 x 则 PF1 2x 由 tan 30 2 12 3 23 PFx FFc 得 2 3 3 xc 而由椭圆定义得 PF1 PF2 2a 3x 3 3 2 axc 3 33 cc e ac 6 答案 答案 A 解析 解析 由半角公式可得 2 cos 4 6 2 1 cos 2 1 1 sin212 3 2226 7 答案 答案 B 解析 解析 由程序框图依次可得 输入N 4 T 1 S 1 k 2 1 2 T 1 1 2 S k 3 1 3 2 T S 11 1 23 2 k 4 1 4 3 2 T 111 1 23 24 3 2 S k 5 输出 111 1 23 24 3 2 S 8 答案 答案 D 解析 解析 log25 log23 1 log23 1 2 1 log 3 2 1 log 5 0 即 log23 1 log32 log52 0 c a b 9 答案 答案 A 解析 解析 如图所示 该四面体在空间直角坐标系O xyz的图像为下图 则它在平面zOx的投影即正视图为 故选 A 10 答案 答案 C 解析 解析 由题意可得抛物线焦点F 1 0 准线方程为x 1 当直线l的斜率大于 0 时 如图所示 过A B两点分别向准线x 1 作垂线 垂足分别为M N 则由抛 物线定义可得 AM AF BN BF 设 AM AF 3t t 0 BN BF t BK x 而 GF 2 在 AMK中 由 NBBK AMAK 得 34 tx txt 解得x 2t 则 cos NBK 1 2 NBt BKx NBK 60 则 GFK 60 即直线AB的倾斜角为 60 斜率k tan 60 3 故直线方程为y 3 1 x 当直线l的斜率小于 0 时 如图所示 同理可得直线方程为y 3 1 x 故选 C 7 11 答案 答案 C 解析 解析 若x0是f x 的极小值点 则y f x 的图像大致如下图所示 则在 x0 上不单调 故 C 不正 确 12 答案 答案 D 解析 解析 由题意可得 1 2 x ax x 0 令f x 1 2 x x 该函数在 0 上为增函数 可知f x 的值域为 1 故a 1 时 存在正数x使原不等式成立 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 答案 答案 0 2 解析 解析 该事件基本事件空间 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共有 10 个 记A 其和为 5 1 4 2 3 有 2 个 P A 2 10 0 2 14 答案 答案 2 解析 解析 以 AB AD 为基底 则0AB AD 而 1 2 AEABAD BDADAB 1 2 AE BDABADADAB 22 22 11 222 22 ABAD 15 答案 答案 24 解析 解析 如图所示 在正四棱锥O ABCD中 VO ABCD 1 3 S正方形ABCD OO1 1 3 2 3 OO1 3 2 2 8 OO1 3 2 2 AO1 6 2 在 Rt OO1A中 OA 22 11 OOAO 22 3 26 6 22 即6R S球 4 R 2 24 16 答案 答案 5 6 解 析 解 析 y cos 2x 向 右 平 移 2 个 单 位 得 cos 2 2 yx cos 2x sin 2 sin 2 22 xx 而它与函数 sin 2 3 yx 的图像重合 令 2x 2 2x 3 2k k Z Z 得 5 2 6 k k Z Z 又 5 6 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 设 an 的公差为d 由题意 2 11 a a1a13 即 a1 10d 2 a 1 a1 12d 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 d 2 故an 2n 27 2 令Sn a1 a4 a7 a3n 2 由 1 知a3n 2 6n 31 故 a3n 2 是首项为 25 公差为 6 的等差数列 从而Sn 2 n a1 a3n 2 2 n 6n 56 3n 2 28n 18 1 证明 BC1 平面A1CD 2 设AA1 AC CB 2 AB 2 2 求三棱锥C A1DE的体积 解 1 连结AC1交A1C于点F 则F为AC1中点 又D是AB中点 连结DF 则BC1 DF 因为DF 平面A1CD BC1平面A1CD 所以BC1 平面A1CD 2 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以AA1 CD 由已知AC CB D为AB的中点 所以CD AB 又AA1 AB A 于是CD 平面ABB1A1 由AA1 AC CB 2 2 2AB 得 ACB 90 2CD 1 6AD 3DE A1E 3 故A1D 2 DE2 A 1E 2 即 DE A1D 所以VC A1DE 11 632 32 1 19 解 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39 000 当X 130 150 时 T 500 130 65 000 9 所以 80039000 100130 65000 130150 XX T X 2 由 1 知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为 0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0 7 20 解 1 设P x y 圆P的半径为r 由题设y 2 2 r2 x2 3 r2 从而y 2 2 x2 3 故P点的轨迹方程为y 2 x2 1 2 设P x0 y0 由已知得 00 2 22 xy 又P点在双曲线y 2 x2 1 上 从而得 00 22 10 1 1 xy yx 由 00 22 00 1 1 xy yx 得 0 0 0 1 x y 此时 圆P的半径r 3 由 00 22 00 1 1 xy yx 得 0 0 0 1 x y 此时 圆P的半径3r 故圆P的方程为x 2 y 1 2 3 或 x 2 y 1 2 3 21 解 1 f x 的定义域为 f x e xx x 2 当x 0 或x 2 时 f x 0 当x 0 2 时 f x 0 所以f x 在 0 2 单调递减 在 0 2 单调递增 故当x 0 时 f x 取得极小值 极小值为f 0 0 当x 2 时 f x 取得极大值 极大值为f 2 4e 2 2 设切点为 t f t 则l的方程为y f t x t f t 所以l在x轴上的截距为m t 2 23 22 f tt ttt f ttt 由已知和 得t 0 2 令h x 2 x x x 0 则当x 0 时 h x 的取值范围为 2 2 当x 2 时 h x 的取值范围是 3 所以当t 0 2 时 m t 的取值范围是 0 2 23 综上 l在x轴上的截距的取值范围是 0 2 23 请从下面所给的 22 23 24 三题中选定一题作答 并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑 按所涂题号进行评分 不涂 多涂均按所答第一题评分 多答按所答第一题评分 22 解 1 因为CD为 ABC外接圆的切线 所以 D