高中数学变式探索学习模式的研究.pdf

数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期 高中数学变式探索学习模式的研究 陈宏 浙江永康市教育局教研室3 2 1 3 0 0 1 学习模式的内涵及特点 所谓 变式探究学习模式 就是在教师的指导 下 以 问题 为载体 为基本探究内容 以学生自 主学习和合作讨论为前提 以变式为主要学习手段 为学生提供充分自由表述 质疑 探讨问题的机会 强调多向互动 教学相长的一种崭新的教与学的操 作体系 具体地说 就是教师在科学的教育理论指导 下 借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题的 编拟手法 有目的的将 变式 的思想引人到中学数 学的解题教学中来 对数学问题作多层面 多角度的 变式与探究 有意识地引导学生从 变 的现象中发 现不变的本质 从 不变 中探求规律 将教学活动 改造为开放 宽松 愉悦 和谐的师生探究与合作交 流的过程 逐步培养学生灵活多变的创新思维品质 完善学生的认识结构 提高学生发现问题 解决问题 和探索创新的能力 实现主动发展 并从中 感悟到科 学研究的基本策略和方法 得到科学思想的熏陶 本学习模式的课堂教学特别重视培养学生的 问题意识 发展学生的创新思维能力 力图通过变式 和自 我探究引导学生学会学习和掌握科学方法 为 终身学习和工作奠定基础 教师是教学内容 过程 活动的组织者 参与者和积极的评价者 是学生学习 的引导者 帮助者 其任务是调动学生的积极性 促 使他们自己去获取知识 发展能力 做到自 己能发现 问题 提出问题 分析问题 解决问题 教师要为学生 的学习设置探究的情境 建立探究的氛围 促进探究 的开展 把握探究的深度 评价探究的成败 学生作 为课堂学习的主体 自 然是根据教师提供的条件 明 确探究的思路 交流探究的内容 总结探究的结果 由 此可知 本学习模式是教师和学生双方都参与的 学习活动 与传统的课堂教学相比 它更能提高师生 的综合素质 2 学习模式的环节及实践 2 1 变式探究学习模式 在课堂教学实施中可具 体分为如下三个基本环节 归纳综合 合作交流 拓展创新教学环节 变式探究 问题意识 提高素质 培养能力目标取向 1 创设情境提出问题 通过创设一定的情境 帮助学生主动地投人后 来的探究过程之中 由于高中学生已具有一定的抽 象思维能力 他们会通过感知材料 积极思考 带着 富有挑战和价值性的问题参与学习过程 怀着一定 程度的好奇心和求知欲 这正是问题意识的萌芽 也 是探究活动的开始 教学中教师精心设置问题情境 帮助学生主动地投人到教学活动中去 为学生接下 来的自 主探究学习作好铺垫 引导学生将客观的知 识转化为主观的知识 这应是一个由教师具体引导 到学生独立发现和提出问题的渐进过程 2 合作交流变式探究 关于 变式 在具体实施时教师应牢牢把握 变 式 的三个 度 问题的变式难度要有 递度 要 循序渐进 不可 一步到位 否则会使学生产生畏难 情绪 影响问题的探究 解决 降低学习效率 问 题变式的数量要 适度 不能多多益善 否则造成题 海 必定会引起学生的反感 要创设变式情境 提 高学生的 参与度 唤起学生的求知欲 否则会导致 高投人 低产出 事倍功半的教学效果 关于 合作 教学时要充分体现学生主体参与 的作用 让学生在教师的指导下 对问题进行独立探 究 挖掘问题的变式 教师应对学生的每个好奇心和 探究结果 哪怕是错误的 都要加以赞赏 并适时地 引导学生对此进行更深层次的 探讨 促使课堂多 2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报 向互动 师生 生生 群体等 局面的形成 这是教学 取得成功的基本条件之一 课堂上教师应更多地为 学生创设一种民主 宽松 和谐和探究氛围 营造出 教师 学生 及 学生 学生 间自由交流 平等合作的环境 3 归纳综合拓展创新 学生运用探究成果解决问题和提出新的问题 其目 的在于发展稳定 清晰的新认识结构 进行知识 整合 以达到完全的意义建构 提高创新能力 教师 要再创设教学情境 作出示范 指导学生做进一步的 深层探究 开发学生的潜能 发展学生的创新个性 为此 教师要适时地引导学生对共同探究的成果进 行归纳 提升和评价 还应根据不同的学习内容 目 标及学生的实际情况 给学生留下适当拓展 延伸的 空间和时间 使学生的思维从课内延伸到课外 使课 堂的探究活动得以延续 2 2 课堂实践实录 题 屏 幕 显 示 在 椭 圆 x 2 某 I 上 求 一 点 夕 u 升 1 产 4 5 2 0 一 一 尸 使它与两焦点F l F 2 的连线相互垂直 满足题中条件的点 尸 是不存在的 师 答得非常 有条理 顺便问 一问 F P F 2 的面 积是多少 生 答2 0 教师板书 0 F P F 2 的面积是2 0 师 如果我们把点 尸也看作题中的一个条件 那么本题共有几个条件 生 3 个 分别是 1 P F 土P F 2 P 3 4 等 环节2 变式探究合作交流 1 教师引导 如果我们互换这些条件在原题中的位置 那么 结果如何 如果满足题中条件的点 尸是存在的 那 么离心率 又有什么限制呢 屏幕显示 探究 I 设椭圆A l 兮J 荔 二 1 上 一 点 P 3 4 F 凡是椭圆的 两个焦点 试求 F P F 2 的 度数 探究 两个焦点 围 2 设 点 P 是 椭 圆 琪 买二 I 上 一 点 它 与 a0一 F F 2 的 连线互相垂直 试求 的取值范 这是人教版全日 制普通 高级中学教科书数学第二册 上 上的一道很简单 内容 却十分丰富的习题 如果这 道习题的教学仅局限于就题 论题 形成教学封闭 就难以 发展学生的思维能力 教师的可贵之处就是在于他 没有把它作为本习题教学的终结 而是把它视为学 生思维创新的开始 为此 就有如下师生间的交流合 作 环节 I 提出问题创设情景 师 从图中看 点 尸可以看成什么曲线与已知 椭圆的交点 生 马上举手发言 以原点为圆心 半焦距 5 为半径的圆与已知椭圆的四个交点 师 很好 同学们再想一想 满足题中条件的点 尸是否对任意的椭圆都存在 生 片刻思考后 就有学生举手发言 从图中 可以发现 教师板书 并且多媒体演示圆与椭圆相 交 相切 相离的情况 如果用交点数来代替 尸点 的个数 那么当 b 时交点数为4 当 二b 时交点 数为2 当 b 时交点数为0 也就是说 当 0 上一点 它与两个焦点F 凡的连线互相垂直的充 要 条 件 是 二 鳄二 b 上一点 它与两个焦点F 凡的 连线所成的 角 L F P F 那 么 F P F 2 的 面 积 为 b 2 ta n 粤 产 J 一 1 一 r 一 1 11 一 一 2 在变式探究过程中 不失时机引导学生借助观 察 比较 归纳的方法 对不断地出现的新现象 提出 可供学生课后探究的问题 如 比 较发现 当L F P F 2 二6 0 0 时 S p F P F 二 2 0 招 u 全V J 当乙F P F 二9 0 0 时 S o 二 2 0 3 一 一 且 2一 一 介 r r r 一 一 思 考 屏 幕 显 示 当 尸 点 在 椭 圆 x 2 然 一 二一 1 产 一 川一 4 5 4 5 2 0一 上运动时 点P 与两焦点F l 凡构成的 三角形面积 有最大值吗 此时的尸点在何处 观察发现 利用多媒体演示 当点 尸在椭圆 第一象限 上运动 即当 点P 从A 点向B 点运动 时 L F P F 2 从锐角变到直角再变到钝角的 过程 而 L F P F 2 二9 0 0 时点P 的 横坐 标为3 第一象限 于 是有 环节3 归纳拓展综合创新 在归纳评价的基础上 根据实际需要 教师还可 对本习题继续进行变式 让学生充分运用课余时间 作更深人的探究 师 利用多媒体演示图形的演变过程 边演示 边提问 如果我们把原题中的焦点换成长轴的两端 点 又把长轴改成过焦点的任意一条直径 再把任意 一条直径改成过焦点的任一条弦 那么其结果又将 如何 作为课后思考 屏幕显示 变式 1 椭 圆 a 2 莽 1 二 0 上 存 在 一点P 使P 与此椭圆 长轴两端点A 1 A 的 连线互相 垂直的充要条件是什么 变 式 2 椭 圆 纂 莽 1 二 0 上 存 在 一点 P 使 P与此椭圆任意一条直径两端点A B的 连线互相垂直的充要条件是什么 变 式 设 A B 为 椭 圆 孚 的一条焦点弦 则在椭圆上求一点尸 角的充要条件是什么 1 a b 0 使L A P B 为直 师 将上述所有变式题中的椭圆方程改为双曲 线方程今 伟 一 y 2 二1 其余条件保持不变而得到的 题 思考2 屏幕显示 设F l 凡是椭圆 1 的两个焦点 点P 在椭圆 上运动 使艺F l P F Z 为锐 角或钝角时 点 尸的横坐标的取值范围是什么 目 作为书面作业 让学生带着问题轻松步人课堂 在偷快且又适 度紧张中 学习 探究 又要让学生带着新的 更高层 次的问题走出课堂 在自由自 在中研究 学习 发 展 这是本学习模式课堂教学的理想化追求 也是 本课题研究的出发点和归宿 3 学习模式的实施关健 3 1 选好 原题 本学习模式实质是高中数学课堂 探究学习 活动的一种组织形式 自 然 主要是围绕某数学问题 即原题 而展开的 问题是载体 因此实施中选好 原题犹为重要 可以这么说 并不是所有的习题都适 合本模式使用的 原题的选择应取材于最普通 最常 见的习题 学生都能接受 不宜过难 所选的原题要 注意知识的横向联系 具有延伸性 可进一步一题多 变 对原题的解法不宜技巧性过高 应讲究通性通 法 即能用基本知识 基本方法加以解决 3 2 理解 变式 在学习中 我们以为本学习模式教学不仅仅是 2 0 0 7 年第4 6 卷第1 期数学通报 一个组合问题的解法 朱丽强 江苏省通州高级中 学2 2 6 3 0 0 问题在某次数学测验中 学号为i i 1 2 3 4 的四 位同 学的 考试成绩f i E 8 5 8 9 9 0 9 1 9 5 9 9 1 且满足f l f 2 f 3 f 4 则这四 位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 A 1 5 种B 1 1 2 种 C 1 2 6 种D 1 3 2 种 此类问题常见于高三的复习资料中 一般同学 解这个问题多用分类讨论法 即 讨论 f 1 f 2 簇f 3 f 4 中 取 的 次数 解若 二 出现三次 则 C 6 6 种情况 若 出 现二次 则诱此二 4 5 种情况 若 二 出 现一 次 则C C 33 6 二6 0 种情况 若 二 没有出现 则C 46 二 1 5 种情况 故共有6 4 5 6 0 1 5二1 2 6 种情况 所 以答案选C 其实这个问 题实质为 从6 个不同 元素 1 2 3 4 5 6 成绩只是与同学的学号起对应作用 故可这 样处理 中 取出4 个可重复元素的取法数 我们可用 对应法 设计新数组 使其 散开 以化为普通组 合问 题求解 设f 1 f 2 f 3 f 4 为符合条件的 一组数 令 f 1 f 1 f 2 二 f 2 1 f 3 f 3 2 f 4 二 f 4 3 于 是两组数f 1 f 2 f 3 f 4 与f 1 f 2 f 3 f 4 之间一一对应 新数组 个数恰是从 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中取出4 个数的普 通组合有瞬二1 2 6 种取法 所以 这四 位同 学的 考试 成绩的所有可能情况的种数为1 2 6 种 下面将此问题推广到一般情况 在某次数学测验中 学号为 i i 二1 2 3 r 的r 位同 学的 考试成绩f i E 3 1 2 n 一1 司 且 满足f 1 f 2 f r 一 1 f r 求这 r 位同学的考试成绩的所有可能情况的种数 设f 1 f 2 f r 一 1 f r 为 从 1 2 n 1 司取出的 一组数 且满足f 1 f 2 f r 一 1 f r 令f 1 二f 1 f 2 f 2 1 f 3 二 f 3 2 f r 二 f r r 1 则两组数 f 1 f 2 f r 一 1 f r 与f 1 f 2 f r 一 1 f 之间 一一对应 且f 1 f 2 f r 1 f r 中 任意两个数不相等 为普通组合 所以 满 足条件的 情况数有C rM 卜 种 数学问题的变式 解题法也要 变式 这样才能持久 地保持和维持学生的 探究 热情 更进一步地 我 们还应把 变式 升华为教师教学方式和学生学习 方式的转变 即教育理念的更新 只有这样才能真正 显露出本学习模式教学的优越性 3 3 开放 时空 由于学生在自主探究过程中有极强的不确定 因素 要使学生在课内完成 应用 理解 形 成技能 培养创新能力 的认知过程 时间是非 常紧迫的 这就要求本学习模式教学具有 开放的教 学时间 包括课前 课内和课外 此外 学生的 学习 过程应具有交互性 即教学中学生和教师的空间必 须是开放的 有利于师生 生生之间进行必要的科学 交流 这就要求我们的教学环境必须是