材料力学第二章习题课.pdf

第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 by 孟礼成 24th Feb 2012 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 剪力图与弯矩图作图提示 1 明确各力学量之正负明确各力学量之正负 1 外载与约束反力之正负 外载与约束反力之正负取决于设定的正方向 同向为正 反向为 负 q qj 2 e qa Mk i j k 0q 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 i j k q qj 2 e qa Mk 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 2 剪力 Shear Force 与弯矩 Bending Moment 之正负如图所示 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 2 分布力与剪力分布力与剪力 弯矩的关系弯矩的关系 2 2 s s dF q x dx dM x Fxm x dx d M xdm x q x dxdx 2 若存在集中力 则剪力图有 突变 集中力偶不会引起剪力图 的突变 3 若存在集中力偶 则弯矩图 有突变 集中力不会引起弯矩 图的突变 1 剪力与弯矩的正负与外载正 负的规定无关 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 4 判断曲线的上凸与下凸 a 0b 0f f f x I xfI fI 设 为 上二阶可导函数 则 为 上的的充要条件为 则 为 上的的充要条件上凸为函数 下凸函数 据此可判断弯矩图的凹凸性 因为 2 2 d M x q x dx 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例1 1 已知已知 内力图 内力图 解解 求求 利用微分关系找 利用微分关系找 出图中的错误并改正 出图中的错误并改正 qaRA 4 1 支反力支反力 qaRB 4 7 RA RB 2 4 5 qa 2 32 49 qa 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 1m2m 2m 20 kN mM x A BC D 例例1 4已知梁的弯矩图 如图所示 试作梁的载 荷图和剪力图 例例1 3设梁的剪力图如图所示 试作弯矩图以及载荷图 已知 梁上没有作用集中力偶 例例1 2 图示简支梁AB 受集中 力 集中力偶和均布载荷作用 作梁的剪力图与弯矩图 1m 2m 1m 2 3 1 kN S F x 0 5m AB C D 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例1 2 图示简支梁AB 受集中力 集中力偶和均布载荷作用 试 1 求 C和D处约束反力 2 作梁的剪力图与弯矩图 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 2 RARB qa FF 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例1 3 设梁的剪力图如图所示 试作弯矩图以及载荷图 已知梁上没有 作用集中力偶 1kN m 1kN m 1 25kN m 0 5m kN mM x 1m 2m 1m 2 3 1 kN S F x 0 5m AB C D 2kN m x 5kN 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例1 4 已知梁的弯矩图如图所示 试作梁的载荷图和剪力图 10kN kN s F x 10kN10kN 20kN m 1m2m 2m 20 kN mM x A BC D 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例2 P83 2 5 在梁上行驶的小车两轮的轮压为F 轮距为c 试问小车行至何位 置时梁内的弯矩最大 其值多少 xc FF l 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 1 求解约束反力 0 2 22 2 0 B B Ay Ax F LFxF xc Fxc F L FxcF LxFc FF LL F xc FF l A B CD 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 2 剪力图与弯矩图 A B CD 2 22 2 22 222 20 2 C D CD F MxcxLx L F MxcxLxxccLc L F MMcxcLc L Lc x 令 Let 2 0 4 23 0 4 C C D D dMLc x dx dMLc x dx 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 因为 2 3 4 2 而当 2 时 2 3 时 2 3 4 0 为满足物理意义 0 所以 0时 MD有最大值 max 2 当 2 3 时 2 3 4 0 当 时 MD有最 大值 max 2 2 8 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例3 P83 2 6 按图示方法吊运等截面重物 已知重物横截面面积为A 重度为 试问钢绳至重物的距离a为何值时 在重物自重作用下的弯矩最 小 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 B FC F ABCD 2 BC l FF x y ABCD a 2 2 la 2 2 la a ABCD 4 8 l la 2 1 2 a 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 当 1 2 2 4 8 时 在 重物自重作用下的弯矩最小 由此得到 2 2 1 2 2 21 21 28 28 B B l alM ll aM 2 2 2 21 21 882 l l al ABCD 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例4 简支梁上的分布载荷按抛物线规律变化 其方程为 试作剪力图和弯矩图 0 4 1 q xx q x ll l 0 q A B x 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 梁AB承受的合力F为 0 0 0 0 4 1 2 3 l l Fq x dx q xx dx ll q l 0 q A B x A F B F 0 1 3 AB FFq l 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 利用微分关系 边界条件为 23 0 1 0 4 23 x qxx Q xq x dxC ll 34 0 12 0 4 612 x qxx M xQ x dxC xC ll 010 11 0 33 0 00 xQ xq lCq l xM xD 0 q A B x A F B F 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 最终得到 23 0 0 0 41 233 x qxx Q xq x dxq l ll 34 0 0 0 41 6123 x qxx M xQ x dxq lx ll 0 q A B x A F B F 注意 若在AB间存在集中力或力偶 则积分时要分段积分 因为此时的 剪力函数与弯矩函数不再连续 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 剪力图 23 0 1 401 233 Q klkk k q l 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 弯矩图 34 2 0 1 401 6123 M klkk kk q l 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 1 0 12 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例5 某简支梁上作用有n个间距相等的集中力 其总载荷为F 每个载 荷等于F n 梁的跨度为了 载荷的间距则为l n 1 1 试导出梁中最大弯矩的一般公式 2 将 1 的答案与承受均布载荷q的简支梁的最大弯矩相比较 设 ql F 1 l n F n l F n F n 1 l n 1 l n 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 剪力图与弯矩图 F s F M 1 23n 段 个点 2F 2F 2F s F M 2 34n 段 个点 2F 2F 2F 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 1 n为奇数为奇数 在 x n 1 2 l 2 处产生最大弯矩 max1 1 2 1 21212 11 112 1222 1 8 n F lFlFFlF M nnnnn lnFnF nn nFl n 0111 2 0 121 nnn llnl xxxxxl nn 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 2 n为偶数为偶数 2 2 1011 0 11 2 2 1 11 nnnn nlnlnl xxxxl nn l xx nn 在 2 2 1 或 2 1 2 1 1 处产生最大弯矩 max2 1 2 1 21212 2 1112 1222 2 18 n F lFlFFlF M nnnnn lnFnF nn nFl n 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 2 将 1 的答案与承受均布载荷q的简支梁的最大弯矩相比较 设 ql F 承受均布载荷q的简支梁的最大弯矩为 将 1 中所得结果取极限得到 比较发现所得结果一致 max 8 Fl M max1 max2 1 limlim 88 2 limlim 188 nn nn nFlFl M n nFlFl M n 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 例6 P85 2 9 半圆形拱受载如图所示 试确定弯矩为零的所在截面 F R 8 3 e FR M 第第2章章 受力杆件的内力受力杆件的内力 2012 2 24 解 F R 8 3 e FR M Ay F Ax F By F 4 23 Ax e By FF