数学建模讲座之一——概论.pdf

数学建模竞赛培训数学建模竞赛培训 讲座之一讲座之一 概论概论 简要提纲简要提纲 应用数学与数学建模应用数学与数学建模 建模及建模竞赛的意义建模及建模竞赛的意义 竞赛评阅标准竞赛评阅标准 一般原则及主要问题一般原则及主要问题 创新能力培养创新能力培养 几个例子几个例子 数学模型 Mathematical Model 和 数学建模 Mathematical Modeling 数学模型数学模型 对于一个对于一个现实对象现实对象 为了一个 为了一个特定目的特定目的 作出必要的作出必要的简化假设简化假设 根据对象的 根据对象的内在规律内在规律 运用适当的 运用适当的数学工具数学工具 得到的一个 得到的一个数学结构数学结构 现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型 现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答 表述表述 求解求解 解释解释 验证验证 归纳 演绎 数学建模 的全过程 数学建模 的全过程 现实世界数学世界现实世界数学世界 数学知识 数学技巧 数学知识 数学技巧 数学应用 数学发现 数学应用 数学发现 应用数学 数学技术 数学实验 应用数学 数学技术 数学实验 随机数学 代数与几何 微积分 随机数学 代数与几何 微积分 数学美学 数学哲学 数学精神 数学素质 数学文化 数学美学 数学哲学 数学精神 数学素质 数学文化 数学 几个层次的理解 美国大学生 数学建模竞赛 MCM 1985年开始举办 每年一次年开始举办 每年一次 2月月 国际竞赛国际竞赛 我国我国 清华等校清华等校 1989年开始每年参加 英文答卷年开始每年参加 英文答卷 MCM 2010有约有约14国国 地区地区 2254队参赛 其中我国 占 队参赛 其中我国 占82 ICM 2010有有356队参赛 其中我国占队参赛 其中我国占93 每年赛题和优秀答卷刊登于同年每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志杂志 1999年起又同时推出交叉学科竞赛 年起又同时推出交叉学科竞赛 Interdisciplinary Contest in Modeling ICM 网址 网址 美国MCM ICM竞赛规模 COM AP M CM 要对假设的合理性进行解释 正文中引用 的一致性和结果的精度 好方法的结果一般比较好 但不一定是最好的 合理性 关键假设 不欣赏罗列大量无关紧要的假设 要对假设的合理性进行解释 正文中引用 CUMCM评阅标准CUMCM评阅标准 一些常见问题一些常见问题 有的论文过于简单 该交代的内容省略了 难以看懂 有的队罗列一系列假设或模型 又不作比较 评价 希望碰上 有的论文过于简单 该交代的内容省略了 难以看懂 有的队罗列一系列假设或模型 又不作比较 评价 希望碰上 参考答案参考答案 或或 评阅思路评阅思路 弄巧成拙 数学模型最好 弄巧成拙 数学模型最好明确 合理 简洁 明确 合理 简洁 有些论文不给出明确的模型 只是根据赛题的情况 实际上是用 有些论文不给出明确的模型 只是根据赛题的情况 实际上是用 凑凑 的方法给出结果 虽然结果大致是对 的 没有一般性 不是数学建模的正确思路 有的论文参考文献不全 或引用他人结果不作交代 参考文献应在正文中引用 的方法给出结果 虽然结果大致是对 的 没有一般性 不是数学建模的正确思路 有的论文参考文献不全 或引用他人结果不作交代 参考文献应在正文中引用 从论文评阅看学生参加竞赛中的问题从论文评阅看学生参加竞赛中的问题 吃透题意方面不足 没有抓住和解决主要问题 吃透题意方面不足 没有抓住和解决主要问题 就事论事 形成数学模型的意识和能力欠缺 就事论事 形成数学模型的意识和能力欠缺 对所用方法一知半解 不管具体条件 套用现成的 方法 导致错误 对所用方法一知半解 不管具体条件 套用现成的 方法 导致错误 对结果的分析不够 怎样符合实际考虑不周 对结果的分析不够 怎样符合实际考虑不周 写作方面的问题写作方面的问题 摘要 简明 优缺点 参考文献摘要 简明 优缺点 参考文献 队员之间合作精神差 孤军奋战 队员之间合作精神差 孤军奋战 依赖心理重 甚至违纪 指导教师 网络 依赖心理重 甚至违纪 指导教师 网络 简要提纲简要提纲 应用数学与数学建模应用数学与数学建模 建模及建模竞赛的意义建模及建模竞赛的意义 竞赛评阅标准竞赛评阅标准 一般原则及主要问题一般原则及主要问题 创新能力培养创新能力培养 一个例子一个例子 锤子锤子与与钉子钉子 数学工具与实际问题 问题问题 工具工具 案例案例 飞机的精确定位问题飞机的精确定位问题 飞机在飞行过程中 能够收到地面上各个监控台 发来的关于飞机当前位置的信息 根据这些信息 可以比较精确地确定飞机的位置 如图1所示 VOR是高频多向导航设备的英文缩写 它能够得到 飞机与该设备连线的角度信息 DME是距离测量装 置的英文缩写 它能够得到飞机与该设备的距离 信息 图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1 个DME给出的距离 括号内是测量误差限 并已 知这4种设备的x y坐标 假设飞机和这些设备在 同一平面上 如何根据这些信息精确地确定当 前飞机的位置 飞机在飞行过程中 能够收到地面上各个监控台 发来的关于飞机当前位置的信息 根据这些信息 可以比较精确地确定飞机的位置 如图1所示 VOR是高频多向导航设备的英文缩写 它能够得到 飞机与该设备连线的角度信息 DME是距离测量装 置的英文缩写 它能够得到飞机与该设备的距离 信息 图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1 个DME给出的距离 括号内是测量误差限 并已 知这4种设备的x y坐标 假设飞机和这些设备在 同一平面上 如何根据这些信息精确地确定当 前飞机的位置 0 y x VOR2 x 629 y 375 309 00 1 30 864 3 2 0 飞机飞机 x y VOR1 x 764 y 1393 161 20 0 80 VOR3 x 1571 y 259 45 10 0 60 北 DME x 155 y 987 图中坐标和测量距离 的单位是 图中坐标和测量距离 的单位是 公里公里 案例案例 飞机的精确定位问题飞机的精确定位问题 参考资料 谢金星 薛毅编著 参考资料 谢金星 薛毅编著 优化建模与 优化建模与lindo lingo软件 软件 请华大学出版社请华大学出版社 2005 飞机的精确定位模型飞机的精确定位模型 飞机位置坐标 要求计算 距离误差为记测量距离为 角度误差为记测量角度为 标分别为已知数据 设备位置坐 yx d i iyx ii ii 3 1 1 4 44 i i xiyi原始的 或d4 VOR1 7461393161 20 2 81347弧度 0 80 0 0140弧度 VOR2 62937545 10 0 78714弧度 0 60 0 0105弧度 VOR3 1571259309 00 5 39307弧度 1 30 0 0227弧度 DME155987d4 864 3 km 2 0 km 飞机的精确定位模型飞机的精确定位模型 4 2 4 2 4 atan2 dyyxx yyxx iii 第第1类模型类模型 不考虑误差因素不考虑误差因素 超定方程组超定方程组 非线性最小二乘 非线性最小二乘 量纲不符 量纲不符 2 4 2 4 2 4 3 1 2 atan2 d yyxxyyxx Min i i ii x y 2 4 2 4 2 4 3 1 2 atan2 dyyxxyyxxMin i iii x y 2 2 2 4 2 4 tan dyyxx yyxx iii 或 或 2 4 4 2 4 2 4 3 1 2 atan2 d dyyxxyyxx Min i i iii x y but 飞机的精确定位模型飞机的精确定位模型 2 1 atan2 44 2 4 2 444 dyyxxd yyxx iiiiii 第第2类模型类模型 考虑误差因素考虑误差因素 作为硬约束作为硬约束 Min x Min y Max x Max y 非线性规划 非线性规划 仅部分考虑误差仅部分考虑误差 角度与距离的角度与距离的 地位地位 为何不同 为何不同 其他 其他 误差非均匀分布 误差非均匀分布 2 t s atan2 3 1 2 i iii x y yyxxMin 1 t s 2 4 2 4 2 4 dyyxxMin x y 不等式组 不等式组 飞机的精确定位模型飞机的精确定位模型 2 4 2 4 2 44 2 3 1 atan2 yyxxdyyxx yxEMin i i iii 误差一般服从什么分布 正态分布 不同的量纲如何处理 误差一般服从什么分布 正态分布 不同的量纲如何处理 无约束非线性最小二乘模型无约束非线性最小二乘模型 归一化处理 归一化处理 飞机坐标飞机坐标 978 31 723 98 误差平方和误差平方和0 6685 4 角度需要进行预处理 如利用角度需要进行预处理 如利用 Matlab的的atan2函数函数 值域值域 pi pi 第第3类模型类模型 考虑误差因素考虑误差因素 作为软约束作为软约束 且归一化且归一化 飞机的精确定位模型飞机的精确定位模型 小技巧小技巧 LINGO中没有中没有atan2函数函数 怎么办 可以直接利用 怎么办 可以直接利用 tan函数 函数 同前面的模型同前面的模型 结果结果 2 4 2 4 2 44 2 3 1 yyxxd yxEMin i i ii tan iii yyxx 飞机坐标飞机坐标 980 21 727 30 误差平方和误差平方和2 6 与前面的结果有所不同与前面的结果有所不同 为什么为什么 哪个模型合理些哪个模型合理些 2 4 2 4 2 44 2 3 1 tan tan yyxxd yxEMin i i iyy xx i i 最后最后 思考以下模型思考以下模型 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理题 电力市场的输电阻塞管理 电力从生产到使用的四大环节电力从生产到使用的四大环节 发电 输电 配电和用电 是瞬间完成的 发电 输电 配电和用电 是瞬间完成的 我国电力市场初期是发电侧电力市场 采取交易与调度一体 化的模式 我国电力市场初期是发电侧电力市场 采取交易与调度一体 化的模式 电网公司在组织交易 调度和配送时 必须遵循电网电网公司在组织交易 调度和配送时 必须遵循电网 安全第 一 安全第 一 的原则 同时要制订一个电力市场交易规则 按照购电费 用最小的经济目标来运作 的原则 同时要制订一个电力市场交易规则 按照购电费 用最小的经济目标来运作 市场交易市场交易 调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安 全运行的调度计划 调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安 全运行的调度计划 各发电机组的出力 发电功率 分配方 案 各发电机组的出力 发电功率 分配方 案 某线路上有功潮流的绝对值超出某线路上有功潮流的绝对值超出安全限值安全限值 具有一定的 具有一定的相对 安全裕度 相对 安全裕度 称为 称为输电阻塞输电阻塞 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理题 电力市场的输电阻塞管理 电力市场交易规则 电力市场交易规则 以以15分钟为一个时段组织交易 每台机组在当前时段开始时刻 前给出下一个时段的报价 各机组将可用出力由低到高分成至 多 分钟为一个时段组织交易 每台机组在当前时段开始时刻 前给出下一个时段的报价 各机组将可用出力由低到高分成至 多10段报价 每个段的长度称为段报价 每个段的长度称为段容量段容量 每个段容量报一个价 称为 每个段容量报一个价 称为段价段价 段价按段序数单调不减 段价按段序数单调不减 在当前时段内 市场交易在当前时段内 市场交易 调度中心根据下一个时段的负荷预 报 调度中心根据下一个时段的负荷预 报 每台机组的报价 每台机组的报价 当前出力当前出力和和出力改变速率出力改变速率 按段价从低到 高选取各机组的段容量或其部分 直到它们之和等于预报的负 荷 这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该 机组的出力分配预案 初始交易结果 最后一个被选入的段 价 最高段价 称为该时段的 按段价从低到 高选取各机组的段容量或其部分 直到它们之和等于预报的负 荷 这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该 机组的出力分配预案 初始交易结果 最后一个被选入的段 价 最高段价 称为该时段的清算价清算价 该时段全部机组的所有 出力均按清算价结算 该时段全部机组的所有 出力均按清算价结算 机组 段12345678910 170050003000040 23002081562008 311004003002040040 45551010101015001 575515015150101010 695010200151020010 75015515101051032 87002002002010155 表表3 各机组 的段容量 各机组 的段容量 MW 表表4 各机 组的段价 各机 组的段价 元 MWh 机组 段12345678910 1 5050124168210252312330363489 2 5600182203245300320360410495 3 6100152189233258308356415500 4 500150170200255302325380435800 5 5900116146188215250310396510 6 6070159173205252305380405520 7 500120180251260306315335348548 8 800153183233253283303318400800 120 73 180 80 125 125 81 1 90 当前出力当前出力 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理题 电力市场的输电阻塞管理 1 确定各确定各线路上潮流线路上潮流关于各关于各发电机组出力发电机组出力的近似表达式的近似表达式 8 6 1 21 nmjpppfu njj LL 当前时段各发电机组出力当前时段各发电机组出力 p1 0 pn 0 线路潮流线路潮流 uj 0 0 0 11 1 0 0 0 nn p n j p j jj pp p f pp p f uu L nn papaa L 110 a0 答卷中的问题 没有常数项答卷中的问题 没有常数项 a0 没有统计检验 没有统计检验 p 0 p0 ua0 0 2 设计一种简明 合理的阻塞费用计算规则 阻塞调整引起的损失 序内机组少出力 序外机组多出力 第 设计一种简明 合理的阻塞费用计算规则 阻塞调整引起的损失 序内机组少出力 序外机组多出力 第i台机组第台机组第k段分配出力段分配出力pik 0 段价 段价gik 0 清算价 清算价g 0 调整后实际出力 调整后实际出力pik 序内机组的损失 序内机组的损失tppggE ikikikik 0 0 0 0 0 ik p 序外机组的损失序外机组的损失tppggF ikikikik 0 0 0 对序内 序外机组损失 同等对待的阻塞费用 对序内 序外机组损失 同等对待的阻塞费用 ki ikik FES 答卷中的问题 未考虑不同段的段价 答卷中的问题 未考虑不同段的段价 3 给定下时段的需求预报 寻求各机组的 出力分配预案 按照各机组的各段段价由低到 高的顺序 选取各机组的段容 量 直到其和等于需求预报 给定下时段的需求预报 寻求各机组的 出力分配预案 按照各机组的各段段价由低到 高的顺序 选取各机组的段容 量 直到其和等于需求预报 选取过程要考虑各机组爬坡速率的限制选取过程要考虑各机组爬坡速率的限制 各机组的出力分配预案 和清算价同时得到 各机组的出力分配预案 和清算价同时得到 答卷中的问题 未给出一般算法 只是具体结果 答卷中的问题 未给出一般算法 只是具体结果 Pp ki ik 0 0 0 i k ik pp 70 70 87 120 120 120 150 150 150 150 153 190 30 30 50 58 58 73 79 81 81 81 88 89 110 110 132 150 150 180 180 200 228 240 240 2 T 80 55 60 60 5 70 80 90 99 5 100 115 115 115 116 75 80 95 95 98 110 125 125 135 145 152 155 95 95 95 105 125 125 140 150 155 170 170 180 50 60 1 65 70 85 95 102 1 105 110 120 123 125 63 70 70 90 90 110 110 117 130 140 155 160 一种一种0 1规划模型 数据准备规划模型 数据准备 机组 段12345678910 170050003000040 23002081562008 311004003002040040 45551010101015001 575515015150101010 695010200151020010 75015515101051032 87002002002010155 扩展 考虑机组数 段数和由于 扩展 考虑机组数 段数和由于 爬坡形成的 最低位置和 最高位置 爬坡形成的 最低位置和 最高位置 8 12矩阵 表 矩阵 表3 各机组 的段容量 各机组 的段容量 MW 爬坡速率爬坡速率2 2MW min 120 73 180 80 125 125 81 1 90 当前出力当前出力 爬坡速率 爬坡速率 MW min 累加累加 段容量段容量 MW 505 0 124 124 168 210 252 312 330 363 489 489 560 0 182 203 203 245 300 320 360 410 495 495 610 0 152 152 189 233 258 308 356 356 415 500 500 P 150 170 170 200 255 302 302 325 380 435 800 590 0 116 146 188 188 215 250 310 396 510 510 607 607 0 159 173 205 252 305 380 380 405 520 500 120 120 180 251 260 306 306 315 335 348 548 800 800 153 183 233 253 283 303 303 318 400 800 表表4 各机组 的段价 各机组 的段价 元 MWh 机组 段12345678910 1 5050124168210252312330363489 2 5600182203245300320360410495 3 6100152189233258308356415500 4 500150170200255302325380435800 5 5900116146188215250310396510 6 6070159173205252305380405520 7 500120180251260306315335348548 8 800153183233253283303318400800 G 一种一种0 1规划规划模型模型 12 1 12 00 1 12 1 812 11 1 1 2 8 1515 1 2 8 1 2 8 01 ij j iiijijii j iijij j ij ij ij ij Xi xvXpxvi s tCXpi X tS X L L L 或 i Ccmaxmin ij ij 0 t 1 t ij X 不选取 选取 1 72 73 74 75 86 77 68 8 1 1 1 1 1 1 1 1XXXXXXXX 12345678 150 79 180 99 5 125 140 95 117xxxxxxxx 12345678 150 79 180 99 5 125 140 95 113 9xxxxxxxx 计算结果计算结果 LINGO c 303 tij gij pi 0 pi 0 P 西北工大西北工大 4 检查分配预案是否会引起输电阻塞 并在发生阻 塞时 根据安全且经济的原则 调整分配方案 给 出与该方案相应的阻塞费用 检查分配预案是否会引起输电阻塞 并在发生阻 塞时 根据安全且经济的原则 调整分配方案 给 出与该方案相应的阻塞费用 模型一 发生阻塞时以阻塞费用最小为目标 调整各机组出力 模型一 发生阻塞时以阻塞费用最小为目标 调整各机组出力 mii iiiii mjj njj i i ki ik p pp tvpptvp uu ppfu Pppts S i 0 0 1 min L 满足需求 潮流限制 爬坡速率约束 机组出力上限 潮流与机组出力关系 满足需求 潮流限制 爬坡速率约束 机组出力上限 潮流与机组出力关系 模型二 当模型一无可行解时 以安全裕度 利用率最小为目标 调整各机组出力 模型二 当模型一无可行解时 以安全裕度 利用率最小为目标 调整各机组出力 mii iiiii jmjjjj njj i i ki ik j jp pp tvpptvp qurqu ppfu Pppts q i 0 0 1 10 1 max min L 线路安全裕度线路安全裕度 rj 安全裕度利用率 安全裕度利用率 qj 答卷中的问题 目标中未使用相 对安全裕度 或 使用求和而不是 最大值 答卷中的问题 目标中未使用相 对安全裕度 或 使用求和而不是 最大值 模型三 在模型二最优解模型三 在模型二最优解 q 基础上 以阻塞 费用最小为目标 调整各机组出力 基础上 以阻塞 费用最小为目标 调整各机组出力 mii iiiii jmjjjj njj i i ki ik p pp tvpptvp qqurqu ppfu Pppts S i 0 aij M aij 0 或没有弧或没有弧 存在多项式时间算法存在多项式时间算法 两个模型等价吗两个模型等价吗 问题2 问题2 DVD最优分配DVD最优分配 上海交大上海交大 在一定的假设下 把问题近似分解成前面考虑过的购买和分发两个子 问题 例如 有的论文先根据会员订单统计 在一定的假设下 把问题近似分解成前面考虑过的购买和分发两个子 问题 例如 有的论文先根据会员订单统计DVD的需求情况 确定 的需求情况 确定 DVD购买量 然后用前一问中建立的模型进行第一次分发 再对网站 是否知道哪些会员租赁两次作出一定假设 进行第二次分发 购买量 然后用前一问中建立的模型进行第一次分发