2013年高考数学试题精编：5.4解斜三角形.pdf

第五章 平面向量 四 解斜三角形 第五章 平面向量 四 解斜三角形 考点阐述 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 考试要求 7 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 考题分类 一 选择题 共 8 题 1 北京卷文 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个 等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sin 2cos2 B sin 3cos3 C 3sin 3cos1 D 2sin cos1 答案 A 命题意图 本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用 2 湖北卷理 3 在 ABC 中 a 15 b 10 A 60 则cosB A 2 2 3 B 2 2 3 C 6 3 D 6 3 答案 C 解析 由正弦定理得 1510 sin60sin B o 解得 3 sin 3 B 又因为 ba 所以A B 故 Bb B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 4 江西卷理 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边AB上的三等分点 则tan ECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 答案 D 解析 考查三角函数的计算 解析化应用意识 解法 1 约定 AB 6 AC BC 3 2 由余弦定理 CE CF 10 再由余弦 定理得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 解法 2 坐标化 约定 AB 6 AC BC 3 2 F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 5 辽宁卷理 8 文 8 平面上 O A B 三点不共线 设 OA a OBb 则 OAB 的面积等于 A 222 aba b B 222 aba b C 222 1 2 aba b D 222 1 2 aba b 6 上海卷理 18 某人要制作一个三角形 要求它的三条高的长度分别为 11 1 13 11 5 则此 人能 答 A 不能作出这样的三角形 B 作出一个锐角三角形 C 作出一个直角三角形 D 作出一个钝角三角形 解析 设三边分别为 a b c 利用面积相等可知 5 11 13 5 1 11 1 13 1 cbacba 由余弦定理得 0 1152 13115 cos 222 A 所以角 A 为钝角 选 D 7 上海卷文 18 若 ABC的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得 0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 选 C 8 天津卷理 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc sin2 3sinCB 则 A A 0 30 B 0 60 C 0 120 D 0 150 答案 A 解析 由 sinC 2 3 sinB 结合正弦定理得 2 3cb 所以由于余弦定理得 222 cos 2 bca A bc 222 3 cos 2 bcbbc A bc 2 3 2 cbc bc 2 2 3 32 3 22 3 bbb bb 3 2 所以 A 30 选 A 命题意图 本小题考查三角形中的正弦定理 余弦定理 特殊角的三角函数等基础知识 考查同学们的运算能力 二 填空题 共 7 题 1 北京卷理 10 文 10 在 ABC 中 若 b 1 c 3 2 3 C 则 a 答案 1 解析 3 sin1 2 sin1 23 C Bb c 因此 66 BAB 故 1ab 2 广东卷理 11 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinC 答案 1 解 由 A C 2B 及 A B C 180 知 B 60 由正弦定理知 13 sinsin60A o 即 1 sin 2 A 由 ab 知 60AB o 则 30A o 180180306090CA B ooooo sinsin901C o 3 广东卷文 13 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinA 4 江苏卷 13 在锐角三角形 ABC A B C 的对边分别为 a b c Ccos b a a b 6 则 Btan Ctan Atan Ctan 答案 4 考查三角形中的正 余弦定理三角函数知识的应用 等价转化思想 一题多解 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 A B 和边 a b 具有轮换性 当 A B 或 a b 时满足题意 此时有 1 cos 3 C 2 1 cos1 tan 21cos2 CC C 2 tan 22 C 1 tantan2 tan 2 AB C tantan tantan CC AB 4 方法二 22 6cos6cos ba CabCab ab 2222 2222 3 6 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin 1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由正弦定理 得 上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos 6 62 ccc cC ab ab 5 全国 新卷理 16 在 ABC 中 D 为边 BC 上一点 BD 1 2DC ADB 120 AD 2 若 ADC 的面积为3 3 则 BAC 答 案 0 60 解 析 设 BDa 则 2DCa 由 已 知 条 件 有 0 11 sin2 2 sin6033331 22 ADC SAD DCADCaaa 再由余 弦定理分别得到 22 6 24 12 3ABAC 再由余弦定理得 1 cos 2 BAC 所以 0 60BAC 6 全国 新卷文 16 在 ABC 中 D 为 BC 边上一点 3BCBD 2AD 135ADB 若 2ACAB 则 BD 答案 2 5 解析 设 BDa ABb 在 ABD 和 ADC 中分别用余弦定理可解得 7 山东卷理 15 文 15 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a 2 b 2 sinB cosB 2 则角 A 的大小为 答案 6 解析 由sin cos2BB 得1 2sin cos2BB 即sin2B 1 因为 0 B 所以 B 45o 又因为2a 2b 所以在 ABC 中 由正弦定理得 22 sinAsin45o 解 得 1 sinA 2 又 ba 所以A B 45 o 所以A 30 o 命题意图 本题考查了三角恒等变换 已知三角函数值求解以及正弦定理 考查了同学们 解决三角形问题的能力 属于中档题 三 解答题 共 17 题 1 安徽卷理 16 设 ABC 是锐角三角形 a b c 分别是内角 A B C 所对边长 并且 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角A的值 若 12 2 7AB ACa uuu r uuur 求 b c 其中b c ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P 有OPOC 而小艇的最高 航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设 COD 0 90 10 3tanRt CODCD oo 则在中 OD 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v 所以 10 10 3tan 30 10 3 cosv 解得 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv o o 又故 从而30 90 30tan ooo 由于时 取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当 30 o时 10 10 3tan 30 t 取得最小值 且最小值为 2 3 此时 在 OAB 中 20OAOBAB 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 o 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 4 福建卷文 21 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇 出发时 轮船位于港口的 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处 并正以 30 海里 小 时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 小时的航行速度匀速 行驶 经过 t 小时与轮船相遇 I 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 I 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 5 江苏卷 17 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 高度 h 4m 仰角 ABE ADE 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 该小组分析若干测得的数据后 发现适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔实际高度为 125m 问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tan tan HH AD AD 同理 tan H AB tan h BD AD AB DB 故得 tantantan HHh 解得 tan4 1 24 124 tantan1 24 1 20 h H 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知d AB 得 tan tan HHhHh dADDBd 2 tantan tan 1tantan 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd 2 H Hh dH Hh d 当且仅当 125 12155 5dH Hh 时 取等 号 故当 55 5d 时 tan 最大 因为 0 2 则 0 2 所以当 55 5d 时 最大 故所求的d是55 5m 6 辽 宁 卷 理 17 在 ABC 中 a b c 分 别 为 内 角 A B C 的 对 边 且 2 sin 2 sin 2 sin aAacBcbC 求 A 的大小 求sin sinBC 的最大值 故当 B 30 时 sinB sinC 取得最大值 1 12 分 7 辽 宁 卷 文 17 在 ABC 中 abc 分 别 为 内 角 ABC 的 对 边 且 2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求A的大小 若sin sin1BC 是判断 ABC 的形状 解 由已知 根据正弦定理得 cbcbcba 2 2 2 2 即 bccba 222 由余弦定理得 Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又 1sinsin CB 得 2 1 sinsin CB 因为 知 由已知得 124 cos sin 135 BADC 从而 sin sin BADADCB sin coscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 由正弦定理得 AD sinsin BD BBAD 所以 sin AD sin BDB BAD 5 33 13 25 33 65 10 陕西卷理 17 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 33 海里的两个观测点 现位于 A 点北偏东 45 B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号 位于 B 点南偏 西 60 且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救 其航行速度为 30 海里 小时 该救援船到达 D 点需要多长时间 解 由题意知 AB 海里 DAB 90 60 30 DAB 90 45 45 ADB 180 45 30 105 在 ADB 中 有正弦定理得 11 陕西卷文 17 在 ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 10 AC 14 DC 6 求 AB 的长 解 在 ADC 中 AD 10 AC 14 DC 6 由余弦定理得 cos 222 2 ADDCAC AD DC 10036 1961 2 10 62 ADC 120 ADB 60 在 ABD 中 AD 10 B 45 ADB 60 由正弦定理得sin sin ABAD ADBB AB 3 10 sin10sin60 2 5 6 sinsin452 2 ADADB B 12 四川卷理 19 II 已知 ABC 的面积 1 3 2 SABAC uuu ruuur 且 3 5 cosB 求cosC 解析 13 天津卷文 17 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin 4B 3 的值 命题意图 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二 倍角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 解 析 证 明 在 ABC 中 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sinB sinC cosB cosC 于 是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为 BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B 于是 sin2B 2 1 cos 2B 2 2 3 从而 sin4B 2sin2Bcos2B 4 2 9 cos4B 22 7 cos 2sin 2 9 BB 所以 4 27 3 sin 4 sin4coscos4 sin 33318 BBB 14 浙江卷理 18 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 cos2 4 C I 求 sinC 的值 当 a 2 2sinA sinC 时 求 b 及 c 的长 解析 本题主要考察三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同事考查运算求解能力 解 因为 cos2C 1 2sin2C 1 4 及 0 C 所以 sinC 10 4 解 当