湖南师大附中高三数学第一次月考试题 理（含解析）.doc

湖南师大附中2013届高三第一次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）空间中，异面直线a，b所成的角为，且=（）abc或d考点：同角三角函数间的基本关系.专题：计算题分析：由异面直线所成角的范围，得到sin大于0，利用cos的值，根据同角三角函数间的基本关系即可求出sin的值解答：解：在空间，异面直线a，b所成的角为，（0，90，又sin=，则cos=故选a点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键2（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）abcd考点：等可能事件的概率.专题：计算题分析：抛一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，正面向上的点数为6的情况只有一种，即可求解答：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为 故选d点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件a出现m种结果，那么事件a的概率p（a）=属基础题3（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（）a（1），（3）b（1），（4）c（2），（4）d（1），（2），（3），（4）考点：简单空间图形的三视图.专题：规律型分析：由于几何体正视图与侧视图上部都是圆，下部都是正方形，推测出其几何特征，再对照所给的四个俯视图即可选出正确选项解答：解：由几何体的正视图与侧视图可得出，此几何体上部一定是一个球，下部可以是一个正方体，或是一个圆柱体，故（1），（3）一定正确，第二个几何体不符合要求的，这是因为球的投影不在正中，第四个不对的原因与第二个相同综上，a选项符合要求故选a点评：本题考查由三视图，解题的关键是根据正视图与侧视图推测出几何体的几何特征，属于基本题型4（5分）设集合a=（，a，b=（b，+），an，br，且abn=2，则a+b的取值范围是（）a（3，4）b3，4c3，4）d（3，4考点：交集及其运算.分析：已知集合a=（，a，b=（b，+），an，br，又有abn=2，说明2a，2b从而推出a，b的范围，进而得出a+b的取值范围；解答：解：集合a=（，a，b=（b，+），an，br，且abn=2，2a，2b，且an，2a3，an，可得a=2，1b2，3a+b4，故选c；点评：此题主要考查集合的交集及其运算，此题利用abn=2，巧妙推出a、b的范围，是一道好题！5（5分）已知点（a，b）在y=10x图象上，则下列点中不可能在此图象上的是（）a（a，）b（a1，10b）c（a+1，10b）d（2a，b2）考点：指数函数的单调性与特殊点.专题：函数的性质及应用分析：根据点（a，b）在y=10x图象上代入求导a、b的关系式，利用a、b的关系式对四个选项进行判断；解答：解：点（a，b）在y=10x图象上，b=10a，a、若点（a，）在y=10x图象上可得10a=，可得=，满足，故a在此图象上；b、若点（a1，10b）在y=10x图象上可得10a1=10b，可得=10b，可得10a=100b，不满足等式，故b不在此图象上；c、若点（a+1，10b）在y=10x图象上可得10a+1=10b，可得10a=b，满足，故c在此图象上；d、若点（2a，b2）在y=10x图象上可得102a=b2，可得（10a）2=b2，可得10a=b，故d此图象上；故选b；点评：此题主要考查指数函数的性质，利用排除法对abcd四个选项进行一一排除，是一道基础题；6（5分）函数，g（x）=3x1，则不等式fg（x）0的解集为（）a1，+）bln3，+）c1，ln3dlog32，+）考点：其他不等式的解法.专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得 ，或 分别求出的解集，再取并集，即得所求解答：解：由题意可得 ，或 由可得 ，解得 x1解可得 ，解得 x综上可得，不等式的解集为x|x1=x|x1，故选a点评：本题主要考查其它不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题7（5分）关于x的二次方程x2+（）x+1=0有实根，且a0，b0，则a2+b2的取值范围是（）a4，+）b16，+）c）d）考点：基本不等式.专题：不等式的解法及应用分析：根据方程有实根可得a，b满足的条件，然后利用线性规划的方程求出a2+b2的取值范围解答：解：方程x2+（）x+1=0有实根=2a+b40而a0，b0，画出区域图则a2+b2表示区域内到原点的距离的平方，当过点o垂直直线2a+b4=0时距离最短，最短距离为a2+b2的取值范围是）故选d点评：本题主要考查了基本不等式，以及线性规划等基础知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题8（5分）（2012佛山二模）已知函数fm（x）的定义域为实数集r，满足（m是r的非空真子集），在r上有两个非空真子集a，b，且ab=，则的值域为（）ab1cd考点：函数的值域；交集及其运算.专题：新定义分析：对f（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到f（x）的值域即可解答：解：当xcr（ab）时，fab（x）=0，fa（x）=0，fb（x）=0，f（x）=1同理得：当xb时，f（x）=1；当xa时，f（x）=1故f（x）=，即值域为1故选b点评：本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的正确理解，属于创新型题目二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分9（5分）若直线xy+1=0与圆（xa）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是3，1考点：直线与圆的位置关系.专题：计算题分析：利用圆心与直线的距离等于小于圆的半径，然后求解a的范围解答：解：圆（xa）2+y2=2的圆心（a，0），半径为，直线xy+1=0与圆（xa）2+y2=2有公共点，所以|a+1|2，解得实数a取值范围是3，1故答案为：3，1点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力10（5分）在abc中，若ab，sina，sinb的大小关系为sinasinb考点：不等关系与不等式.专题：计算题分析：利用正弦定理即可得到答案解答：解：在abc中，由正弦定理得：=2r（r为其外接圆的半径），a=2rsina，b=2rsinb，在abc中，ab，ab（a，b所对的边分别为a，b），2rsina2rsinb，sinasinb故答案为：sinasinb点评：本题考查不等关系与不等式，着重考查正弦定理的应用，考查转化思想，属于基础题11（5分）设函数f（x）是定义在r上的奇函数，且对任意xr都有f（x）=f（x+4），当 x（2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）f（2011）的值为考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据题意，可得函数f（x）是周期为4的函数，所以f（2012）=f（0）=0，f（2011）=f（1）=21，从而得出f（2012）f（2011）的值解答：解：对任意xr都有f（x）=f（x+4），函数f（x）是周期为4的函数故f（2012）=f（0），f（2011）=f（1）又f（x）是定义在r上的奇函数，且当 x（2，0）时，f（x）=2x，f（0）=0，f（1）=21=因此f（2012）f（2011）=0=故答案为：点评：本题给出具有周期的奇函数，求给定的函数值，着重考查了函数的奇偶性和周期性等知识点，属于基础题12（5分）一物体沿直线以速度v（t）=2t3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是考点：定积分.专题：计算题分析：先求出v（t）=2t3在t（0，5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求解答：解：当时，；当时，物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程s=（3tt2）+（t23t）=（米）故答案为：点评：本题主要考查了定积分几何意义，以及定积分的应用，解题的关键是弄清位移与路程的区别，属于基础题13（5分）已知函数，则函数g（x）=f（x）+x的零点的个数是2个考点：根的存在性及根的个数判断.专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数g（x）=f（x）+x的零点，即方程f（x）=x的根因此分x0和x0两种情况，结合分段函数的表达式建立关于x的方程，解之即可得到方程的根，从而得到函数g（x）=f（x）+x的零点的情况，得到本题答案解答：解：函数g（x）=f（x）+x的零点，即方程f（x）=x的根当x0时，由x2=x，解得x=1；当x0时，由x2+x+1=x，解得x=（舍去x=2）综上所述，方程f（x）=x的根为x=或x=1，共两个由此可得数g（x）=f（x）+x的零点的个数是2个故答案为：2点评：本题给出分段函数，讨论与其有关的方程根的个数，着重考查了函数零点的含义和方程的解法等知识，属于基础题14（5分）（2013奉贤区一模）已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是4m2考点：函数恒成立问题.专题：计算题；压轴题分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围解答：解：，x+2y=（x+2y）=4+4+2=8x+2ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得4m2故答案为：4m2点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力15（5分）（2013昌平区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是函数f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数f（x）=x3x2+3x的对称中心为（，1）；（2）计算+f（）=2012考点：函数的值；函数的零点；导数的运算.专题：新定义；函数的性质及应用分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=x3x2+3x的对称中心（2）由f（x）=x3x2+3x的对称中心为（，1），知f（x）+f（1x）=2，由此能够求出+f（）解答：解：（1）f（x）=x3x2+3x，f（x）=x2x+3，g（x）=2x1，令f（x）=2x1=0，得x=，g（）=+3=1，f（x）=x3x2+3x的对称中心为（，1），（2）f（x）=x3x2+3x的对称中心为（，1），f（x）+f（1x）=2，+f（）=21006=2012故答案为：（，1），2012点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题三、解答题；本大题共6小题，共75分16（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在，上的值域考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换.专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+），可得f（x）的最小正周期再令 2k+2x+2k+，kz，求得x的范围，即可得到f（x）的单调递增区间（2）第一次变换可得y=2sin2x的图象，再经过第二次变换可得y=2sinx的图象，故g（x）=2sinx根据x的范围求得sinx的范围，从而求得g（x）的值域解答：解：（1）函数f（x）=cos2xsin2x=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为 =令 2k+2x+2k+，kz，可得 k+xk+，kz，故f（x）的单调递增区间为k+，k+，kz（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得函数y=2sin2（x+）+=2sin2x的图象，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sinx的图象，故g（x）=2sinxx，x，sinx1，g（x）的值域为1，2点评：本题主要考查两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，y=asin（x+）的图象变换规律，属于中档题17（12分）（附加题必做题）如图，四棱锥pabcd的底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=cd，e是pc的中点（1）证明pa平面bde；（2）求二面角bdec的平面角的余弦值；（3）在棱pb上是否存在点f，使pb平面def？证明你的结论考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系.专题：计算题；证明题分析：（1）建立空间直角坐标系，根据直线所在的向量与平面的法向量相互垂直，并且直线不在平面内可得直线与平面平行（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算计算出两个向量的夹角，进而得到二面角平面角的余弦值（3）假设存在点f，则直线pb所在的向量与平面def的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况解答：解：（1）以d为坐标原点，分别以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设pd=cd=2，则a（2，0，0），p（0，0，2），e（0，1，1），b（2，2，0），所以=（2，0，2），=（0，1，1），=（2，2，0）设=（x，y，z）是平面bde的一个法向量，则由，得；取=1，则=（1，1，1），=22=0，又pa平面bde，pa平面bde（2）由（1）知=（1，1，1）是平面bde的一个法向量，又=（2，0，0）是平面dec的一个法向量设二面角bdec的平面角为，由图可知=，cos=cos，=，故二面角bdec余弦值为（3）=（2，2，2），=（0，1，1），=0+22=0，pbde假设棱pb上存在点f，使pb平面def，设=（01），则=（2，2，2），=+=（2，2，22），由=0得42+422（22）=0，=（0，1），此时pf=pb，即在棱pb上存在点f，pf=pb，使得pb平面def点评：本题主要考查线面平行的证明、二面角的求解以及线面垂直的探索，解决此类问题的最好方法就是向量法，可以将其转化为向量的基本运算18（12分）（2012江西模拟）已知数列an，bn中，对任何整数n都有：（1）若数列an是首项和公差都有1的等差数列，求证：数列bn是等比数列；（2）若bn=2n，试判断数列an是否是等差数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的性质求得数列an的通项公式，代入a1bn+a2bn1+a3bn2+an1b2+anb1=2n+1n2中，利用错位相减法求得bn=2n1，进而推断数列bn是等比数列（2）由2na1+2n1a2+2an=2n+1n2可得，两式联立可求解答：证明：（1）依题意数列an的通项公式是an=n，故等式即为bn+2bn1+3bn2+（n1）b2+nb1=2n+1n2bn1+2bn2+3bn3+（n2）b2+（n1）b1=2nn1（n2）两式相减可得bn+bn1+b2+b1=2n1bn=2n1，即数列bn是首项为1，公比为2的等比数列（2）解：2na1+2n1a2+2an=2n+1n2两式联立可得，2（2nn1）+2an=2n+1n2点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力19（13分）某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m（0，1）（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x4，10，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？考点：根据实际问题选择函数类型.专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）先确定利润函数，再求导，利用导数大于0，即可求得结论；（2）由题意x4，10时，都有，分离参数，确定函数的最值，即可得到结论解答：解：（1）若美元贬值指数m=，则企业获得利润是f（x）=lnx+0.1x（x0）f（x）=令f（x）0，可得x20.5x50，x0，x2.5即x2.5时，企业生产获利随x的增加而增长；（2）x4，10时，都有x4，10时，m+，令g（x）=+，则0g（x）=+在4，10上为增函数g（x）=+在4，10上的最小值为0m时，该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导是关键20（13分）（2013烟台一模）已知椭圆c：的右顶点a（2，0），离心率为，o为坐标原点（）求椭圆c的方程；（）已知p（异于点a）为椭圆c上一个动点，过o作线段ap的垂线l交椭圆c于点e，d，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：综合题分析：（）根据a（2，0）是椭圆c的右顶点，可得a=2，利用，可得，从而b2=a2c2=43=1，故可得椭圆c的方程；（）当直线ap的斜率为0时，可得；当直线ap的斜率不为0时，设出直线ap、de的方程，分别与椭圆方程联立，求出|ap|，|de|，进而利用导数，即可确定的取值范围解答：解：（）因为 a（2，0）是椭圆c的右顶点，所以a=2又，所以 所以 b2=a2c2=43=1所以椭圆c的方程为（3分）（）当直线ap的斜率为0时，|ap|=4，de为椭圆c的短轴，则|de|=2，所以（5分）当直线ap的斜率不为0时，设直线ap的方程为y=k（x2），p（x0，y0），则直线de的方程为（6分）由得x2+4k（x2）24=0，即（1+4k2）x216k2x+16k24=0所以，所以 （8分）所以 ，即 类似可求所以（11分）设，则k2=t24，t2令，则所以 g（t）是一个增函数所以 综上，的取值范围是（13分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21