浮点数的表示方法.doc

IEEE浮点数表示法2007年12月10日 星期一 17:36IEEE浮点数表示法-float 共计32位(4字节)由最高到最低位分别是第31、30、29、.、0位31位是符号位，1表示该数为负，0反之3023位，一共8位是指数位(-128127)22 0位，一共23位是尾数位每8位分为一组，分成4组，分别是A组、 B组、 C组、 D组每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA 31 30 23 22 0 |-|-|-| | | | | |-|-|-|注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999 我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。纯整数的表示方法- 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示:1 11100010 01000000也可以这样表示:1 11100010 01000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位:1.11100010 01000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样1 11100010 01000000 =1.11100010 01000000 * (216)现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010 01000000 最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010 01000000 0000000 (MD，这些个0差点没把我数的背过气去) 再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 255的无符号整数，也可以表示-128127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127。 在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为:10001111 123456.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:0 10001111 11100010 01000000 0000000再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了: 00 20 F1 47输出4个字节的浮点数内存数据-#include int main() float f = 123456.0; unsigned char * c = (char *)&f; int i = 0; for (i = 3; i = 0; i-) printf(%pn, ci);0x470xf10x20(nil)整数和小数混合的表示方法- 有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。 按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制: 1111011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000 .，这些位阶分母的关系是101、 102、 103.，现假设每一位的序列是S1、 S2、 S3、 .、 Sn，在这里就是5、 7、 8、 2、 6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1*(1/(101) + S2*(1/(102) + S3*(1/(103) + . + Sn*(1/(10n)把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：n = S1*(1/(b1) + S2*(1/(b2) + S3*(1/(b3) + . + Sn*(1/(bn) 天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了!没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(21)、1/(22)、1/(23)、1/(24)，即0.5、0.25、0.125、0.0625.。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.456这个十进制纯小数，该如何表示呢?现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。 我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：1/21位(为了方便，下面仅用2的指数来表示位)，0.456小于位阶值0.5故为0；1/22位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.456减去0.25得0.206进下一位；1/23位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；1/24位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；1/25位0.0185小于0.03125，为0.。问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲数值计算，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。0.456 0.5 (1/21) 0.456 0.25 1 0.456-0.25*1 = 0.2060.206 0.125 0.206 0.125 1 0.206-0.125*1 = 0.0810.081 0.0625 0.081 0.0625 1 0.081-0.0625*1 = 0.0165 0.0165 0.03125 0.0165 - 0.015625 1 0.0165-0.015625*1= 0.000875 OK，我们继续。嗯，刚说哪了?哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了(最高位的1不存入内存)：1111011. 011101001 01111001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗?当然要加一位喽!”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3.”好了，一共移了6位，6加上127得133(怎么跟教小学生似的?呵呵)，二进制表示为：10000101，符号位为.再.不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧：0 10000101 1110110111010010111100142 F6 E9 7979 E9 F6 42将小数部分换算成二进制-#include #include int main() float f; f = 0.456; int i, j; unsigned char c23; for (i = -1, j = 0; i = -23; i-, j+) if (f pow(2, i) cj = 1; printf(c%d = %dn, j, cj); f = f - pow(2, i); else cj = 0; printf(c%d = %dn, j, cj); 纯小数的表示方法- 下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx*(2n)的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式: n = int(-1+log(2)X); 0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592*(2-5)。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理:1. 01110101100011100010001去掉第一个101110101100011100010001-5 + 127 = 1220 01111010 01110101100011100010001最后：11 C7 3A 3D另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。将十进制的纯小数用二进制表示-#include #include int main() float f; int i, j; f = 0.0456; i = (int)(-1 + log(f)/log(2); f = f / pow(2, i); f = f - 1; unsigned char c23; for (i = -1, j = 0; i = -23;