湖南师大附中高三数学上学期第一次月考试卷 文（含解析）.doc

湖南师大附中2015届高三上学期第一次 月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）a1b1cd2（5分）极坐标方程cos2=4sin 所表示的曲线是（）a一条直线b一个圆c一条抛物线d一条双曲线3（5分）设集合a=x|x1，b=x|x1，则“xa且xb”成立的充要条件是（）a1x1bx1cx1d1x14（5分）如果函数f（x）=sin（x+）（0）是最小正周期为t的偶函数，那么（）at=4，=bt=4，=ct=4，=dt=4，=5（5分）已知a，b为两条直线，为两个平面，下列命题中正确的是（）a若b，b，则b若a，b，则abc若a，b，则d若a，a，则6（5分）若ax2+bx+c0的解集为x|x2或x4，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）af（5）f（2）f（1）bf（5）f（1）f（2）cf（1）f（2）f（5）df（2）f（1）f（5）7（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d由增加的长度决定8（5分）若0，则下列不等式中不正确的是（）aabb2ba+babca2b2d+29（5分）已知an=logn+1（n+2）（nn*），观察下列运算：a1a2=log23log34=2；a1a2a3a4a5a6=log23log34log78=3；若a1a2a3ak（kn*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1a2a3ak=2 014时，“企盼数”k为（）a22014+2b22014c220142d22014410（5分）过点（2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）abcd二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卷对应题号后的横线上11（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取个12（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是13（5分）若直线y=kx与圆x2+y24x+3=0相切，则k的值是14（5分）函数f（x）=x（ex+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为15（5分）当n为正整数时，定义函数n（n）表示n的最大奇因数，如：n（3）=3，n（10）=5，记s（n）=n（1）+n（2）+n（3）+n（2n），则（1）s（3）=（2）s（n）=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+1（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求当x（0，时f（x）的值域17（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组180，210）50.1第二组210，240）100.2第三组240，270）120.24第四组270，300）ab第五组300，330）6c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率18（12分）如图，已知三棱锥pabc中，pc平面abc，abbc，pc=bc=4，ab=2，e、f分别是pb、pa的中点（1）求证：侧面pab侧面pbc；（2）求三棱锥pcef的外接球的表面积19（13分）已知函数f（x）=x3+ax2（a+2）x+b（a，br）在1，1上是减函数（1）求实数a的取值范围；（2）设a1，若对任意实数u、va1，a，不等式|f（u）f（v）|恒成立，求实数a的最小值20（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点a，双曲线虚轴的下端点为b过双曲线的右焦点f（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点p，若点d满足，（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点b作直线l分别交双曲线的左支、右支于m、n两点，且omn的面积somn=，求l的方程21（13分）设不等式组所表示的平面区域为dn，记dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域d2，再求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记数列an的前n项的和为sn，试证明：对任意nn*恒有+成立湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）a1b1cd考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得所给的复数为 ，再根据它为纯虚数，可得a1=0，且 a+10，由此求得a的值解答：解：a是实数，且= 为纯虚数，故有a1=0，且 a+10，解得 a=1，故选b点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）极坐标方程cos2=4sin 所表示的曲线是（）a一条直线b一个圆c一条抛物线d一条双曲线考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：利用即可把极坐标方程化为直角坐标方程，即可判断出解答：解：极坐标方程cos2=4sin化为2cos2=4sin，x2=4y因此极坐标方程cos2=4sin 所表示的曲线是一条抛物线故选：c点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题3（5分）设集合a=x|x1，b=x|x1，则“xa且xb”成立的充要条件是（）a1x1bx1cx1d1x1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题；集合分析：判断“xa且xb”成立的充要条件要分别说明必要性与充分性解答：解：集合a=x|x1，b=x|x1，又“xa且xb”，1x1；又由1x1时，满足xa且xb故选d点评：本题考查了充要条件的求法，要分别说明必要性与充分性属于基础题4（5分）如果函数f（x）=sin（x+）（0）是最小正周期为t的偶函数，那么（）at=4，=bt=4，=ct=4，=dt=4，=考点：三角函数的周期性及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由条件根据正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论解答：解：根据函数f（x）=sin（x+）（0）是最小正周期为t的偶函数，可得t=4，且=，故选：b点评：本题主要考查正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题5（5分）已知a，b为两条直线，为两个平面，下列命题中正确的是（）a若b，b，则b若a，b，则abc若a，b，则d若a，a，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：若b，b，则与相交或平行，故a错误；若a，b，则a与b相交、平行或异面，故b错误；若a，b，则与相交或平行，故c错误；若a，a，则由平面与平面平行的判定定理得，故d正确故选：d点评：本小题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间想象能力和思维能力的培养6（5分）若ax2+bx+c0的解集为x|x2或x4，则对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（）af（5）f（2）f（1）bf（5）f（1）f（2）cf（1）f（2）f（5）df（2）f（1）f（5）考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由于ax2+bx+c0的解集为x|x2或x4，可知；2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a0得到=2，=8因此函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x1）29a可知：a0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1当x1时，函数f（x）单调递减即可得出解答：解：ax2+bx+c0的解集为x|x2或x4，2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a02+4=，24=化为=2，=8函数f（x）=ax2+bx+c=a=a（x22x8）=a（x1）29aa0，抛物线开口向下，且对称轴为x=1当x1时，函数f（x）单调递减，f（5）f（3）f（2），f（3）=f（1），f（5）f（1）f（2）故选：b点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题7（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d由增加的长度决定考点：余弦定理 专题：计算题分析：先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形解答：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大而（a+x）2+（b+x）2（c+x）2=x2+2（a+bc）x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=0，则为锐角，那么它为锐角三角形故选a点评：考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力8（5分）若0，则下列不等式中不正确的是（）aabb2ba+babca2b2d+2考点：不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由于0，可得ba0，因此b2a2，即可得出解答：解：0，ba0，b2a2，因此c不正确故选：c点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题9（5分）已知an=logn+1（n+2）（nn*），观察下列运算：a1a2=log23log34=2；a1a2a3a4a5a6=log23log34log78=3；若a1a2a3ak（kn*）为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1a2a3ak=2 014时，“企盼数”k为（）a22014+2b22014c220142d220144考点：数列与函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得lg（k+2）=lg 22014，由此能求出k解答：解：由已知得a1a2a3ak=2 014，lg（k+2）=lg 22014，解得k=220142故选：c点评：本题考查“企盼数”k的求法，是中档题，解题时要注意对数性质的合理运用10（5分）过点（2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于（）abcd考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对抛物线y=，y=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x22kx4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率解答：解：对抛物线y=，y=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x22kx4k=0，设两个交点是a（x1，y1），b（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=1k=且满足0故选：c点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卷对应题号后的横线上11（5分）在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取12个考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解答：解：在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，二等品中应抽取个，故答案为：12点评：本题主要考查分层抽样的应用，建立比例关系是解决本题的关键12（5分）阅读框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是b（或0.90.3）考点：选择结构 专题：算法和程序框图分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质比较0.80.3，0.90.3，log50.9三个数的大小，由框图即可确定输出的数解答：解：指数函数和对数函数的图象和性质可知0.80.30.90.3，且0.90.3log50.9，执行框图流程可知输出的数为：b（或0.90.3）故答案为：b（或0.90.3）点评：本题主要考查流程图和算法以及指数函数、对数函数的图象和性质，属于基础题13（5分）若直线y=kx与圆x2+y24x+3=0相切，则k的值是考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：先根据圆的方程求出圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值解答：解：圆x2+y24x+3=0，即（x2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心、半径等于1的圆根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得 k=故答案为：点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题14（5分）函数f（x）=x（ex+1）+x2，则函数f（x）的单调增区间为（1，+）（注：1，+）也可）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的概念及应用分析：只需在定义域内解不等式f（x）0，注意定义域的书写形式解答：解：f（x）=ex+1+xex+x=（ex+1）（x+1），令f（x）0，得x1，函数f（x）的单调增区间为（1，+），故答案为：（1，+）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，求f（x）的增区间只需解f（x）0，求减区间只需解f（x）0，注意单调区间为定义域的子集15（5分）当n为正整数时，定义函数n（n）表示n的最大奇因数，如：n（3）=3，n（10）=5，记s（n）=n（1）+n（2）+n（3）+n（2n），则（1）s（3）=22（2）s（n）=考点：函数的值 专题：计算题；新定义分析：（1）由题意可得，s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（8），分别寻求每一项的值，然后可求（2）先根据题意求出当n=1时，s（1）=n（1）+n（2），s（2）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4），s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（8），s（4）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（16），根据值出现的规律总结一般规律，然后可求解答：解：（1）由题意可得，s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22（2）由题意可得，当n=1时，s（1）=n（1）+n（2）=1+1=2当n=2时，s（2）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）=n（1）+n（3）+n（21）+n（41）=（1+3）+1+1=22+2当n=3时，s（3）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（8）=n（1）+n（3）+n（5）+n（7）+n（2）+n（6）+n（4）+n（8）=（1+3+5+7）+（1+3）+（1+1）=24+22+2当n=4，s（4）=n（1）+n（2）+n（3）+n（4）+n（16）=n（1）+n（3）+n（5）+n（15）+n（2）+n（6）+n（10）+n（14）+n（4）+n（8）+n（12）+n（16）=（1+3+5+7+9+11+13+15）+（1+3+5+7）+（1+1+3+1）=64+16+6=26+24+22+2n=5，s（5）=n（1）+n（2）+n（3）+n（32）=n（1）+n（3）+n（5）+n（31）+n（2）+n（6）+n（10）+n（30）+n（4）+n（8）+n（32）=（1+3+5+31）+（1+3+5+15）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=256+64+22=28+26+24+22+2s（n）=n（1）+n（2）+n（3）+n（2n）=n（1）+n（3）+n（5）+n（2n1）+n（2）+n（6）+n（10）+n（2n2）+n（4）+n（8）+n（2n）=22n2+22n4+22+2=2=故答案为：22，点评：本题以新定义为载体，主要考查了函数的函数值的求解，解题的关键是根据前几项的值寻求函数值出现的规律三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+1（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）求当x（0，时f（x）的值域考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+，由此根据周期为求得的值（2）当x（0，时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域解答：解：（1）f（x）=sinxcosx+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+0，t=，=2（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+，0x，2x+，sin（2x+）1，1f（x），即f（x）的值域是1，点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题17（12分）某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组180，210）50.1第二组210，240）100.2第三组240，270）120.24第四组270，300）ab第五组300，330）6c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b=0，34，c=0.12；（2）分层抽样的抽取比例为，在第二组学生中应抽取10=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表18（12分）如图，已知三棱锥pabc中，pc平面abc，abbc，pc=bc=4，ab=2，e、f分别是pb、pa的中点（1）求证：侧面pab侧面pbc；（2）求三棱锥pcef的外接球的表面积考点：平面与平面垂直的判定；球内接多面体 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由已知得abpc，abbc，从而ab侧面pbc，由此能证明侧面pab侧面pbc（2）由已知得cepb，ceef从而ef侧面pbc，故ec、ef、ep两两垂直，从而三棱锥pcef的外接球就是以ec、ef、ep为长、宽、高的长方体的外接球，由此能求出三棱锥pcef的外接球的表面积解答：（1）证明：pc平面abc，abpc，又abbc，则ab侧面pbc，ab侧面pab，故侧面pab侧面pbc（6分）（2）解：pc=bc=4，e为pb的中点，cepb，而侧面pab垂直侧面pbc于pb，ceef由e、f分别是pb、pa的中点有efab，则ef侧面pbc故ec、ef、ep两两垂直，（9分）三棱锥pcef的外接球就是以ec、ef、ep为长、宽、高的长方体的外接球，由已知得ec=ep=2，ef=1，其外接球的直径是=，故所求三棱锥pcef的外接球的表面积是=17（12分）点评：本题考查侧面pab侧面pbc的证明，考查三棱锥pcef的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（13分）已知函数f（x）=x3+ax2（a+2）x+b（a，br）在1，1上是减函数（1）求实数a的取值范围；（2）设a1，若对任意实数u、va1，a，不等式|f（u）f（v）|恒成立，求实数a的最小值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）由已知得x1，1时，f（x）=x2+axa20恒成立，由此能求出a（2）由已知得a1，a10，a1，a1，1，f（x）在a1，a上是减函数，从而得到fmaxfmin，由此能求出实数a的最小值解答：解：（1）f（x）=x3+ax2（a+2）x+b，f（x）=x2+axa2，由函数f（x）=x3+ax2（a+2）x+b（a，br）在1，1上是减函数得：x1，1时，f（x）=x2+axa20恒成立（3分），解得a（6分）（2）a1，a10，a1，a1，1，故f（x）在a1，a上是减函数，（7分）fmax=f（a1）=（a1）3+a（a1）2（a+2）（a1）+b，fmin=f（a）=a3+a3a（a+2）+b依条件有fmaxfmin，fmaxfmin=2a2+a+，（11分）即8a210a+30，a或a，a1，amin=（13分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题重点考查学生的代数推理论证能力解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用20（13分）如图，已知双曲线，其右准线交x轴于点a，双曲线虚轴的下端点为b过双曲线的右焦点f（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点p，若点d满足，（1）求双曲线的离心率；（2）若a=2，过点b作直线l分别交双曲