湖南省五市十校联考高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

湖南省五市十校联考2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集u=r，a=x|x2，b=x|x1，则集合a（ub）=（）ax|2x1bx|x1cx|2x1dx|x22（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则（）a月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系b月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系c月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系d月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系3（5分）下列选项叙述错误的是（）a命题“若x0，则ex1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”b“x2”是“1”的充分不必要条件c若命题p：xr，x2+x+10，则p：x0r，使得x02+x0+10d若pq为假命题，则p，q均为假命题4（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）abcd5（5分）如图所示的程序框图是给出计算+的值，则判断框内应填入的条件是（）ai403？bi403？ci404？di404？6（5分）在等腰三角形abc中，ab=ac=1，bac=90，点e为斜边bc的中点，点m在线段ab上运动，则的取值范围是（）a，b，1c，1d0，17（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d08（5分）如图所示，矩形oabc内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x（0，）及直线x=（0，）与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）abcd9（5分）已知当x1，2）时，f（x）=|x|；当x1，+）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1x12）的根的个数为（）a4b5c6d710（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交抛物线y2=4cx于点p，o为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）abcd二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分11（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为12（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是13（5分）若等差数列an的前n项和为sn，且s9=24，则tana5=14（5分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，br），xr，恒有f（x）f（），则的值为15（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为三、解答题：本大题共5个小题，共75分请写出必要的文字说明和演算步骤16（12分）如图所示，在xoy平面上，点a（1，0），点b在单位圆上aob=（0）（1）若点b（，），求tan（2+）的值；（2）若+=，四边形oacb的面积用s四表示，求s四+的取值范围17（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y=+24问：x设定为多少最佳？并说明理由18（12分）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，abc=60，平面pab平面abcd，pa=pb=ab（1）证明：pcab； （2）求二面角bpcd的余弦值19（13分）在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：20（13分）如图所示，椭圆c：的焦点为f1（0，c），f2（0，c）（c0），抛物线x2=2py（p0）的焦点与f1重合，过f2的直线l与抛物线p相切，切点在第一象限，且与椭圆c相交于a，b两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若oef2的面积为1，e为直线与曲线的切点，求抛物线c2的方程；（3）当2，4时，求椭圆的离心率e的取值范围21（13分）设函数f（x）=（1）判断函数f（x）在区间（0，2）上的单调性；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，求证：f（）0湖南省五市十校联考2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集u=r，a=x|x2，b=x|x1，则集合a（ub）=（）ax|2x1bx|x1cx|2x1dx|x2考点：补集及其运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算即可得到结论解答：解：b=x|x1，ub=x|x1，则a（ub）=x|2x1，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合交并补运算，比较基础2（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根据统计资料，则（）a月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系b月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系c月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系d月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系考点：变量间的相关关系 专题：计算题；概率与统计分析：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系解答：解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：c点评：本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础3（5分）下列选项叙述错误的是（）a命题“若x0，则ex1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”b“x2”是“1”的充分不必要条件c若命题p：xr，x2+x+10，则p：x0r，使得x02+x0+10d若pq为假命题，则p，q均为假命题考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：a利用原命题的逆否命题定义即可得出；b由1，解得x2或x1，即可判断出；c利用命题的否定定义即可得出；d若pq为假命题，则p与q至少有一个均为假命题，即可判断出解答：解：对于a“若x0，则ex1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”，正确；对于b由1，解得x2或x1，“x2”是“1”的充分不必要条件，因此正确；对于c命题p：xr，x2+x+10，则p：x0r，使得x02+x0+10，正确；对于d若pq为假命题，则p与q至少有一个均为假命题，因此不正确故选：d点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题4（5分）某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）abcd考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为锥体解答：解：易知该几何体为锥体，故其底面面积为1；故俯视图可能为a，b，c三个选项中的图形，若俯视图为三角形，即选项a，则底面面积为，故不成立，若俯视图为扇形，即选项b，则底面面积为，故不成立，若俯视图为正方形，即选项c，则底面面积为1，故成立；故选c点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力5（5分）如图所示的程序框图是给出计算+的值，则判断框内应填入的条件是（）ai403？bi403？ci404？di404？考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序图的运行过程，得出该程序运行的结果是什么，由此得出判断框内应填入的条件解答：解：根据题意，模拟程序图的运行过程，得；该程序运行后是计算+的值，累加变量是i=i+1，且在满足条件的情况下运行循环体，共运行了403次；判断框内应填入的条件是i403？故选：a点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目6（5分）在等腰三角形abc中，ab=ac=1，bac=90，点e为斜边bc的中点，点m在线段ab上运动，则的取值范围是（）a，b，1c，1d0，1考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用分析：以a为坐标原点，ab，ac所在直线为y，x轴建立直角坐标系，分别求得a，b，c，e的坐标，再设m的坐标，求出向量me，mc的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法即可得到解答：解：以a为坐标原点，ab，ac所在直线为y，x轴建立直角坐标系，则a（0，0），b（0，1），c（1，0），e（，），设m（0，m），（0m1）则=（，m），=（1，m），=m（m）=m2m+=（m）2+，由于0，1，则取得最小值，且为，当m=1时，取得最大值，且为1则有的取值范围是，1故选b点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，考查二次函数的最值问题，属于中档题和易错题7（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d0考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为6即x+y=6经过点b时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由得，即a（3，3），直线y=k过a，k=3由，解得，即b（6，3）此时z的最小值为z=6+3=3，故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法8（5分）如图所示，矩形oabc内的阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x（0，）及直线x=（0，）与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意可得，是与面积有关的几何概率，分别求出构成试验的全部区域是矩形oabc的面积，构成事件a的区域即为阴影部分面积为sinxdx=cosx|=1cosa，代入几何概率的计算公式可求解答：解：由题意可得，是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域是矩形oacb，面积为：=4记“向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件a，则构成事件a的区域即为阴影部分面积为0sinxdx=cosx|=1cos由几何概率的计算公式可得p（a）=，解得cos=，所以=；故选：b点评：本题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的面积，考查了利用积分计算不规则图象的面积9（5分）已知当x1，2）时，f（x）=|x|；当x1，+）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1x12）的根的个数为（）a4b5c6d7考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：由题意作图的图象，有图象的交点确定根的个数解答：解：f（2x）=2f（x），f（x）=2f（）；故f（x）=；方程f（x）=log8x（1x12）的根的个数即函数y=f（x）与函数y=log8x的交点的个数，作函数图象如下，共有4个交点，故选a点评：本题考查了函数的图象的应用及与方程的关系，属于基础题10（5分）过双曲线=1（a0，b0）的左焦点f（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为e，延长fe交抛物线y2=4cx于点p，o为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题设知|ef|=b，|pf|=2b，|pf|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得p的坐标，进而得到c2aca2=0，再由离心率公式，计算即可得到解答：解：|of|=c，|oe|=a，oeef，|ef|=b，=（+），e为pf的中点，|op|=|of|=c，|pf|=2b，设f（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则eo为三角形pff的中位线，则|pf|=2|oe|=2a，可令p的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|pf|=m+c=2a，m=2ac，n2=4c（2ac），又|op|=c，即有c2=（2ac）2+4c（2ac），化简可得，c2aca2=0，由于e=，则有e2e1=0，由于e1，解得，e=故选：a点评：本题主要考查抛物线和双曲线的标准方程和简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题二、填空题：本大题共5分，每小题5分，共25分11（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1+3i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z=13i，则复数z的共轭复数为1+3i，故答案为：1+3i点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题12（5分）在二项式（+）10的展开式中，常数项是180考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项解答：解：二项式（+）10的展开式的通项公式为tr+1=2r，令5r=0，则r=2，常数项是=180，故答案为：180点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题13（5分）若等差数列an的前n项和为sn，且s9=24，则tana5=考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质结合s9=24求得a5，则tana5可求解答：解：在等差数列an中，由s9=9a5=24，得，tana5=故答案为：点评：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，是基础题14（5分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，br），xr，恒有f（x）f（），则的值为考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由题意，当x=时，函数f（x）取得最值|f（）|，即|a+b|=，化为a=b，从而可求的值解答：解：由题意函数f（x）=asinx+bcosx，恒有f（x）f（），可知：当x=时，函数f（x）取得最值|f（）|，即|a+b|=，化为a=b，则的值为，故答案为：点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查15（5分）已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数，且f（x）xf（x），则不等式的解集为x|0x1考点：利用导数研究函数的单调性 专题：常规题型分析：由已知当x0时，总有f（x）xf（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案解答：解：设g（x）=，则g（x）=，f（x）xf（x），xf（x）f（x）0，g（x）0，g（x）在（0，+）为减函数，x0，0x1故答案为：x|0x1点评：本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题三、解答题：本大题共5个小题，共75分请写出必要的文字说明和演算步骤16（12分）如图所示，在xoy平面上，点a（1，0），点b在单位圆上aob=（0）（1）若点b（，），求tan（2+）的值；（2）若+=，四边形oacb的面积用s四表示，求s四+的取值范围考点：平面向量数量积的运算；单位圆与周期性 专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用分析：（1）利用任意角的三角函数定义可得sin，cos，再利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式，计算即可得出；（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得s四+的=sin+cos+1，再利用两角和的正弦公式和正弦函数的性质即可得出解答：解：（1）b（，），aob=，tan=tan2=，则tan（2+）=；（2）s四=|oa|ob|sin（）=sin，=（1，0），=（cos，sin），=+=（1+cos，sin），=1+cos，s四+=sin+cos+1=sin（+）+1（0），sin（）1，0s四+的点评：本题综合考查了任意角的三角函数定义、二倍角公式、两角和差的正切公式、向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式、两角和的正弦公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题17（12分）商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y=+24问：x设定为多少最佳？并说明理由考点：函数模型的选择与应用 专题：概率与统计分析：（1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为ai，i=1，2，由等可能事件的概率计算可得p（a1）与p（a2），进而由一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为x元，分析可得x的可能取值为x，0；计算可得p（x=x）以及p（x=），结合题意计算即可得答案解答：解：（2）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为ai，i=1，2，则p（a1）=，p（a2）=，则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为p（a1+a2）=p（a1）+p（a2）=（4分）（）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为x元，则x的可能取值为x，0由（）得p（x=x）=，p（x=）=，e（x）=（9分）该商场每天销售这种饮品所得平均利润y=y（3620）e（x）=（=（x48）2+432当x=48时，y最大故x设定为48（元）为最佳（12分）点评：本题考查与概率有关的应用问题，涉及等可能事件、互斥事件的概率计算以及离散型随机变量的均值的计算，考查学生的计算能力18（12分）如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，abc=60，平面pab平面abcd，pa=pb=ab（1）证明：pcab； （2）求二面角bpcd的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）取ab中点o，连结po，co，由已知条件推导出ab平面poc，由此能证明pcab（2）以o为原点，ob为x轴，oc为y轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角bpcd的余弦值解答：（1）证明：取ab中点o，连结po，co，四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，abc=60，pa=pb=abpoab，coab，poco=o，ab平面poc，pc平面poc，pcab（2）解：平面pab平面abcd，coab，poab，以o为原点，ob为x轴，oc为y轴，op为z轴，建立空间直角坐标系，设pa=pb=ab=2，则b（1，0，0），p（0，0，），c（0，0），d（2，0），=（1，0，），=（0，），=（2，），设平面bpc的法向量，则，取x=，得=（，1，1），设平面pcd的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角bpcd的平面角为，cos=|cos|=|=二面角bpcd的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（13分）在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法 专题：综合题；压轴题分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出ak和bk的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可（2）先n=1时，不等式成立，进而看n2时利用（1）中的an，bn的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设解答：解：（1）由条件得2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，那么当n=k+1时，ak+1=2bkak=2（k+1）2k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1=（k+2）2所以当n=k+1时，结论也成立由，可知an=n（n+1），bn=（n+1）2对一切正整数都成立（2）证明：n2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）2（n+1）n故=综上，原不等式成立点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力20（13分）如图所示，椭圆c：的焦点为f1（0，c），f2（0，c）（c0），抛物线x2=2py（p0）的焦点与f1重合，过f2的直线l与抛物线p相切，切点在第一象限，且与椭圆c相交于a，b两点，且（1）求证：切线l的斜率为定值；（2）若oef2的面积为1，e为直线与曲线的切点，求抛物线c2的方程；（3）当2，4时，求椭圆的离心率e的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由于抛物线x2=2py（p0）的焦点与f1重合，可得设切点为m（x0，y0）（x00）由抛物线x2=2py，可得y=，可得切线l的斜率k=因此切线的方程为：，与抛物线的方程联立可得x22x0x+2pc=0，利用=0，可得x0=2c，即可证明切线l的斜率为定值（2）由（1）可得=1，可得x0=p利用=即可得出（3）设a（x1，y1），b（x2，y2）由（1）可得x0=2c，p=2c，切线方程为y=xc与椭圆方程联立可得（a2+b2）x22b2cxb4=0，利用根与系数的关系及其向量运算可得=根据2，4即可得出解答：（1）证明：抛物线x2=2py（p0）的焦点与f1重合，设切点为m（x