第七届中国东南地区数学奥林匹克.pdf

2 0 1 0 年第1 2 期 第七届中国东南地区数学奥林匹克 中圈分类号 C 4 2 4 7 9文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 1 2 0 0 2 9 0 4 第一天 1 设口 b c 0 1 9 若二次方程 a x 2 h c 0 有有理根 证明 三位数a b c 不 是质数 张鹏程供题 2 对于集合A 口 a 2 口 记 P A 口l 口2 口 设A l A 2 A n c 凳l o 是集合 1 2 20 1 0 的所有9 9 元子集 求证 20 1 1l P A i 叶永南供题 3 如图1 已 知 A B C 内切圆 o 分别与边A B B C 切于点F D 直线A D C F 分别 与O 交于另一点 日 K 求证 F D H K F H D K J 图l 熊斌供题 4 设正整数a b 满足1 D b 1 0 0 若 存在正整数k 使得口6I 口 b 则称数对 口 b 是 好数对 求所有好数对的个数 熊斌供题 第二天 5 如图2 A B C 为直角三角形 A C B 9 0 0 M 1 M 2 为 A B C 内任意两 点 肼为线段 鸩的中点 直线 B M l B M 2 B M 与曰 边A C 分别交于点 l 2 求证 图2 等 警 筹 裘宗沪供题 6 设Z 为正整数集合 定义 口 2 口川 曲引耋寺 延z n 幺 求证 a 川 a 一a 1 李胜宏供题 7 设 是一个正整数 实数口l 口2 口 和r l r 2 r 满足 口l 口2 口 j F 0 r 1 r 2 r 求证 a i a i m i n r o o 朱华伟供题 8 在一个圆周上给定8 个点A A A 求最小的正整数n 使得以这8 个点为顶 点的任意I g 个三角形中 必存在两个有公共 边的三角形 陶平生供题 参考答案 第一天 1 用反证法 假设a b c p 是质数 则由二次方程八名 a x 2 b x c 0 的有理根是 一b 际 髫I 22 1 了 易知 b 2 4 a c 为完全平方数 茗 石 均为负 数 且以茗 口 戈一菇1 菇一茹2 故 P 以1 0 口 1 0 一聋 1 0 一茄2 4 a p 2 0 a 一2 似1 2 0 a 一2 似2 易知 2 0 a 一2 a x l 2 0 a 一2 a x 2 均为正整 数 从而 PI 2 0 a 一2 a x I 或PI 2 0 a 一2 a x 2 万方数据 中等数学 不妨设P I 2 0 a 一2 毗 则 p 一 一2 0 a 一2 仳2 与x 2 为负数矛盾 所以 三位数a b c 不是质数 2 证法1 对于集合 l 2 2o l o 的 每个9 9 元子集A 口 口 口钟 其与 B i 6 b 6 9 9 一对应 其中 b I 20 1 l 一口 矗 l 2 9 9 旦 因为 6 I 9 9x 2o l l 奇数 所 t 1 以 集合A 鼠 而P A i 尸 B i 口心 口辨 20 1 1 一口 i 1 9 9 量a 心 口钟 一a i i l 0 m o d20 1 1 故2 P A Ii 1 f f i 0 m o d20 1 1 P A P i B i 因此 20 1 1I 宝P A i l 证明2 构造多项式 20 1 0 以n n i 一万2 m 0 20 1 01 t 其中 I I Z 又一 P A 就是多项式八n 中玎的 19 1 1 次项的系数 故20 1 1l P A i 3 设A F 戈 B F y C D 厄 由斯特瓦尔特定理得 A D 2 丽B D A C 2 丽C D A B 2 一B D D C 注意到20 1 1 为质数 由威尔逊定理知 20 1 01 善一l m o d20 1 1 又由费马定理 当20 1 1 卜n 时 舻m o 暑1 m o d20 1 1 所以 对于每个n Z 1 当20 1 1 H 时 20 1 0 以 1 葺I n i O m o d20 1 1 2 当20 1 1n 时 理得 2 0 1 0 以n 看儿 l i 2 0 1 01 20 1 01 20 1 01 o m o d20 1 1 即对于每个n Z 都有20 1 1I 以n 而以n 是一个20 0 9 次多项式 于是 以 1 的各项系数都能被20 l l 整除 丛型尘土亟业一竹 茗 鲤 v z z 由切割线毫理得A H 等 嘉 放肋 A D A H A D 2 矿 x 2 历4 x y 两z 腿 K F2 葫 因为 C D K G O C r D 所以 D K 百D F C D 而D F z 又因为 A F H A D F 所以 朋 1 D F 矿 A F 而D F 由余弦定理得 D P B D 2 B F 2 2 B D B F c o sB 妒 t 一虹瓷 铲 一 垒型三三 一 苴 Y 彳 堡坐 垒望 故婴塑 鲻丛吐丝垃盟 F H D K D FD F A D C F 丽者Y 惫百 D P x y z 一 K F H D D F H K F H D K 再结合式 即得膦 3 4 令a b d a s d b t d s t 1 t s 于是 s M 2I 矿 s 因为 s t s 1 所以 s tl d 万方数据 2 0 1 0 年第1 2 期 3 l 于是 S t 的所有质因子都能整除d 若s 或t 中有一个不小于1 1 的质因子 p 则p l d 于是 P 2l 口或P 2 b 而P 2 1 0 0 矛盾 因此 S t 的质因子只可能是2 3 5 7 若S t 的质因子中2 3 5 7 至少出现三 个 则 d t 2X3 5 3 0 从而 m a x 口 b 5 d 1 0 0 矛盾 若S t 的质因子集是 3 7 则 m 旺 口 6 7 3 7 1 0 0 矛盾 同样 S t 的质因子集也不可能是 5 7 若S t 的质因子集是 3 5 d 只能为1 5 此时 s 3 t 5 所以 口 b 4 5 7 5 共 1 个好数对 若s t 的质因子集是 2 7 d 只能为1 4 此时 s t 2 7 4 7 所以 口 6 2 s 9 s 5 6 9 s 共2 个好数对 若s t 的质因子集是 2 5 d 只能为1 0 2 0 当d 1 0 时 s t 2 5 1 1 0 4 5 5 8 当d 2 0 时 s t 2 5 4 5 共6 个好数对 若s t 的质因子集是 2 3 d 只能是6 1 2 1 8 2 4 3 0 当d 6 时 s t 1 6 1 1 2 2 3 2 9 3 4 3 8 3 1 6 4 9 8 9 9 1 6 当d 1 2 时 s t 1 6 2 3 3 4 3 8 当d 1 8 时 s t 2 3 3 4 当d 2 4 时 s t 2 3 3 4 当d 3 0 时 s t 2 3 共1 9 个好数对 若S t 的质因子集是 7 则 s t 1 7 d 只能是7 1 4 共2 个好数对 若s t 的质因子集是 5 则 5 t 1 5 d 只能是5 1 0 1 5 2 0 共4 个好数对 若s t 的质因子集是 3 则 当 s t 1 3 时 d 只能是3 6 3 3 当 s t 1 9 时 d 只能是3 6 9 当 s t 1 2 7 时 d 只能是3 共1 5 个好数对 若s t 的质因子集是 2 则 当 s t 1 2 时 d 只能是2 4 5 0 当 5 t 1 4 时 d 只能是2 4 2 4 当 s t 1 8 时 d 只能是2 4 1 2 当 s t 1 1 6 时 d 只能是2 4 6 当 s t 1 3 2 时 d 只能是2 共4 7 个好数对 因此 好数对共有 1 2 6 1 9 2 4 1 5 4 7 9 6 个 第二天 5 设H 日 日分别为点M 鸩 肘在直 线B C 上的投影 则 M 1 N I H L cM 2 N 2 H 2 C B M l B H l B M 2 一B H 2 M NH CH l C H 2 c B M B I t B H l B H 2 不妨设B C 1 B H l 茗 观 则 M L N lH I C1 一x B M l 一删1 一菇 M 2 N 2H 2 C1 一丫 面M2 丽2 一Y B B M N H C L 二兰 l z B M B H 一 聋 Y 于是 原不等式等价于 也 生 2 L 型虫 童 Y菇 Y 4 土 土 菇 Y 菇 Y 即 茹一 2 0 这显然成立 故原不等式成立 6 由a i 2 及式 考虑丢 丁1 2 万方数据 3 2 中等数学 从向 口2 3 即当n 1 时 结论成立 假设对所有的n J 一1 j 2 结论成立 当 k 时 由式 考虑 骞丢 孔 一骞 下面证明 1 一蜜 毪 口I 1 由于假设对于2 n 后 a 口 一 口 一 一1 1 士 1 1 1l 碉再2 云忑 j 可2 云j 一石 即石1I 士I 一者 口 口n 一一l口B l 求和得蚤k 石1 l i b 即 骞吉小再1 去小 五 于是 一砉 吨 t z k 1 故吼 血n Af 砉去 T 1 A z 口 口I 一1 1 由数学归纳法 知对所有正整数n 有 口 I 口 一口 1 7 住凡 n 的新嘉 A l2 a l a 2 r l a 2 1 2 2 r 2 口B 2 1 2 由于 口i a j r a i n r l r j 的第i i l i 1J 1 2 n 项 a i a m i n r i 就是数表中第i J 1 行各元素的和 因此 a l a f m i n r i o 就 是数表A 中所有元素的和 另外 此和也可以按以下方式求得 先取出数表A 中第一行 第一列的各元 素 并求其和 剩下的数表记为A 再取出数 表A 中第一行 第一列的各元素 并求其和 剩下的数表记为A 如此得 a i a j m i n r o r 口 2 a 口i 骞 吼 i 耋 a 1 2 一 耋 a i 2 毒以 耋q 2 一 i 耋1 口i 2 k 宝 lr k 塞a i 2 一莹k lrkli i 耋1 口i 2 I I 7 骞 耋q 2一k宝 21 i 2k 砉i 口i 2 I I 奎 一 一 宝口i 2 o 此处约 定r 0 0 因此 结论得证 8 先考虑两两无公共边的三角形个数的 最大值r 而八个点每两点连一条弦 共得c 2 8 条弦 r 如果每条弦只属于一个三角形 则这些 弦至多能构成两两无公共边的三角形个数 r 警 9 个 但若有九个这样的三角形 共得2 7 个顶点 则八个点中必有一个点 设为A 至少属于四个三角形 共顶点A 的 四个三角形 A 的对边都是A A A 之中 的两点连线 其中必有一点 设为A 出现了 两次 于是 相应的两个三角形将有一条公共 边A 8 A I 矛盾 因此 r 8 另一方面 可以作t B A 个三角形 使得其 中任两个三角形都无公共边 注意到这样的八个三角形 共产生2 4 个 顶点 且每点至多属于三个三角形 故每点恰 好属于三个三角形 即每点度数皆为6 万方数据 2 0 1 0 年第1 2 期 3 3 课外训练 羧孥翕簿蜃禽劫啥锄豫韪 1 3 6 中圈分类号 G 4 2 4 7 9文献标识码 A文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 1 2 0 0 3 3 0 4 第一试 一 选择题 每小题7 分 共4 2 分 1 设a b c 为正实数 满足 口2 b b c b 2 C C 口 则 A 告 i 1 了1 B i 1 了1 c 寻i 1 i 1 D 吾 i 1 1 6 2 对于每个茹 函数Y 是 Y I 2 x 扎 X 2 Y 3 一h4 1 2 这三个函数的最小值 则函数 的最大值是 A 4 B 6 c 警 D 孚 3 如图1 边长为 的正 XD E F 的三个 顶点恰好在边长为m 的正 A B C 的各边上 则 A E F 的内切圆半径为 A 譬 m 训 B 譬 m 刊 c 孚 m 川 D 譬 m 训 B 冬c 丛c 图1图2 4 在等边 A B C 中 D E 分别是B C A C 上的点 且A E C D 联结A D B E 交于点P 联结P C 若P B 2 P A 则 C P D 的度数是 A 3 0 B 4 5 0 c 6 0 0 D 7 5 0 5 设二次函数Y 一矿 戈4 6 b O Y 2 0 B y l 0 Y 2 0 c y l O D y l 0 Y 2 O 6 如图3 A B 为半圆0 0 的直径 C 为半 圆弧上的一个动点 半圆弧中点及直径的两 个端点除外 分别联结A C B C 作C D 上A B 于点D 作o D 与A D 切于点E 与C D 及o D 为简明起见 如图3 取圆周的八等分点 作为图G 的八个顶 点 作8 阶完全图 然后去掉其中四条7 直径 于是 共得2