例析以正方形为背景的数学竞赛题.pdf

2 中 等 数 学 出学 动锞程讲屋 例 析 以正方形为背景的数 学竞赛题 张 宏 政 浙江省舟山市南海实验学校初 中部 3 1 6 0 2 1 本讲适合初 中 分析 1 如 图 正方形作为一种简单而优美的图形 既 2 由 为A E的中 反映了特殊四边形的所有特征 又能与图形 点联想到中位线 变换等重要 的几何方法有机地融为一体 因 而 另 一 个 中 点 最 此 近年来以正方形为背景 的试题在各级各 容 易 想 到 的便 是 类数学竞赛中屡屡现身 本文采撷几例作分 正方形 的对 称 中 类解析 心 于 是 联 结 1 恰当运用正方形的性质 在问题解决 的过程 中 要认真分析题 目 的条件与结论 根据有关 信息和 图形 的结构 特点合理选择正方形 的性质 从而发现解决 问题 的突破 口 例 1 如 图 1 在正方 形 A B C D 中 E是 B C上 的定点 且 B E 1 0 E C 1 4 P是 B D 上的动点 则 咫 P C的最小值是 2 O O 6 浙江省初中数学竞赛复赛 分析 考虑两条线 段和的最小值 比较容 易想 到的是利用 性质 两点之间线段最短 这就需要把其中一条 B 线段变换到另一侧 于 是 由正方形的轴对称 图l D C 性 如图 1 可知 A P P C 故 咫 P c A P P E 所以 当点 P在 A E上时 P E P C最 小 且由勾股定理可得最小值为2 6 例 2 如 图 2 正方 形 A B C D 正 方 形 C G E F的边长分别是 2 3 且点 C G在同 一 直线上 是线段 A E的中点 联结 M F 则 MF的长为 2 0 0 6 浙江省初中数学竞赛初赛 收稿 日期 2 0 0 8 0 2 2 3 修回 日期 2 O O 8 0 5 2 l C G 图 2 F G C E交于点 0 再联结 A C 易知 F G A C 联结 M O 由 M O为 A C E的中位线知 MO A C 从而 F M 0 G四点共线 故 F M FO MO 1粥 一 1 AC 分析 2 如 图 3 由 为 A E 的 中 点 联 想 到 中位 线 如考虑让 点 F 成 为 中点 则 延长 E F到 M 皇 二 A D C G 图 3 使 E F 删 于是 2 F M 而 A t t的长可 构造直角三角形来计算 即过点 A作 A K l E H于 K 则 H K 1 A K F D 1 故 A t t 所以 F M 二 分 析 3 如 图 4 由 为 A E 的 中点 又 A D E F 直接考虑把 F M E 绕 旋转 1 8 0 故 的对 称点 为 C G 图 4 F M与 A D 的延 长线 的交点 所 以 维普资讯 2 O O 8年第 8 期 3 2 F M 而 D F A F 一A D E F A D 1 F D 1 故 所以 F M 例 3 如 图 5 四边 形 A B C D 为 正 方形 o0过正方形 的顶 点 A和 对角 线 的交点 P 并 分别交 A B A D于点 F E 图5 D C 1 求证 D E A F 2 若 o 0的半径为 A B 1 求 的值 第 2 1 届江苏省初中数学竞赛 分析 1 容易想到联结 E P F P 以证 明 f D E P c o f A 而这 由 A B C D 为正方形 有 D 尸 A P A D P B A P 4 5 1 8 0 一 B A D 9 0 0 A P D 故 E P D A P F证得 2 联结 E F 因 B AD 9 0 故 E F为直 径 则 3 由勾股定理得 A E A F E F 2 而 E A F E E D 2 1 故 A E 2 1 一A E 3 解得 A E 2 或 1 于是 相应 的 E D 1 或 2 所 以 历A E 或 2 注 本题 的构造实际上充分利用 了正方 形的性质 而运用 方程思想把几何 问题代数 化 则是解几何计算题 中的常用思想方法 2 灵活进行图形的变换 几何证 明之难往 往在于条件过于分散 这时就需要通过适当的几何变换把分散的条 件有效地聚集起来 而正方形 的特点恰恰 为 几何变换创造了必要的条件 例 4 如 图 6 点 A 在 线 段 B G 上 四 边 形 A B C D 昶D EF G 都是 正 方 形 面 积分 别 为 7 和l l c m 2 求 f C D E的面积 A G 图 6 1 9 9 9 全国初中数学联赛武汉选拔赛 分析 由于 C D 7 故只要求边 C D上 的高 删 如图 6 由条件易知f E D H是 由f D A G绕点 D 旋转 9 0 0 得到的 所 以 E l i A G D G 2 AD z 2 故 Js 7 c m 例 5 如 图 7 已知 在 梯 形A B C D A B C D 以 AD B C为 边 分 别 向 外 作 正方 形 图 7 AD E F与正方形 B C G H 为线段 E G的中点 联结 C 证 明 I D I C 2 0 0 4 全国初中数学联赛 分析 粗看好像难 以有 效沟通条件与结 论之间的联系 但仔细琢磨 由 A B C D可 知这两条平行线间的距离处处相等 于是 过 C D 两 点 分 别 作 梯 形 的 高 c 如 图 8 有 C K D J 再考虑 为 昭的 中 点 如何 利用 A J K B 图 8 它的性质 呢 于是 想到把f AD J f C B K分 别绕点 D G旋转 9 0 到 D与 C K C位 置 以组 成 直 角 梯 形 E G K J 这 样 D J 维普资讯 4 中 等 数 学 C K 再过点 作 D 上D C于 0 就有 D G K 则 J O O K 由此得 D O C O 故 l C l D 例 6 如 图 9 A B C三个村庄在一条 东西走 向的公路 沿 线 上 A B 2 k m BC 3 k m 在 村 的 正 北 方 向 有 一 个 D 村 测 得 C 4 5 今 将 A D C 区r 域 规 G 图 9 F 划 为开 发 区 除 其中4 k m 2 的水塘外 均作为建筑或绿化用 地 试求这个开发区的建筑及绿化用地 的面 积是多少 1 9 9 5 北京市初二数学竞赛复赛 分析 问题显然就是求 B D 的长 但 与条 件之间无法实施有效的联系 因为 A D C 4 5 考虑到它与直角的关系 所 以 想到把 D A B D C B 分别 作 轴 对 称变 换 如 图 9 则 E D F 9 0 于是 把残缺 图补成正方 形 D E G F 设 D B x 则 AG EG EA DB BA 一2 CG G F CF DB BC 一3 由勾股定理得 一 2 一3 2 5 解得 6 或 一1 其中 一1 不符A题意 舍去 故 6 由此可得面积为 1 1 k m 2 注 几何证 明往 往需要通过感知 图形 的 直观特点进行分析 因此 此类问题一般都要 根据条件所提供信息适当地进行添补 使问 题的本质能彻底显露 出来 从而有效解决问 题 3 巧妙利用弦图的作用 弦图作为证明勾股定理的有效工具 在 解决一些相应 的几何问题中也能发挥很好的 作用 例 7 如图 1 O 把一张边 长超过 1 O的正 方形纸片剪成 5 个部分 则 中间小正方形 阴 影部分 的周长为 2 0 0 7 浙江省初中数学竞赛初赛 图 l 0 图 l 1 分析 由图 1 O 容易联想到构作弦图 如 图 1 1 则小正方形 的边长应为 A B BC A B DB AD 5 如果 说此 题还不 易展现 弦图 的巧妙 之 处 那让我们再看一例 例 8 如 图 1 2 以 R t A B C的斜 边 B C为一 边 在 A BC 的 同 侧 作 正 方 形 F B C E F 设正方形的 中 心为 0 联结 A O 若 A B 4 A O 6 那 曰 图 l 2 C 么 A C的长等于 A 1 2 B 1 6 C 4 3 D 8 2 2 0 0 7 浙江省初中数学竞赛复赛 分析 1 在 A C上取点 G 使 C G A B l 4 而 B A C B O C 9 0 o 所以 A 0 C 四点共 圆 故 A B O 因为 B O C O 所以 B A O C G O 由 A O B G O C 知 A O G 9 0 又 A O O G 故 A G 1 2 因此 A C 1 6 注 此解法比较巧妙 不太容易想到 维普资讯 2 0 0 8年第 8 期 5 分 析 2 如 由原 度 图l 4 第 1 9 届江苏省初中数学竞赛 提 示 由已知 可 得 E C B C E B l 5 再 由正 方 形 的轴 对 称 性 得 F A B E C B 1 5 故 A F D 6 0 2 如 图 1 5 在 梯形 A B C D 中 A D B C B C A D D兰9 0 B C C D 1 2 ABE 4 5 若 A E 1 0 则 C E 的长 C 度为 G 2 0 0 4 全国初中数 学竞赛 图 l 5 提 示 先 把 梯 形 A B C D 补 成 正 方 形 C B F D 再把 A B F绕点 曰旋转 9 0 到 B C G 的位 置 易知 A B E G B E 于是 A E E G E C 4 A F 1 0 设 E C 贝 0 A F 1 0一 D E 1 2一 A D 2 i 由勾股 定 理 得 1 2 一 2 i 1 2 解得 4或 6 3 如图 1 6 在直角梯 E D c 形 A B C D 中 A B B C 4 为腰 B C上一点 且 A D M 为 等边 三角 形 则 侧 2 0 0 7 全 国初 中数 A 图 l 6 M 学联赛四川初赛 提 示 把 梯 形 补 成 正 方 形 则 易 知 R t A B MC O R t A E D 所 以 E D B M 即 C D C M 4一 在 C D M 中 4 2 4 一 贝 0 8 4 4 3 8 4 3 舍去 故 删 1 2 4 如 图 1 7 E F G I t A H D 边形 E F G H 的面积 为 B F C 5 求 正方 形 A B C D 的 图1 7 面积 2 0 0 0 全国初 中数学联赛 提示 辅助线如 图 1 7 得矩形 P Q R T 易 知 正 方 形 佃 也 s 矩 形 P 凹 2 四 边 形 朋 设 P Q Q R Y 正 方 形 的 边 长 为 0 则 9 0 Y 1 6 0 代人得 0 9 0 1 6 0 1 0 解得 0 J 5 在 7 7的单位正方形 的网格 中 共有 6 4 个格点 有许多以这些格点为顶点 的正方 形 这些正方形的面积有多少个不同的值 第 2 1 届江苏省初 中数学竞赛 提示 考虑在边长 小于或等 于 7 边 长 为整数 的正方形网格 中不 同弦图的个数