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第五章 被动测量条件下的非线性跟踪滤波器5.1 引 言为了实现一些较复杂的制导律，满足突防并精确命中目标等要求，需要已知剩余时间、相对距离和相对速度等物理量，有时还需要已知目标加速度。许多型号的导弹安装红外、电视、被动雷达等被动式导引头，这些导引头只能测量出角度或角速度信息。即使装有主动雷达的导弹，在电子对抗条件下，也无法测得距离和速度信息，而只有方位信息可以利用1。我们不妨称仅有角度测量信息的制导问题为“被动制导”问题。在被动制导情况下，欲实现复杂的制导律，就必须利用仅有的角度测量信息实时估计出相对距离、相对速度和目标加速度。这种估计问题又可以称作目标的“被动跟踪”问题。在海洋环境中利用被动声纳对潜艇或舰船进行定位也属于被动跟踪问题。被动跟踪问题是一个非线性估计问题，因为无论是在惯性直角坐标系中，还是在极坐标系中建立描述该问题的数学模型，所得到的结果都是非线性的。在惯性直角坐标系中，若假设目标加速度模型是线性的，则动态方程为线性，而测量方程则是非线性的；在极坐标系中，动态方程是非线性的，测量方程是线性的。由于测量信息中不可避免地含有测量噪声，被动跟踪问题需要用非线性随机系统来描述。上述仅有角度测量的实时估计实际上是一个非线性滤波问题。因此，必须研究稳定性好，收敛速度快，估计精度高的非线性滤波方法。5.2 非线性滤波概述非线性滤波方法大致可以分为两种类型, 即统计方法和概率方法。在统计方法中，一个基本的思想是对非线性方程进行线性化，然后应用Kalman-Bucy滤波原理。所谓线性化就是把非线性项关于给定的参考轨迹或滤波器的当前估计值展成Taylor级数，取其一次项得到线性化方程。前者得到标称状态线性化滤波2,3，后者则得到著名的推广Kalman滤波(EKF)2,46。标称状态线性化滤波要求参考轨迹接近于实际轨迹，在实际当中这很难实现。EKF忽略了线性化模型误差，影响滤波性能。EKF中，滤波器参数是状态估计的函数，状态估计误差影响滤波器的增益，因此容易导致滤波器有偏，甚至发散。EKF要求先验的噪声统计，然而实际上它们常常是未知的。用错误的噪声统计会产生滤波误差，甚至使滤波发散。由于以上原因，EKF有较大的局限性。EKF又有许多改进版本，例如迭代推广Kalman滤波，二阶滤波等6。二阶滤波器在精度上高于一阶滤波器，但是它的算法相当复杂，实际应用有较大困难。此外, 还有精度更高但算法也更复杂的三阶滤波器7。近期, 又出现了Lyapunov基随机系统观测器8, 协方差上限分配估计器9, 依状态Riccati方程估计器10等新的EKF改进算法。文献11对这三种新滤波器与EKF进行了比较研究，得出的结论是三种新滤波器在 32收敛性、对初始误差的鲁棒性等方面均好于EKF，但当系统维数较高时，实现起来有较大难度或所要求的滤波器增益计算时间过长。利用虚拟噪声技术，非线性系统的线性化误差在一定程度上可以归为线性系统模型中的一种噪声。因此，用自适应滤波在线地估计虚拟噪声的统计特性，可以降低线性化误差，提高非线性滤波的精度，这也是一种EKF的改进算法12, 而且计算量与EKF相差不大。这种方法的关键是找到性能稳定的噪声统计估值器，这样才能保持自适应滤波的稳定。当然它对线性化误差的补偿能力是有限的。一般来讲，对非线性滤波器难以进行稳定性分析。而对文献13提出的一种针对一类特定非线性系统的修正增益推广Kalman滤波器（MGEKF），则可以利用Lyapunov第二法求得其稳定的充分条件。这种所谓的特定非线性系统是由线性动态模型和非线性测量模型所构成的，而且测量模型中的非线性函数是“可修正的”。MGEKF的估计精度较EKF有明显提高，但设计难度较高。文献14认为，当模型线性化误差造成滤波器的状态估计值偏离系统状态时，必然会在输出残差序列幅值上表现出来，这时只要在线适当调整增益阵，令残差序列仍相互保持正交，则可强迫滤波器保持对实际系统状态的跟踪，从而设计出一种强跟踪滤波器。当遭遇模型跳变等情况时，这种滤波器具有快速跟踪能力。针对由线性动态模型和非线性测量模型所构成的非线性系统，文献15提出了一种两步滤波算法。所谓的两步滤波是指，首先定义一组新的状态(它是系统真实状态的非线性函数)，使得系统测量值是这组新状态的线性函数。在第一步滤波中，应用Kalman滤波器得到新状态的最优估计值。在第二步滤波中，把新状态的估计值作为测量，并应用Gauss-Newton迭代算法求出系统真实状态的最优解。文献15给出的两步滤波器虽然是一阶滤波器，但精度相当高。文献16则给出了二阶两步滤波器及其U-D分解算法。在许多实际情况下，测量噪声统计特性是时变的, 无法验前已知，这时应用噪声统计估值器可以在线地确定测量噪声的均值和方差。作者把改进的Sage-Husa 时变测量噪声统计估值器与两步滤波器相结合，得到一种性能优良的自适应两步滤波器17，不仅收敛快，准确性高，而且计算量较EKF等其它递推型滤波器并没有明显的增加。由于解决了实时估计中测量噪声协方差矩阵的正定性问题，这种自适应滤波有很好的稳定性。进一步的研究表明，两步滤波仍然存在需要改进之处。比如，在定义新状态的过程中，为了使系统测量成为新状态的线性函数，一般来讲新状态的维数大于系统真实状态的维数。这样，在一阶两步滤波器的第一步滤波中，新状态协方差矩阵容易接近病态，而文献15提出的该矩阵的时间修正方程是一个存在矩阵减法运算的近似方程，这样受各种误差的影响就容易求出非正定的协方差矩阵来，而这是不符合物理意义的，必然会造成滤波的失败18。对此，文献19推导出一种新的近似算法，避免了减法运算的出现，但算法比较复杂。寻找更简洁且稳定性好的协方差阵算法是有实际意义的。非线性预测滤波器适合于补偿明显的、非高斯分布的模型误差，而且这种滤波器的稳定性和鲁棒性得到了证明20，这就为我们研究动态模型误差补偿方法提供了借鉴。非线性预测滤波用一步时间超前方法估计动态模型确定性误差和随机误差的均值, 但对随机误差方差的实时变化没有估计和补偿能力。文献21,22给出的动态噪声协方差阵的估计算法值得借鉴。以上所述基于统计方法的非线性滤波均是线性化方法的改进。前面提到，另外一类非线性滤波方法是概率方法。众所周知，随机动态系统状态的条件概率密度函数代表了非线性滤波问题的完全解。这是因为，有了条件概率密度函数就可以计算出状态的最优估计23。因此，人们自然想到通过求取条件概率密度函数得到精确的非线性滤波器。概率方法之一是假设概率密度满足一类特定的函数，例如，高斯函数或指数函数，或一些函数的组合24。实际上，EKF也是一种最简单的设定密度（正态分布）滤波器，此外，还有高斯混合滤波器24和投影滤波器25等。在更有普遍意义的概率方法中，一般的过程为确定条件概率密度函数的进化方程，进而得到条件矩的方程，然后采用一定的假设和截断策略，得到无限维滤波器的有限维近似。这类滤波方法通常要求系统中的非线性项具有可微性和平滑性。对连续离散滤波模型（动态方程是连续的，而测量方程是离散的）而言，在两次观测之间，条件概率密度函数满足Fokker-Planck偏微分方程（或称作Kolmogorov前向方程），在观测时刻，则满足Bayes公式4；对连续时间滤波模型（动态方程和测量方程都是连续的）而言，条件概率密度函数则满足Zakai方程。由于连续离散滤波模型在实际应用中更具有普遍意义，人们重点研究了Fokker-Planck偏微分方程（FPE）的解法2628。实际应用中，FPE的解析解无法得到，只能求得其有限维近似。通常，基于下列方法求取近似解：（1）Taylor级数法26；（2）高斯和法29；（3）网格法30；（4）Fourier级数法31。若所研究的问题具有好的信噪比和验前信息，以及多项式型非线性，则比较适合应用Taylor级数法或高斯和法。网格法所需要的计算量随着系统维数的增加而指数上升，因此这种方法难以满足导弹制导对滤波器实时性的要求。Fourier级数法要求构造一组正交多项式，这也有一定的难度。Galerkin法是一种求解偏微分方程的有效方法，将Galerkin法与Fourier级数法相结合，可以得到一种快速非线性滤波算法32。Daum非线性滤波33也是一种基于求解FPE的方法。Daum考虑了这样一种情况，即FPE的一个解存在并满足一系列辅助条件，而同时条件概率密度函数能以一个标量乘上一个指数型函数的形式表示。这个指数型函数以向量m和矩阵P作为随时间变化的参数。Daum证明了，在整个时间区间上，都可以写成与该指数型函数的乘积，还推导出了m和P必须满足的耦合微分方程组。参数m和P可以被实时修正。Daum非线性滤波适用于由连续非线性动态模型和离散线性测量模型所构成的系统。非线性系统Bayes滤波不失为一种严格的滤波方法，在理论分析中有较高价值。当然，由于Bayes滤波中递推求解过程的每一步都要计算概率密度函数(PDF)的积分，这些积分一般都比较复杂，无法求得解析解。事实上，只有对线性、高斯系统，PDF的积分才有解析解，这意味着Bayes滤波的实际应用有较大难度。文献34基于Bayes滤波理论提出了自举滤波器。该文献把PDF用一组随机样本来描述，而不是把它作为整个状态空间的函数。当随机样本数目N充分大时，它们就可以精确、等价地描述所要求的PDF。作为PDF函数的矩（例如均值和协方差）的估计可以直接从样本得到。如果有必要，还可以由样本构造PDF的函数估计。自举滤波器是一种递推算法，对离散时间问题，它可以传播和修正这些样本。由于这种滤波算法的关键修正阶段（Bayes规则）是利用一种加权自举来实现的，故称为自举滤波器。自举滤波器的一个优点是适合任何函数非线性和任意分布的系统动态和测量噪声，可见此滤波器的适用范围很宽。近期, 自举滤波又被推广到多传感器多目标跟踪领域, 产生了一些与数据融合技术相结合的新方法35, 36。只有N充分大时，才能保证样本逼近PDF。在自举滤波器中，每一步滤波样本数N都是固定不变的，这样从总体上考虑，N势必要选得很大，从而带来很大的计算量。文献37基于变样本数的思想，提出了一种快速自举滤波器，主要方法是根据每一个验前样本和样本数N的似然函数确定标准化权值，而验后样本数则根据此权值确定。这种方法不能令样本数明显减少，有时甚至需要增加样本数，而且在估计精度方面无任何改进。作者认为，用区域寻求技术38自适应地优选出感兴趣的样本区，可以显著减少计算量，同时还可以提高收敛速度和估计精度。应该指出，基于概率方法的滤波器的计算负担要远大于基于统计方法的递推型滤波器，按目前弹上计算机的水平，实时实现有一定困难。但随着滤波算法的改善以及计算技术的新成果，如并行计算技术，在航天领域得到应用，相信这种更精确的滤波算法可以得到实现。粒子滤波39也是近年来新出现的一种非线性滤波方法，它与自举滤波相似, 基本思想是通过在状态空间中探测出适当的随机粒子，然后在测量的基础上, 对粒子的权用Bayes方法修正, 接着由粒子和修正后的权计算出条件均值作为状态估计。这种滤波方法同样也适用于各种非线性、非高斯系统, 不过具体实现起来要比自举滤波复杂。 除了以上所介绍的方法，还有统计线性化滤波1，最小二乘非线性滤波2，非线性滤波40等非线性滤波方法, 这里不作展开讨论。总的来说，多数非线性滤波方法并不是对每种非线性均等适用。在解决具体非线性系统的滤波问题时，可以考虑建立特殊滤波方法。另外，求解非线性系统滤波估值的计算量较大。因此，对非线性系统的实时控制而言，必须在滤波估值的精度与计算量之间进行权衡。本章将结合仅有角度测量的制导问题，介绍几种新型非线性滤波方法，它们可以较好地克服EKF的缺点，而且算法比较简单，易于工程实现。5.3 非线性滤波在制导和跟踪中的应用 这里, 我们重点讨论单传感器仅有角度测量情况下的制导和跟踪问题, 对其它一些情况仅作简单叙述。描述“被动跟踪”和“被动制导”问题常用的坐标系是直角坐标系或修正极坐标系。无论在哪一种坐标系中系统模型都是非线性的。直角坐标系中，若目标加速度可以用线性的Markov随机模型41来描述，则动态模型是线性的，而测量模型是非线性的；修正极坐标系中，动态模型是非线性的，而测量模型是线性的。早期研究二维被动跟踪问题时，人们的研究工作主要集中在两个方面：(1) 坐标系的选择；(2)滤波算法。文献42指出了直角坐标系内的EKF可能表现出不稳定行为，并详细分析了产生这一现象的原因。为了克服这一不足，文献42,43建议用伪线性滤波器，这种滤波器算法稳定，计算简单，且易于实现，但遗憾的是存在着有偏估计性质。进一步的研究结果表明，修正极坐标系是一种可取的坐标系，因为这一坐标系内的EKF具有较好的稳定性44,45。近期，文献46,47分别把极大似然估计方法和非线性最小二乘法应用于被动声纳测量目标跟踪。文献48则把广义最小二乘法结合序列均匀设计优化法用于水下目标定位。在研究三维被动制导问题时，人们还是喜欢采用直角坐标系13,4952，因为在这一坐标系内系统动态模型是线性的，滤波器的计算量明显减小。也有人在修正极坐标系内研究被动制导问题，并用仿真结果证明了修正极坐标EKF略优于直角坐标EKF45。 文献53将坐标转换滤波器应用于被动制导问题，即在直角坐标系内利用线性动态方程进行状态传播计算，而在测量时刻，把状态转换到一个特定的极坐标系内，在这一极坐标系内，测量是转换后的状态的线性函数，然后利用Kalman滤波方法对转换后的状态进行修正。数值计算结果表明坐标转换滤波器优于直角坐标EKF。文献50提出一种设定密度滤波器，并将其应用于被动制导。这种滤波方法实际上是一种极大似然估计算法，它适用于动态模型是线性，而测量模型是非线性的系统。仿真结果表明设定密度滤波器优于直角坐标EKF。文献13,54将MGEKF应用于寻的导弹被动制导，收到的效果好于上述几种滤波器。作者把MGEKF推广到时变测量噪声情形, 得到自适应MGEKF55,56，应用效果好于MGEKF。近期, 文献57在把MGEKF应用于被动跟踪问题的过程中给出了一种更简单的可修正函数。将直角坐标系中非线性测量模型的线性化截断误差当作虚拟测量噪声，作者用测量噪声统计估值器估计出虚拟噪声的均值和方差代入EKF算法补偿线性化误差的影响。这种基于虚拟噪声技术的自适应EKF应用于被动制导问题要好于直接应用EKF51。另外, 作者还研究了应用标称状态线性化滤波实现被动跟踪, 结果表明当滤波器初值较准确时, 这种方法明显优于EKF58。作者提出的自适应两步滤波器应用于被动制导问题，则滤波收敛速度和估计精度均优于MGEKF17, 59，它解决了测量噪声统计特性未知情况下的滤波问题，具有很好的稳定性。 文献60用Daum非线性滤波理论在修正极坐标系中导出了一种可以实际应用的Daum非线性滤波器，估计效果比自适应Kalman滤波器要好，但改进的效果并不很明显。这是因为该文献为了推导出简洁的计算形式，作了较多的近似和假设，Daum非线性滤波理论上的优势并没有被充分发挥出来。 36 文献52在直角坐标系中研究自举滤波器在被动制导中的应用，取得的仿真结果明显好于EKF，MGEKF和混合滤波器61。当然，仿真时要花费比较多的时间。对自举滤波器进行改进后，一方面节省时间，另一方面加快收敛速度，提高精度，更适合应用于被动制导。另外，文献62讨论了粒子滤波方法在被动跟踪中的应用，需要解决的也是计算的实时性问题。5.4 推广KALMAN滤波(EKF)这里，我们只对EKF作简单的回顾：考虑非线性系统 其中，是维状态向量，是维观测向量，是维控制向量，是维可微向量函数，是维可微向量函数，是维矩阵，和分别是维和维独立的高斯白噪声，噪声统计为 系统0的EKF为 此滤波器要求和已知。5.5 自适应推广KALMAN滤波(AEKF)5.5.1 SAGE-HUSA噪声统计估值器 我们从介绍线性系统的Saga-Husa噪声统计估值器出发，逐步引出AEKF算法。 考虑线性动态系统 其中，是维状态向量，是维观测向量，是维控制向量，、和为已知的矩阵，和是相互独立的正态白噪声，噪声统计为 假设噪声均值、和协方差、是未知的定常向量或矩阵，自适应滤波问题就是基于观测求噪声统计和状态。 噪声统计已知时的Kalman滤波器为 当未知时，连同状态的极大后验(MAP)估计可以用极大化如下条件概率密度求得：其中，。 由Bayes公式而与最优化无关，因而问题转化为求如下无条件概率密度的极大值其中，假设和相互独立且均服从均匀分布。由正态性假设易知类似地有于是而注意，有相同的极点。暂且设已知，则令 , , , 可得噪声统计的MAP估值器为 1. 次优MAP估值器在式00中，以滤波估值或预报估值近似代替计算复杂的平滑估值，即可得次优MAP估值器： 2. 次优无偏MAP估值器由式0、0和0有 又由式0和0有 可见, 式0和0给出的估计是无偏的。注意到 式中，。由式0、0、00以及矩阵P的对称性，有由此可得的次优无偏MAP估值器为 又由式0、0和0有由此可得的次优无偏估值器为 由式0、0、0和0引出Sage-Husa的递推次优无偏MAP估值器为 5.5.2 SAGE-HUSA时变噪声统计估值器 基于Sage-Husa噪声统计估值器，即式00，可以用指数加权方法联立给出模型噪声和观测噪声的未知时变均值和协方差估值器。可以证明Sage-Husa时变噪声统计估值器在一定意义下对时变噪声统计的跟踪是无偏的。考虑线性动态系统噪声统计为由5.5.1中的结果，Sage-Husa次优无偏MAP噪声统计估值器的非递推形式为 从统计观点看，Sage-Husa噪声统计估值器是算术平均，和式中每项的系数均为，但对时变噪声统计而言，应该强调新近数据的作用，对过于陈旧的数据应逐渐遗忘。这可以用渐消记忆方法实现。即在和式中每项乘以不同的加权系数，而且按指数加权法，应选取加权系数使之满足 这引出 式中，叫做遗忘因子。在式00中每项乘以代替原来的加权系数，便可得到时变噪声统计估值器。易导出其递推算法为 假设噪声统计是慢时变的，在时刻，未知的噪声统计的一种合理的规定是用指数加权平均定义：这种定义近似地代表了时刻噪声统计的真实值。在上述意义下，平行于证明Sage-Husa噪声统计估值器无偏性时的推导，可以证明Sage-Husa时变噪声统计估值器具有跟踪的无偏性，即5.5.3 改进的SAGE-HUSA观测噪声统计估值器对于带定常噪声统计的系统，Sage-Husa给出的观测噪声统计的MAP估值器为 Sage-Husa用近似代替来推导观测噪声统计估值器。如果用近似代替将会提高估值器精度, 这引出新的次优MAP均值估计器： 式中，是的滤波估值，由式0有 易知 由式0，改进的估值器为 估值器0的均值为 注意到以及矩阵和具有对称性，由式0可得 由式0和0可得次优无偏MAP估值器为 又易知估值器0也是无偏的。 如果和是时变的，那么由式0和0利用指数加权法可得改进的Sage-Husa时变观测噪声统计估值器： 式中， 为遗忘因子。5.5.4 AEKF算法仍然考虑非线性系统 噪声统计为 假设和都是未知的。如果在测量时刻k已经得到状态的滤波估值，把系统0第一式中的围绕展开成Taylor级数 式中，H.O.T代表Taylor展开式中的所有高阶项，则该式可以写作 式中， 我们称为虚拟动态噪声，它带有未知的时变统计 , 同理，将在处Taylor展开可得线性化的观测模型 式中， 我们称为虚拟观测噪声，它带有未知的时变统计 , 由式0和0可见，虚拟噪声补偿了线性化模型误差，有利于滤波性能的改善。 如果利用Sage-Husa时变噪声统计估值器对和进行估计，那么 式中，, 。 把式00中的和用和来替换，再加上式00，就构成了一种自适应推广Kalman滤波器。其初值为适当选取初值和遗忘因子，进行自适应推广Kalman滤波，可得非线性系统状态的自适应估计。5.5.5 AEKF在仅有角度测量的寻的导弹制导中的应用寻的制导是一个三维空间中的运动问题，如果在直角坐标系中描述该问题（如图5.1所示），而且目标加速度用线性模型描述，则系统的动态方程是简单的线性方程，滤波器的计算量较小。图5.1中, el和az分别代表视线倾角和视线偏角，d2代表目标与导弹之间的斜距，d1代表该斜距在水平面上的投影。图5.1 直角坐标系中的目标导弹相对运动描述仿真时，目标和导弹都可以用质点来表示。目标的加速度用Gauss-Markov随机过程描述。系统的动态模型为 式中，。和代表目标与导弹之间的相对位置在直角坐标系中的三个分量；和代表目标与导弹之间的相对速度在直角坐标系中的三个分量；而 和代表目标加速度在直角坐标系中的三个分量。其中的每一部分代表一个33矩阵。由下式给出 其中，代表机动时间常数的倒数，即机动频率。为导弹加速度，为高斯白噪声向量，、和彼此相互独立。 把式0离散化后可得 式中， , 表示测量周期。 动态噪声向量为 而且 , 是高斯型白色随机向量序列。 观测模型为 式中， 为测量噪声，它也是高斯型白色随机向量序列, 而且 , 与相互独立。 下面，结合式00讨论AEKF的设计问题。AEKF可以对四个统计量、和同时进行估计。但是在实际应用中，如果初值和选择不当，滤波器容易发散。为了增强AEKF的鲁棒性，在实际条件允许的情况下，应该尽可能地只对四个统计值的一部分进行实时估计。在上述问题中，系统的动态模型是线性的，因此不存在动态模型线性化误差。动态噪声的均值和方差可以验前确定其界，所以这里不考虑和的实时估计问题。因为系统的观测模型是非线性的，应用推广Kalman滤波原理时存在线性化误差，所以我们希望实时地估计虚拟观测噪声的统计特性。由于只对和进行估计，我们以代替, 把改进的Sage-Husa时变观测噪声统计估值器推广到非线性系统，得到 式中， 为遗忘因子。 为了便于说明改进的Sage-Husa时变观测噪声统计估值器的优点，我们将Sage-Husa时变噪声统计估值器中和的估计算法重写作： 比较两种测量噪声统计估值器可以发现，式0利用时刻的滤波估值对进行估计，而式0是利用时刻的预测估值对进行估计，可见前者有更高的估计精度。更重要的是式0对估值方法的改进。在该式中，正定矩阵之间只进行加法运算，因此无论发生何种情况，的正定性都能得到保证。而在式0中，正定矩阵之间要进行减法运算。当遇到滤波器初值选择不当，或系统的非线性程度较高等情况时，0就有可能求出负定的阵，这种现象很容易造成滤波器的发散。所以说，式0比式0更具有鲁棒性。 为通过比较说明AEKF的有效性，在数字仿真时，我们同时应用AEKF和EKF来研究“被动跟踪”问题。 设制导初始时刻目标与导弹之间相对运动关系为动态噪声的统计特性, 测量噪声的均值为零，方差阵为式中， , AEKF和EKF中，状态估计的初始值均为状态方差阵的初始估计值为此外，AEKF中虚拟观测噪声统计特性的初始估计值为 , 式中，遗忘因子。系统动力学模型中，采样周期, 导弹的制导指令由线性二次型最优制导律63给出，其表达式为 式中，各项增益分别为，而各增益中，为末制导结束时刻。该仿真实例中，制导过程持续3.7sec。实际应用中，只能利用状态的估计值来实现制导律，但在仿真时可以利用状态的真实值来实现制导律。这里，我们只是利用导引规律建立一定的运动轨迹，进而测试滤波器的性能。 在仿真中，假设EKF对测量噪声的统计特性和精确已知；而AEKF则是利用改进的Sage-Husa时变观测噪声统计估值器在线地估计虚拟噪声的统计特性和。在上述条件下，经过50次Monte-Carlo仿真得到了AEKF和EKF的估计误差的统计结果。图5.2绘出了这两种滤波器的相对距离、相对速度和目标加速度估计误差的统计结果。在某一时刻, 相对距离的估计误差的统计结果见图5.2 (a)用计算出来, 表示时刻的估计误差的数学期望。用同样的方法可以求出速度估计量的均方根型误差的数学期望以及目标加速度估计量的均方根型误差的数学期望, 分别如图5.2(b)和5.2(c)所示。图5.2 AEKF的估计误差(a) AEKF的距离估计误差; (b) AEKF的速度估计误差; (c) AEKF的加速度估计误差。图5.2中的仿真结果表明，在完全相同的条件下，AEKF对相对速度和目标加速度的估计结果明显优于EKF的估计结果，而这两种滤波器对相对距离的估计效果则相差不多。对“被动跟踪”问题而言，滤波效果不仅与滤波算法有关，还与系统00的可观性有关，而可观性的强弱则取决于制导律。关于可观性分析，我们将在第六章中讨论。事实上，相对距离是一个弱可观的状态，这里所采用的线性二次型最优制导律没有为其提供充分的可观性，因此AEKF较EKF的优势在相对距离估计中没有表现出来。而相对速度和目标加速度的可观性较好，AEKF算法本身的优势就能够体现出来。值得指出的是，实现制导律时使用的是系统状态的真实值，而没有反馈滤波器的估计值，所以对AEKF和EKF而言，系统的可观性程度完全相同，滤波效果的好坏完全是由滤波器自身的性能决定的。总的来讲，AEKF的性能明显优于EKF的性能。即使EKF已知测量噪声的统计特性，由于它忽略了观测模型线性化误差的影响，其性能仍然较差。特别是当目标与导弹之间的相对距离较小时导弹的制导加速度趋于零，系统的可观测性下降, 而且测量噪声迅速增大，则EKF中相对速度和目标加速度的估计误差很大。如果把误差很大的相对速度和目标加速度估计值反馈给制导律，制导精度会受到严重影响。而同样的情况下，AEKF的估计误差要小得多。5.6 自适应修正增益推广KALMAN滤波 虽然EKF经常得到应用，我们却很少知道它的稳定性、无偏性和收敛性。为了理解EKF的一些特性，文献64提出了一种常值增益非线性滤波器，并以此建立了随机稳定性分析的基础。文献64所设计的滤波器考虑了概率Hilbert空间中的稳定性；文献65和66确立了常值增益EKF(CGEKF)在推广内积空间中的稳定性。CGEKF利用与稳态Kalman滤波器相联系的代数Riccati方程来计算滤波增益，可以保证算法具有一定的鲁棒域。但是，在许多实时估计问题中，CGEKF的收敛速度很慢。为了提高滤波器的收敛速度，文献66提出了一种增益修正策略，然而这时CGEKF稳定性分析方法已不再适用。这里，我们讨论一类特定的非线性函数，这类非线性函数使得文献64中的稳定性分析方法可以应用于估计器，而这种估计器的增益象EKF的增益一样根据一定的修正公式变化。这类特定的非线性函数被一类可以化作伪测量形式的函数所驱动。对于确定性系统，虽然伪测量形式中的系数矩阵是原始测量的非线性函数，伪测量却是系统状态的线性函数。在线性观测器结构下应用伪测量可以考察全局稳定性。但是，如果在噪声环境下将伪测量观测器(PMO)用作伪测量滤波器(PMF)，则会得到有偏的估计。在一定条件下，推广Kalman观测器(EKO)可以化作PMO形式。它们本质上的区别仅在于观测器增益的计算。文献67提出了一种PMO的增益修正方法，它使得EKO可以取得与PMO相同的性能，这时的EKO被称作修正增益EKO(MGEKO)。MGEKO要求系统的非线性是“可修正的”。5.6.1 修正增益推广KALMAN观测器(MGEKO) 我们定义一类非线性函数，这类非线性函数是构成全局收敛MGEKO的基础。由于MGEKO的误差动力学模型与线性系统的误差动力学模型具有相同的形式，对于这类特定的非线性系统，MGEKO的增益结构与Kalman滤波器的增益结构在本质上相同。 考虑确定性情况，其中系统动力学是线性的，而测量是系统状态的非线性函数，即 式中，（非负整数），。 下面，给出“可修正性”的定义。 定义5.1：时变函数是可修正的，如果存在一个时变函数矩阵, 使得对任意和，有 式中，。值得注意的是不带任何近似地等价于,还要注意, 其中最后一个量是在点的微分(如果是可微的)。 MGEKO具有下列结构 式中，为i时刻的预报估值，为i时刻的滤波估值，是依赖于过去和现在数据的增益序列。如果是可修正的，则式0可以写作 式中，。估计误差定义为 由式0和0，满足 由于是一个确定量，式0和0精确成立，它们与线性估计系统具有相同的形式。这促使我们基于Kalman滤波器型修正来选择特定的增益序列，特别是选取 注意，如果有如下线性估计问题，其动力学为 测量为 式中，白噪声序列和分别具有协方差和，那么，式00将是的一步预测和滤波估计值的协方差和的精确方程。这里，假设和已知。我们视和为设计参数，而称和分别为和的伪协方差。如果一致可观，而一致可控，那么由Lyapunov函数，利用与文献68中相同的方法可以证明式0和0所示的误差动力学全局收敛到零。由于依赖于特定的状态轨迹，所以一般来讲，可观性条件也与轨迹有关。接下来，我们将在测量模型0和动力学模型0中加入白色测量和动态噪声序列。如果在噪声环境下使用式0所示的增益算法，则得到的估计是有偏的，因为这时式0中的增益与残差是直接相关的。因此，我们推荐一种与EKF的增益算法相似的方法，这种方法保证了增益只是过去的测量的函数。然而，如果测量方程是状态的非线性函数，可观性Grammian矩阵与式0中的阵之间的有效联系将不复存在。这使得我们在讨论下面的修正增益推广Kalman滤波器时要作一定的假设。5.6.2 修正增益推广KALMAN滤波器(MGEKF)这里，我们给出MGEKF，并研究它的随机稳定性。为了减小由于增益和残差直接相关所造成的偏差，MGEKF的增益算法有别于MGEKO的增益算法。 考虑随机情况，其中系统的动力学是线性的，而测量是状态的非线性函数，即 式中，是零均值动态噪声向量序列，它的有限的二阶矩为 是零均值测量噪声向量序列，它的有限的二阶矩为 与相互独立。 MGEKF的结构有别于MGEKO的结构。由于测量噪声的存在，式0中的不能获得，所以在增益公式中由代替。如果是可修正的，而且是可微的，那么由下列算法可得MGEKF的估计值式中，。 如果在式0中用预报测量代替，那么该式中的增益就具有EKF增益的形式，从而保证了增益只是过去的测量的函数。随机估计器0不经任何近似可以写作可修正的形式: 式中，。由式0、0和0所产生的是精确的误差方程。尽管是不可实现的，式0的形式对于分析算法的行为是至关重要的。另外，在0中用来计算，这对于MGEKF的性能是很重要的。EKF算法是用来计算。在一些问题中，偏导数不存在，EKF不能应用于这类问题，而这时却存在，所以MGEKF可以应用到一些不存在的问题中。5.6.3 中介MGEKF的随机稳定性 为了便于分析MGEKF的稳定性，作为第一步，我们研究一种不可实现的估计器，这种估计器利用来计算增益。尽管这一策略在噪声环境下是不可实现的，但它可以为可实现滤波器提供一个比较的基准。这种估计器可以称作中介MGEKF，它的算法如下： 式中的上标*表示估计值是通过在式0中用代替而得到的。构成中介MGEKF时，本质上的变化在于用而不是用来计算，因此，式0由式0所代替。式0中的第二个等式用到了的可修正特性。 首先，我们在概率Hilbert空间L2中用Lyapunov第二法来考察中介MGEKF的稳定性。向量随机变量的范数定义为 式中，是的概率密度函数。为了便于讨论，需要介绍下列概念。定义5.2：离散随机过程关于指数在均方意义下指数有界，如果存在常数, 使得对所有的， 中介MGEKF的估计误差可以写作 式中， 定义Lyapunov函数为 在叙述定理5.1之前，需要作如下假设。 假设1 ：式0中的一致有界, 而且可逆。 假设2 ：式0中的对所有的是可逆的。 假设3 ：式0中的一致有下界，即对所有的。 假设4 ：对常数矩阵 有下界，使得 假设1和3并非十分苛刻，对MGEKO而言，的一致可观性可以充分保证式0中的是可逆的，而且是一致有下界的，其中如式0所定义。虽然没有简单的充分条件可以检验, 假设2和4中关于和的相应条件也是有道理的。 定理5.1 ：在假设14下，如式0和0所示的中介MGEKF估计误差关于指数在均方意义下是指数有界的。 证明：由式0，式0可以写作 由于不是的函数，而是过去的测量的函数，与以及与是相互独立的。另外，式0中的是和的函数，所以，独立于和。设已知，求的条件期望： 如果符合假设4，那么由于，tr算子中的项严格正定。定义 那么式0成为 经过一些运算后, 式0右边算子中的项可以写作 其中用到了矩阵求逆引理，并假设是可逆的，中介MGEKF中的满足 由式0 那么存在, 使得 假设2和3以及式0保证了的存在。现在，式0可以写作 式中，, 使得。由假设3和4以及式0可得。注意，假设3意味着一致有上界。 将条件期望的套入特性应用于式0, 可得 定义为, 因为, 那么, 递推地应用式0可得 应用式0并且取0中上的非条件期望, 可得 式中，。 这样，中介MGEKF的指数有界性得到了证明。5.6.4 MGEKF的随机稳定性 以上我们证明了中介MGEKF的指数有界性。在这一部分中，通过比较MGEKF与指数有界中介MGEKF，我们将应用Lyapunov第二法获得L2空间中MGEKF指数有界的充分条件。 由式0、0和0，MGEKF的估计误差可以写作 式中， MGEKF的式0和0与中介MGEKF的式0和0的区别来自于各自的增益计算方法。MGEKF的增益算法用代替，由于