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函数教学教案范文 1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:,。 2、若函数既是奇函数又是偶函数,则恒等于零,这样的函数有无数个。 3、如果点是原函数图象上的点,那么点就是其反函数图象上的点。 4、反函数的相关性质: (1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同; (2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件) 只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件) (3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外); (4)周期函数不存在反函数; (5)若是连续单调递增函数,则与的图象有公共点的图象与直线有公共点方程有解; (6)若为增函数,则与的图象的交点必在直线上; (7)函数的图象与函数的图象关于直线对称; (8)函数与的图象关于直线对称。 5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。 6、对恒成立或其中。 7、二次函数的三种表现形式: (1)一般式; (2)顶点式:其中为抛物线顶点坐标; (3)零点式:其中、为抛物线与轴两个交点的横坐标。 8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比: (1)在的定义域上恒成立; (2)在的定义域上恒成立; (3)在的定义域上有解; (4)在的定义域上有解。 某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。 9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明: (1)若恒成立,则M不一定为的最大值。若恒成立,则不一定为的最小值; (2)若恒成立,则为的最大值,若恒成立,则为的最小值。 10、函数的最小值为。 11、重要工具函数的性质:不妨设 (1)时,函数在区间上单调递增; (2)时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增。 12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系: 类型之一:线线型周期性 (1)若函数在上的图象关于直线与都对称,则函数是上的周期函数,是它的一个周期。 (2)若函数为偶函数,且图象关于直线对称,则为周期函数,是它的一个周期。 类型之二:点线型周期性 (1)若函数在上的图象关于点和直线都对称,则函数是上的周期函数,是函数在上的一个周期。 (2)若函数为偶函数,且图象关于点成中心对称,则函数为周期函数,是它的一个周期。 (3)若函数为奇函数,且图象关于直线对称,则为周期函数,是它的一个周期。 类型之三:点点型周期性 (1)若函数在上的图象关于相异两点、都对称,则函数是上的周期函数,是它的一个周期。 (2)若函数为奇函数,且图象关于点成中心对称,则函数为周期函数,是它的一个周期。 13、由函数方程推导函数周期的常见类型: (1)若函数满足,则,则是上的周期函数,且是它的一个周期。 (2)若函数满足,则是上的周期函数,且是它的一个周期。 (3)若对于任意一个实数,都有,则是上的周期函数,且是它的一个周期。 (4)若对于任意一个实数,都有,则是上的周期函数,且是它的一个周期。 (5)定义在上的函数,若存在非零正实数,对于一切,都有,则是以为周期的函数。 (6)定义在上的函数,若存在非零正实数,对于一切,都有,则是以为周期的函数。 (7)定义在上的函数对于都有,则是以6为周期的函数。 (8)定义在上的函数对于都有,则是以6为周期的函数。 (9)若是函数的任意一个周期,则的相反数也是的周期;也是的周期;若都是的周期,且,则也是的周期。 说明:对于(1)(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如:都是原函数与反函数相同的函数,即。可见本章-24。 14、函数图象的自身对称问题: (1)偶函数的图象关于轴对称;(轴对称) (2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称) (3)定义在上的函数,若满足,则函数的图象关于直线对称;(,即:取平均值,与的值无关) (4)定义在上的函数,若满足,则函数的图象关于点中心对称; (5)定义在上的函数,若满足(或),则函数的图象关于点中心对称。 15、两函数图象间的对称问题: (1)定义在上的函数与函数的图象关于直线对称;(其对称轴方程由解得,与的值有关) (2)定义在上的函数与函数的图象关于点中心对称; (3)定义在上的函数与函数的图象关于点中心对称; (4)特别地： 函数关于x轴对称的函数为: 函数关于轴对称的函数为: 函数关于原点对称的函数为: 函数关于对称的函数为: 函数关于对称的函数为: 函数关于直线轴对称的函数为:; 函数关于直线轴对称的函数为:; 函数关于点中心对称的函数为:。 16、若函数为奇函数,且定义域为,则必有。若函数是偶函数,那么。 17、基本的函数图象变换: (1)要作的图象,只须将的图象向上(时)或向下(时)平移个单位; (2)要作的图象,只须将的图象向右(时)或向左(时)平移个单位; (3)要作的图象,可先作函数的图象,然后将轴上方部分保持不变,轴下方部分沿轴对称上翻即可; (4)要作的图象,只需保留在轴右边的图象(擦去轴左边的图解),然后将轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意是偶函数)。 (5)要作的图象,只须将的图象作关于直线对称,也可以将的图象先作关于轴对称,再向右(时)或向左(时)平移个单位; 18、对称轴的斜率为时的对称变换: (1)曲线关于直线的对称曲线为; (2)曲线关于直线的对称曲线为; (3)点关于直线的对称点为; (4)点关于直线的对称点为。 19、函数按向量平移后的函数表达式为:; 20、判断符号可以1为分界点,当在1的同侧(或)时,;当在1的两侧时,。可以概括为:同向为正,异向为负 21、关于函数的定义域为或值域为的问题: (1)若其定义域为,则须在上恒成立,问题等价为:或其中;或其中。 22、当且仅当时,函数与函数的图象相切于直线上的点。 23、一次分式函数的相关性质: (1)定义域:; (2)值域:; (3)图像:双曲线线; (4)渐近线:; (5)对称中心:; (6)单调性:当,单调递减,单调递减; 当,单调递增,单调递增; 特别地:当,即时,函数和其反函数为同一函数。也即函数的图像关于直线对称。 24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题 一般地,形如:,其中已知,要求的解析式,通常的做法为:用去替代原式中所有的,得到,若此式中的,则可以得到:,再将此式与原式联立,消掉,就可以求出,故能用此法求解的关键在于:,此式说明必满足,原函数与反函数为同一函数。例如:,等。 25、抽象函数中的相关问题 (1)奇偶性的判断 若(),则为奇函数; 若(),则为奇函数; 若(),则为偶函数; 若(),则为奇函数; 若,则为偶函数。 (2)单调性的判断 ;(作差比较函数值) 。(作差比较函数值) 26、求函数值域的类型与方法归类 (1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。 (2)配方法,适用于二次型函数:。 (3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求的范围,形