基于Mathematica和Matlab的典型数学物理方程解分布图像制作.pdf

第 2 9卷第 7期 2 0 1 2年 7月 吉 林 化 工 学 院 学 报 J O U R N A L O F J I L I N I N S T I T U T E O F C H E MI C A L T E C HN O L O G Y V0 l 2 9 No 7 J u 1 2 01 2 文章编号 1 0 0 7 2 8 5 3 2 0 1 2 0 7 0 0 4 1 0 4 基 于 Ma t h e ma t ic a和 Ma t l a b的典型数学物理 方程解分布 图像 制作 陈殿伟 杨海英 1 吉林化工学院 理学院 吉林 吉林 1 3 2 0 2 2 2 吉林市第五中学 物理组 吉林 吉林 1 3 2 0 1 1 摘要 通过计算机辅助软件 Ma t h e m a t i c a和 M a t l a b 把典型数学物理方程解的空间分布制作成三维图像 关键词 M a t h e m a t i c a Ma t l a b 数学物理方程 中图分类号 04 1 1 1 文献标志码 A 典型数学物理方程包括 波动方程 热传导方 程 泊松方程 A u 0为拉普拉斯方程 二者都是 稳定分布方程 这三个方程构成 了 数理方程 的 主要内容 它们都是二阶线性方程 刻画了很多物 理现象的规律 圳 1 波动方程分布图像 波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方 程 主要描述 自然界中的各种的波动现象 其表达 式为 a A u 厂 1 如弦的 0端固定 z 端受迫作谐振动 A s i n t o t 弦的初始速度 为零 求弦 的振 动 这个 定解问题是 一 口 2 0 M I 0 0 I A s i n t o t 2 I 0 0 l 0 Ae o Z 端为非齐次边界条件 这是 一个不 受外力 作用 的振 动 但 它在 弦 z 的一端 有一个谐振 源 F A s i n t o t 而在初始 时刻 速 度 为 A 似 用 M a t h e m a t i c a直 接 编 程 运 行 j 得到如下图形 图 1中 a 2 A 5 z 1 O 1 1 0 1 t 0 1 0 从图中看出 在弦 0的一端 由于没 有谐振源 因此 位移为O 而在 2 的一端 谐振 源 F A s i n t o t 位移 u x t 随着 的作用而变化 图1 位移在时间和空间中的分布图像 2 热传导方程 当一个物体 内部各点 的温度不一样 时 则热 量就会从温度高的地方向温度低的地方流动 这 种现象就是热传导 问题 由于热传导过程总是表 现为温度随时间和位置的变化 所 以 解决热传导 问题归结为求物体内部温度的分布问题 如果研 究物质的扩散问题 物质的扩散是由浓度高的地 方扩散到低的地方 且服从傅立叶热传导方程相 类似的能斯特扩散定理 即物质的扩散与浓度 的 变化成正比 与热传导方程 类似 可 以得到浓度 u 满足热传导方程 所以热传 导方程也称扩散方程 其表达式为 t a2 Au 3 对于细杆导热问题 初始 时刻杆的一端温度 为零度 另端温度为 杆上温度梯度均匀 零度 收稿 日期 2 0 1 2 0 4 1 4 作者简介 陈殿伟 1 9 6 8 男 吉林省吉林市人 吉林化工学院副教授 主要从事凝聚态物 塑方面的研究 万方数据 4 2 吉林化工学院学报 的一端保持温度不变 另一端跟外界绝热 杆上温度 t t 满足下列泛定方程和定解 条件 l 一 口 2 z 0 I o 0 I z 0 4 I t 0 U o X l 口 k c p 泛定方程和边界条件都是齐次 的 用分离变 数法 求 解 在 这 里 可 以用 Ma t h e m a t i c a直 接 编 程 就可以画出杆上温度 Z t 的分布 图像 如图 2 3所示 图2 温度在时间和空间中的分布 图3 温度在时间和空间中的分布 图2 3的视角不同 0 1 0 5 从两图形 中可以看出杆上 0的一端 由于受其 边界条件 的限制 u f 不随时间的变化而变化 它仍然是零度 在 z 的一端 t 0时 u t 在 最高点 随着时间的增大 u t 迅速减小 变化 的幅度很大 然后趋于平缓 最后几乎没有什么变 化 但 0时 u t 是从杆 上 Z 的一端 向 0 的一端传导的 只是变化幅度不是很大 从整 个 图形来看 1 1 除了在边 界 0处 它都是 随着时间的增大而迅速减小 然后趋于平缓 到后 来根本没有什么变化 这很明显是一个热传导方 程的图形 温度从高点向低点飞快的传导 随着时 间的增长 杆上的温度越接近均匀 所 以我们后来 看到 t 已经没有变化 最后 就 已经不起变 化 因为杆上的每个领域温度 已经达到平衡 3 稳定分布方程分布图像 在热传导 问题 中 如果温度分布稳定 热源强 度 Y 不 随时间变化 热传导持续下去 最终 将达到稳定状态 空间 中各点的温度不再随时间 变化 即 0 得到方程 Y 0 5 此方程称为泊松方程 如果没有热源 即 厂 0 则得到拉普拉斯方程 在扩散问题 中 浓度处于稳 定的状态考虑振动的平衡现象 同样得到稳定分 布方程 3 1 拉普拉斯方程 如带 电的云跟大地之间的静电场近似是匀强 静电场 其电场强度 E 是竖直 的 水平架设 的输 电线处在这个静电场之 中 如图 4所示 输电线是 导体圆柱 柱面由于静电感应出现感应电荷 圆柱 邻近的静电场也就不再是匀强的了 不过 离圆柱 无 限远 处的静电场仍保持为匀强的 现在研究 导体圆柱怎样改变了匀强静 电场 大地 图 4电场 强度在 空间的分布 首先需要把这个物理 问题表明为定解 问题 取 圆柱 的轴为 z 袖 如果 圆柱 无限长 那么 这 个静电场的电场强度 电势显然跟 z 无关 我们只 需在 o x y 平面上加以研究就够了 如 图4所示 正是 o x y平面上 的静 电场 圆柱 面在 o x y平面 的剖 口是 圆 Y 口 其 中 0是 圆柱的半径 柱外 的空间中没有电荷 所 以电势 满足二 维的拉普拉斯方程 0 柱外 6 导体 中的电荷既然不再 移动 这说 明导体 中 各处电势相同 又因为电势只具有相对的意义 完 万方数据 第7期 陈殿伟 等 基于 M a t h e m a rl c a 和 M a d a b 的典型数学物理方程解分布图像制作4 3 全可以把导体 的电势当作零 从而边界条件为 l y 2 0 2 0 7 按照分离变量法 u x Y x x Y Y 代人拉 普拉斯方程 固然不难把 它分解 为两个常微分方 程 但代入上述边界条件却只能得到 X Y 0 一 8 不能分解为 x x 或 Y Y 的边界条件 事实 上 既然边界是圆 直角坐标系显然是不适 当的 必须采用平面极坐标系 拉普拉斯方程在极坐标系中的表达式为 gu 4 o 1 p a u o p十 1 p a u O p 0 P a 9 式中 P是极径 是极角 导体 电势为零 就表明为齐次的边界条件 u I 0 1 0 在 无限远 处的静 电场仍然保持为匀强 的 由于选取了 铀平行于 所 以在无 限远处 E 0 E E 0 即 一O u O x E o 亦即 一 E 一 E o p c o s 因而还有一个非齐次 的边界条件 I 一 E o p c o s q 1 1 求得柱外的静电势为 u p D 0 I n p a 一E o p c o s q 一E 0 口 p c o s q 1 2 其中 一E o p c o s q 项 为原匀强静 电场 中的电 势分布 当P较大时 E a 2 p c o s q 可 以忽略 所以它是对圆柱附近匀强电场的修正项 原因是 受柱面感 应 电荷 的影 响 此外 还有 D 0 l n p a 项 它的系数 D n 是任意常数 这说明包含着某种 不确定的因素 这个不确定 因素在于问题提 出时 根本没 有 说 明 导 体 柱 原 来 所 带 的 电量 可 见 D o I n p 0 正是 圆柱原来所带 电量 的影响 由静 电学可知 D l n p a 正是均匀带电圆柱体周 围的 静 电场 中的电势 根据其最终解 1 2 用 Ma t l a b直接编程并运 行 如图 5所示 图 5中的 D o 3 a 1 E 0 5 0 2 盯 P 1 1 0 这个 图就像 是一个 圆柱 上面顶着一 个圆面 柱和面接触的地方不动时 圆面整个弯曲 了一些 就形成上面的这个图 从 图中看到其边界 是个圆 正好符合了题中给出的边界条件是个圆 的要 求 从上往下看 电势分 布的方 向 由高向低 的 但是 当电势降低到圆中心处时 圆的中心是空 的 因为图中圆的中心处正好是导体圆柱所在的地 方 导体内部是个等势体 故变化是零 图下面的线 条是电势的等高线 这些等高线是由平行于o x y 平 面均匀地一层层切割 u所得到的 所 以 由等高线 组成的图形就像是 在 o x y平面上的倒影 图 5 极坐标 中的电势分布 图像 由 9 式推得其电场强 度的表达式为 E 一 c s 一 s i p n q 十 s i n 十 0 u co s q q P 一 D C O S X E 一 c s i n c s D o s m x 1 3 由 1 3 可求 出 E 利用 Ma t l a b编程 并绘 制 图形 如图 6所示 图 6 极坐标 中的 电场分布 图6是关于电场强度方向的图形 其 中D 3 a 1 E o 5 0 2 r p 1 1 0 我f 看到 的这个 图形是在极坐标下表示 的图形 在这个 图 中 左边电力线从无穷远处 向近处平行的行进着 可是到达中心时 没有 了电力线 这是因为导体圆 柱体正在这个中心上 由于导体内部为等势体 所 以电场强度为零 也就没有了电力线 图上的电力 线从远到近方向行进 结束于导体的表面 后又从 导体 的表面出发 向远处行进 3 2 泊松方程 在圆域 P p 0 上求解泊松方程的边值问题 A u a b 一 Y l c 1 4 根据其最终解 m 8 6 4 2 O 4 m 万方数据 吉林化工学院学报 l c 詈 p 一 p p 一 JD c o s 2 1 5 利用 Ma t l a b直接编程 剖 就可 以把 函数 u 绘成一个三维图形 如图 7 8所示 图7 电势分布图像 图 8 电荷密度分布图像 图 7 8 中 c 3 0 1 b 4 P 0 5 0 2 霄 P 1 1 0 这两个 图像都是 由极坐 标转换成直角坐标 第一个是电势分布问题 而第 二个 图像是为了更好地说明第一个图形而添加的 电荷密度分布问题 电荷密度 0 b 一 Y 转换成极坐标为 if 0 b p 2 c o s 2 从 电荷密度 的公式及其图像 可以看出 有两个相等最大值 也有两个相等的最 小值 而电势是沿着电荷 密度 分布的 电荷密度越大的地方 其电势也越大 所 以 电势分布图中 有两个相等 的最大值 和两个 相等的最小值 沿着 Y轴 有两个最大值 沿着 轴有两个最小值 由于边界条件的限制 其电势分 布边界为一个 圆 而在这个 圆的平 面上 电势为 零 下面那些是等高线 它们是平行 o x y 平面切割 得到的 4 结 论 主要针对数学物理方程中典型的数学物理方 程 使用 Ma t h e ma t i c a和 Ma t l a b软件 进行 编程绘 制出位移的分布 图像 对齐次和非齐次的热传导 方程 利用了中的 P D E工具箱 通 过相应 的数值 计算步骤 画出了温度的分布图像 对于稳定分布 方程 制作 出了物理量 标量 和相应 向量场 的分 布图像 参考文献 1 梁昆淼 数学物理方法 M 北京 高等教育出版社 2 0 1 0 2 姚端正 梁家宝 数学物理方法 M 北京 人民教 育出版社 1 9 9 7 3 黄大奎 舒慕曾 数学物理方法 M 北京 高等教 育出版社 2 0 0 1 4 吴剑 胡波主 掌握和精通 M a t h e m a t i c a 4 0 M 北京 北京邮电出版社 2 0 0 2 5 陆君安 等 偏微分方程 的 MA T L A B解 法 M 武汉 武汉大学出版社 2 0 0 1 6 刘宏友 李莉 彭锋 MA T L A B 6基础及应用 M 重庆 重庆大学出版社 2 0 0 1 Fa b r i c a t i o n o f Di s t r i b u tio n I ma g e f o r S o l u ti o n o f Ty p i c a l M a t h e ma tic al Phy s i c s Eq ua t i o n Ba s e d o n M a t h e m a t i c a a nd M a t l a b CHEN Di a n we i YANG Ha i y i n g 2 1 C o l l e g e o f S c i e n c e s J i l i n I n s t i t u t e o f C h e mi c a l T e c h n o l o g y J i l i n C i t y 1 3 2 0 2 2 C h i n a 2 P h y s i c s G r o u p N O 1 Mi d d l e S c h o o l o f J i l i n C i t y J i l i n C i t y 1 3 2 0 1 1 C h i n a Abs t r a c t T he s o l u t i o n o f t y p i c a l ma t he ma t i c al p h y s i c s e q u a t i o ns wa s ma d e i n t o