太阳能热水器倾角.doc

2004-2005第二学期数学模型课程设计2005年6月20日6月24日题目 太阳能热水器倾角 组员1组员2组员3姓名学号专业成绩一 摘要本文我们主要讨论了特定地点的太阳能热水器倾角的优化问题，为太阳能热水器厂家生产提供参考数据。由于一年中不同时间太阳光直射点的纬度是不同的，所以不同时间太阳能热水器倾角的最优值也不同，但为了降低生产成本太阳能热水器倾角一般都是不可调节的而是一经生产就确定了，所以并不能简单地将某一时期的最优角度设置为太阳能热水器倾角，而应该综合考虑用户在各个不同时期的热水需求量与当时太阳能热水器倾角理论最优值进一步确定。假设生产安装完以后可以对热水器进行一年两次的调节，其调节时间也需要纵观大局而确定。我们建立了简单的优化模型对以上问题进行了粗略的探讨。在最初的模型中我们不考虑大气对阳光的吸收与散射作用，即将地面的太阳高度视作与大气界面等值。综合考虑太阳高度角与日照时间这两个因素对太阳辐射能量的影响,我们建立了一个简单的优化模型，用Mathematica进行求解，得到第一个问题的结果：春分、秋分夏至冬至杭州哈尔滨对于第二个问题，我们用线性同余法产生0，1区间上的均匀分布随机数,利用计算机模拟的方法模拟出两个城市冬天的晴天分布，并进步在简化条件下计算出对应每天的太阳赤纬。并由此计算出模拟出的睛天的日出、日落时间，进而求得两地冬天太阳能热水器吸收的总热量。我们假设用户不同时刻的热水需求量恒定不变，很容易根据热力学知识算出要满足用户的热水需求量所需要的太阳辐射能量（标准热量）。比较太阳能热水器吸收的总热量与即可得到热水器倾角的合适范围。用Mathematica对所建模型进行求解得到：当热水器倾角满足时不至于出现冬天热水不够用的问题。对于第三个问其实我们可以根据问题一的结论进行粗略推断，调整时间应该在春分到夏至之间与秋分到冬至之间。文中我们采用类似于解第二问的方法搜索春分到夏至秋分到冬至、秋分到冬至两个阶段中的20天，得一晴天分布序列，进而算出每一天热水器集热板吸收的热量并找到热水器集热板吸收的热量小于标准热量的第一个日期，在用SPSS绘出的散点图中我们可以看出日期与热量间间近似呈线性关系，因而我们取总热量小于标准热量的第一个日期及其热量与搜索到的前一个日期及其热量按线性函数进行计算，即得热水器的调节日期计算得杭州应在春分过后51天（即5月11日左右）以及秋分过后61天（即11月23日左右）对热水器的倾角进行调节，而哈尔滨的热水器的倾角调节时间应确定为春分过后43天（即5月3日左右）秋分过后50天（即11月12日左右）。之后，我们附加考虑两个城市一年四季天气特点、早晚大气折射对最初的模型进行改进。经过计算我们发现早晚大气的折射会使日照时间增加，但相对于两地的日平均日照时间而言增加的时间是一个很小的量，并不会对结果产生明显的影响；而考虑四季天气特点，则不能简单地根据平均日照时间长短对太阳能热水器吸收的总热量进行计算，但它所带来的影响也是可以忽略的，因而我们保持一、二两问的结论不变。至于第三个问题，我们不再用计算出来的离散的日期的热量与标准热量进行比较，而是将其连续化，对前一模型中随机模拟所得的点以在SPSS中模拟出一条直线与曲线，从图中我们可以很直观地看出热量变化最大的点，大致认为可将其对应日期确定为热水器的调节日期。粗略估计得：杭州：春分过54天，秋分过56天后应对热水器进行调节；哈尔滨：春分过53天，秋分过44天后应对热水器进行调节。二 问题重述设杭州市和哈尔滨市太阳能热水器的倾角分别为、，这里倾角是指热水器受热面与水平面的夹角。我们需要讨论太阳能热水器的倾角与其热效率的关系，从而解决以下问题：（1）计算一年中春分、秋分、夏至、冬至这四天、的最优值。（2）若某用户夏天热水用不完，冬天不够用，又如何确定热水器倾角的值？（3）若允许一年中调节两次倾角，选定在几月几号好？（4）若考虑杭州市和哈尔滨市一年四季天气特点、早晚大气折射，结论又将如何？（5）根据上述分析，写一篇短文，供太阳能热水器厂家生产参考。三 模型假设1 假设太阳光为平行光，光照强度不随时间变化，且不考虑云层等影响因素。 2 在最初的模型中,不考虑大气的散射和反射，从而可忽略两个城市的海拔高度，将地面的太阳高度视作与大气界面等值。3 假设热水器能将其受热面的太阳能辐射能量全部吸收，且最终全部转化为水的内能。4 假设用户不同时刻的热水需求量恒定不变，且用户对热水器提供的热水的利用率为100%。5 假设用户安装的热水器固定向南。6将地球的自转视作做匀速运动，即认为太阳直射点经度变化是均匀的。7将地球的公转视作地球绕太阳的匀速运动，则一年中太阳赤纬呈均匀变化。8同由题中所考虑的两个城市都位于北半球，因而我们只讨论北半球的情况。四 符号说明S太阳能热水器集热面面积 太阳光照强度太阳常数太阳能热水器倾角（杭州：=；哈尔滨：=）太阳光线与斜面法线之间的夹角时角（-为日出时时角,为日落时时角）太阳赤纬，即太阳正午直射的纬度h太阳高度角当地的纬度H一天中热水器集热板上的太阳辐射强度E一天中热水器集热板吸收的总热量太阳光的折射角太阳光入射角R地球半径r大气层的厚度用户冬天的热水需求总量水的比热容用户冬天使用的热水所需加热的温度环境温度五 问题分析1）要求太阳能热水器的倾角的最优值，即要求使单位时间内通过热水器受热面的太阳辐射能量达到最大的太阳能热水器倾角。太阳辐射强度就是太阳在垂直照射情况下在单位时间内一平方厘米的面积上所得到的辐射能量。地面上的太阳辐射能量对于不同的地点（纬度和海拔高度），不同的时间（季节和气候）以及不同的天气（晴天和雨天）是不同的。即太阳辐射的时空分布受日地距离、太阳高度角和日照时间的制约。日地距离在一年内总是不断变化的，为方便起见我们将日地平均距离的条件下，大气界面垂直于太阳光线的1平方厘米的面积上，在1分钟内所接受的太阳辐射能量称为太阳常数。太阳常数在一定程度上代表了垂直到达大气上界的太阳辐射强度，在太阳常数与到达水平面上的太阳辐射强度之间，存在着下面的数学关系式： （1） 式中，为太阳高度角即太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。近年来，在宇航事业取得新资料的情况下，经过大量观测和分析，测得新的太阳常数1.95/.分。 ( (图1 )类似地，我们有到达斜面上的太阳辐射强度与太阳常数之间存在着下面的数学关系式： （2）其中为太阳光线与斜面法线之间的夹角,见图2。 (图2)太阳高度角随着时角和太阳的赤纬的变化而变化。以表示太阳赤纬，表示观测地地理纬度，以表示时角，有太阳高度角的计算公式： sin hsin sin sin cos cos （3） 由假设5，假设用户安装的热水器固定向南，则有 （4）式中为当地热水器集热板与水平面的夹角，（杭州：=；哈尔滨：=）。在此基础上，我们只需要求出杭州和哈尔滨在春分，秋分，夏至，冬至四天的赤纬及时角即可算出这四天，的最优值，从而解决掉第一个问题了。2）对于这一问题，我们首先查得杭州和哈尔滨冬天时的平均日照时间如表1和表2所示，以此为根据根据估算出两地的平均日照天数。由于天气变化是随机的，而且相邻的一天太阳的直射点纬度即太阳赤纬变化是不大的，由此想到用计算机模拟的方法搜索一定数量的晴天，进而算出两个城市的太阳能热水器在冬天吸收的总热量。再根据人均热水需求量来确定要满足用户的热水需求量所需要的太阳辐射能量，由热力学知识可知它与两地的环境的温度（见表1，表2）和所需的热水的温度有关。比较太阳能热水器吸收的总热量与加热用户所需热水所需要的太阳辐射能量，当前者大于等于后者时热水器倾角的范围即为合适的倾角范围。3）根据问题一的结论我们可对这一问题进行粗略推断，由求解问题一所得的表中可以看出夏天的集热板与水平面夹角最小，冬天最大，因而若允许一年有两次调节，则调整时间应该在春分到夏至之间与秋分到冬至之间。即在夏至前将热水器集热板与水平面的夹角调小，而冬至前再将其适当调大，使得各个季节太阳光与水平地面的夹角度都不至于太小，进而保证每一时期的太阳辐射能利用率。我们可以采用计算机模拟的方法对春分到夏至、秋分到冬至两个阶段的日期进行搜索，并计算搜索到的日期里每一天热水器吸收的总热量，进而找到热水器吸收的总热量小于标准热量的第一个日期，再根据这一日期对热水器的调节日期进行进一步的确定。4) 大气的折射现象现象反映在人眼中就成了太阳的提前日出和推迟日落，亦即会致使每天的日照时间增加。只需算出由于大气折射引起的时角改变，将改变后的时角代入前一模型第一问中的得到的优化模型即可算出附加进大气折射这一因素后两城市春分、秋分、夏至、冬至这四天、的最优值。而对于第二个问题考虑到两个城市的四季天气特点，我们主要应当考虑的是日均日照少的月份晴天天数也相应少些，因而不能简单地根据平均日照时间长短对太阳能热水器吸收的总热量进行计算。至于第三个问题我们综合考虑大气的折射及两个城市的四季天气特点，我们可将原来的离散化模型进行连续化。以减弱随机因素对问题结论产生的影响。六 模型建立与求解 不考虑大气对阳光的吸收与散射作用时的模型： 1）时角即太阳直射点的纬度，以当地真太阳时正午为零度，下午为“”，上午为“”,在模型假设5中我们假设太阳直射点经度变化是均匀的,从而有 （5）即 （6）所以我们得到一天中太阳能热水器集热板上的太阳辐射量为： （7） 其中，分别是该地的日出和日落时间，-为日出时该地时角,为日落时该地时角。所以我们得到优化模型：求使得 （8）取得最大值。每年的春分（3月21日）与秋分（9月23日）太阳直射赤道，太阳赤纬为0,因而有 （9） 显然有时H可取得最大值,即杭州的太阳能热水器倾角的最优值为，哈尔滨的太阳能热水器倾角的最优值为；夏至（6月22日）太阳直射北回归线，太阳赤纬约为，因而有 （10）冬至（12月22日）太阳直射南回归线，太阳赤纬约为，因而有 （11）我们可根据春分、秋分、夏至、冬至四天两地的日出时间，算出两地的，并与两地纬度一起代入（10）、（11）两式得到H的简化表达式，用Mathematica进行优化模型的求解得下表：春分、秋分夏至冬至杭州哈尔滨 2）由表1，表2我们得到两城市冬天的日照时间总长度分别为：杭州414小时，哈尔滨552小时。由于杭州一年的平均昼长大于10小时我们粗略地将414小时记为40天，对应的由于哈尔滨白天短些我们记其日照时间总长度552小时为58天。为了计算简便，我们用计算机模拟的方法搜索杭州冬天（从立冬到立春）的40个晴天中的13天（约1/3）：首先采用线性同余法产生一列0，1区间上均匀分布的随机数，然后令计算出从立冬到立春的晴天分布序列（所编程序见附件）对运行结果取整得随机数列:。要得到冬天热水器集热板吸收的热量，我们只需算出搜索到的13天热水器集热板的日均吸收热量，并将其视作热水器集热板整个冬天的日均吸热量，从而可得杭州冬天的40个晴天中热水器吸收的总热量。由式(8) 我们得到热水器集热板一天中吸收的热量为： (12)因而我们还需对太阳赤纬和搜索到的13天的日照时间长度进行讨论。由假设7将地球的公转视作地球绕着太阳做匀速运动,即太阳赤纬的变化是均匀的，为方便计算我们将一年记为360天，并给出每一天对应赤纬的计算方法如下： (13)其中x表示一年中的第x天，f(x)为该天对应的太阳赤纬，23.5为北回归线的赤纬，记春分为一年的第0天，则对于任意一天我们都可按照上述公式算出其对应的太阳赤纬。根据式（4），对应日出和日落时刻,因而我们就可以计算出任意一天的白天长度，方法如下：将代入（4）式有： (14)在上式算出的两个值中为正的一个即为对应一天日落时的时角，将其代入下式即可算出13天吸收的总热量： （15）式中为13天里第i天日落时的时角。则杭州整个冬天太阳能热水器集热板吸收的热量为： （16）我们查得冬、夏两季热水器烧水的标准分别为：，（两个城市的平均温度见表1，表2）。所以对于第二个问题求解转化为求解如下优化模型：求使 （17）式中为用户冬天的热水需求总量，为水的比热容，为用户冬天使用的热水所需加热的温度，为当时用户所处位置的环境温度。对于哈尔滨我们可得类似的优化模型。容易查得在杭州、哈尔滨两地冬天加热用户所需热水所需要的太阳辐射能量即总共要烧的标准热水的热量分别为。由（17）式我们可以解得杭州、哈尔滨两地的热水器倾角合适范围为：。3）与2）中类似，我们用计算机模拟的方法搜索春分到夏至这一阶段中的20天，得到其中的晴天分布序列如下： 对于秋分到冬至这一阶段，我们可简单地在此向量的每一项上加180，然后将这些数据代入（13）式算出每一天对应的太阳赤纬，从而进一步算出每一天热水器集热板吸收的热量为： （18）式中为13天里第i天日落时的时角。与标准热量（见表4）比较找到第一个比标准热量少的日期，取它与搜索到的前一个日期取平均，将所得日期确定为热水器的调节时间。将值取为春分、秋分时两个城市的最优角度，即杭州取，哈尔滨取。再根据秋分到冬至，春分到夏至热水器烧水的标准分别为：，就可以算出两城市在这两个阶段的日需热量（见表3），又由式（18）可算出搜索到的日期热水器集热板吸收的热量，详见表4、5。由表5，表6，我们知道杭州春分过后第53天出现热量不够的现象，而离它最近的一天是第45天。哈尔滨春分过后的第45天开始出现热量不够的现象，离它最近的一天是第42天。用SPSS 绘出表4表7中数据的散点图如图4图7所示，由图可知热水器集热板吸收的热量与日期之间近似呈线性关系，因而我们取总热量小于标准热量的第一个日期及其热量与搜索到的前一个日期及其热量按线性函数进行如下计算：杭州：因而将热水器的调节时间确定为春分过后51天。哈尔滨：因而将热水器的调节时间确定为春分过后43天。同样的方法可算出秋分到冬至这一阶段两城市热水器集热板吸收的热量如表6、7所示。经计算可得到：秋分过后61天可对杭州的热水器进行调节；秋分过后50天可对哈尔滨的热水器进行调节在。 附加考虑两个城市一年四季天气特点、早晚大气折射进一步建立如下模型：4）大气的折射现象现象反映在人眼中就成了太阳的提前日出和推迟日落，亦即会致使每天的日照时间增加。仍然按前一模型的方法对这一问题进行讨论。首先，我们得到大气的平均折射率： （19）其中，根据大气的平均折射率，我们就能得到太阳提前日落（推迟日出）的时间： （20）其中、分别是太阳光的折射角和入射角。R、r分别是地球半径以及大气层的厚度。再由（6）式 即可算出由于大气折射引起的时角改变，将改变后的时角代入前一模型第一问中的得到的优化模型即可算出附加进大气折射这一因素后两城市春分、秋分、夏至、冬至这四天、的最优值。经过计算我们得到了由于折射，每天日照增加的时间为：0.00127576小时。相对于两地的日平均日照时间而言这个增加的时间是一个很小的量，并不会对结果产生明显的影响因而我们保持第一问的结论不变。而对于第二个问题考虑到两个城市的四季天气特点，我们主要应当考虑的是日均日照少的月份晴天天数也相应少些，而在前一模型中我们对每一季度三个月的晴天分布进行的是随机的模拟，进而根据平均日照时间长短对太阳能热水器吸收的总热量进行计算，在这一模型中我们附加进两个城市的四季天气特点这一影响因素，则不能简单地根据平均日照时间长短对太阳能热水器吸收的总热量进行计算。但经过计算发现，晴天分布的改变对于太阳能热水器集热板吸收的热量的影响是很小的，因而我们忽略它对模型求解结果的影响，保持结果与前一模型一致。至于第三个问题我们综合考虑大气的折射及两个城市的四季天气特点，不再用每一天的热量与标准热量去比较，而是将问题连续化，对表4表7的数据进行拟合，在所得曲线（详见图8图11）上找到热量变化最大的点，将其确定为热水器的调节时间。从图中我们可以粗略得到如下结论：杭州：春分过54天，秋分过56天后应对热水器进行调节；哈尔滨：春分过53天，秋分过44天后应对热水器进行调节。七 模型的评价本文中我们是采取利用地理学知识对问题进行分析，然后利用数学知识及数学软件对问题进行解答的方式来建模的。第一问中建立的优化模型是很容易求解的，第二、三两问中考虑到影响问题求解的一些因素的随机性，我们采用计算机模拟的方法，用线性同余法产生一些随机序列，使问题得以合理地解决。以上这些都是在不考虑大气对阳光的吸收与散射作用，即相对理想的情况下对问题的分析与求解。在第四问中我们附加进大气对阳光的吸收与散射作用进一步对问题进行分析，文中对于前两个问题只进行了粗略的理论分析而并未求解出精确的数据。实际上我们查得距大气层上界x处的太阳直射辐射强度Ix的梯度与其本身强度成正比 式中k为辐射衰减常数，考虑到其计算的复杂性，我们没有进一步深入下去。而对于第三个问题也只是通过图形进行了粗略的数据估计，并未得到精确的结果。在这一点上模型也是有待改进的。参考文献（1） 地理知识手册，葛敏卿、唐伯英，山东教育出版社，1988（2） 实用太阳能热水器，邵家骧、马沅浚、袁旭东，上海科学技术出版社，1983（3） 太阳能的利用，郭廷伟，刘鉴民，科学技术文献出版社，1987（4）太阳能应用技术，方荣生，项立成，李亭寒，陈小霓，中国农业机械出版社，1982附录：表1：杭州日照与气温情况表1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月平均气温()3.74.68.514.219.223.427.827.723.618.312.46.1平均日照(小时)4.44.24.55.15.65.47.57.85.45.25.04.8表2：哈尔滨日照与气温情况表1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月平均气温()-19.2-14.8-4.56.114.420.322.820.914.04.8-7.1-16.2平均日照(小时)6.17.38.28.39.19.78.68.78.37.46.35.5线性同余法生成随机数的程序: clear z=5;u=0;i=0;v=0;a=97;m=1021; Z=;ZZ=; while i13i=i+1;z=m*(a*z/m-fix(a*z/m);u=z/m;v=90*u;ZZ=u v;Z=Z;ZZ;end表3：两城市在两个阶段的日需热量表春分到夏至（卡）秋分到冬至（卡）杭州哈尔滨表4：春分到夏至杭州热水器集热板吸收的热量表（单位：卡）7452178