2013年高中数学教学论文 细节决定成败之集合问题中的陷阱.pdf

细节决定成败 集合问题中的陷阱 细节决定成败 集合问题中的陷阱 集合是数学中的最原始的概念之一 集合语言是现代数学的基本语言 在每年的高考中必考 且以选择题为主 难度不大 属高考试题中的送分题 但它涉及到中学数学的各个环节 稍 不注意 就会出错 为了跳出出题者所设计的陷阱 就必须注意集合中的一些细节 细节决 定成败 细节 1 把握集合元素形式 细节 1 把握集合元素形式 例 1例 1 设集合A 平面上的直线 B 平面上的圆 则A B中的元素最多有 个 错解 错解 由直线与圆的位置关系可知 最多有 个故填 错因分析 错因分析 上述解法把集合 A B 中元素为误认为了点集 由定势思维考虑两者之间的 位置关系了 正解 正解 集合 中的元素形式是直线 集合 中的元素形式是圆 既是直线又是圆的是什 么呢 故填 个 例 2例 2 设集合 A y y 1 2 xx R B x y x 2 求 错解 错解 显然 y x 所以 A B B 错因分析错因分析 错因在于对集合中的代表元素不理解 集合 A 中的代表元素是 y 是表示函 数的值域 但集合 B 中的元素为x 是表示函数的定义域 正解 正解 A 1 B x x 0 所以故 A B A 妙招妙招 要认识集合 一看元素 看元素代表什么元素代表什么 二看属性 从而确定该集合表示的意 义 是数集还是点集 是函数的定义域还是值域等 解决这一类问题时 一定要抓住集合中 元素的形式 只有弄清了它们所具有的形式 才能准确地判断集合间的关系 进而进行相关 的运算 解题时应认真领会 以防出错 细节 2 检验集合中元素的互异性 细节 2 检验集合中元素的互异性 例 例 已知集合 A 3 B 且 Aa 2 aa B 求 的值 a 错解 错解 经过分析知 若 2 a 31 a则 2 a 02 a即1 a或 若 则 2 a 2 a 1aa 2 a 012 a即1 a 从而a 正解 正解 经过分析知 若 2 a 31 a则 2 a 02 a即1 a或 若2 a 用心 爱心 专心 1 2 a 1aa 则 2 a 012 a即1 a 从而 而 当 时 中 有两个相同的元素 1 与互异性矛盾 应舍去 故 a a a 例 例 设 2 x R 求 中所有元素之和 错解 错解 集合 中的元素是方程的根 故由根与系数的关系可知 两根之和为 错解 错解 由 得 2 x 当 时 1 x2 此时 中的元素之和为 时 1 x2 当 错因分析 错因分析 上述解法犯错误的原因是是忽视了集合中元素的 互异性 正解正解 集合 中的元素是方程的根 由于 故当 时 方程有二重根 由集合中元素的互异性 集合 所以元素之和为 当 时 22 1 4 2bb b a 1 x2 妙招 妙招 集合元素的确定性 互异性 无序性在解题中有重要的指导作用 忽视这一点差 之毫厘则失之千里 要注意分类 注意求得结果后再代入检验 细节 牢记空集的特殊性 细节 牢记空集的特殊性 例 例 设集合 x ax 1 0 且 求实 数的值 2 x 错解 错解 由 a 1 又 故 所以 1 3 1 或a 错因分析 错因分析 忽视了 的情形 正解 正解 由 集合是方程 ax 1 0 的根 当 a 时 方程无根 此时集 合 为空集 满足题意 当 a 不为 时 a 1 所以1 3 1 或a综合可得1 3 1 或a或 12 41 xx A1 例 例 已知 mxmxB 求当求实数 m 的 取值范围 AB 错解错解 要使 应有解得 A m m B 412 11 121 m m 2 5 2 m 用心 爱心 专心 2 错因分析 错因分析 错解忽略了 B时的情况 因为当 B时 亦成立 AB 正解 正解 1 当 B时 由错解可得 2 5 2 m 2 当 B时 121 mm 解得 所以 m 的取值范围为 2 m 2 5 m 妙招妙招 涉及集合的交 并 补运算和子集关系时 注意集合是否为空集 即在限制条件 下均有可能成立 空集是任意集合的子集 是非空集合的真子集 如果在解题中忽略空集 易产生丢解的情况 解题时一定要慎重审题 周密考虑 细节 挖掘隐含条件 例 细节 挖掘隐含条件 例 设全集 2 aaaACU 求实数的值 a 错解错解 ACU 且 从而 解得a 或 2 aa a 错因分析错因分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件 因为 是全集 所以首先必须满足 正解 正解 当 时 aa 符合题意 当 时 U 不符合 aa 题意 故 a 妙招 妙招 在许多问题的题设中隐藏着某些条件 解题时 要注意题设中的细节 养成细心 规范解题的好习惯 细节 注意等价转换细节 注意等价转换 例 例 设集合 1 1 1 x y yx 1 1 yxayx 且 NM 求实数 a 错解 错解 集合 M 表示直线 y x 2 上的点的集合 集合 N 表示直线 y 1 a x 1 上的点的集合 又 NM 即两直线平行时 故 1 a 1 即a 0 错因分析 错因分析 将集合 M 转化为直线 y x 2 上的点的集合是不等价的 它应除去点 1 1 正解 正解 集合 M 表示直线 y x 2 上的不包括点 的点的集合 集合 N 表示直线 y 1 a x 1 上的点的集合 又 NM 即两直线平行时 故 1 a 1 即 或当集a 0 用心 爱心 专心 3 合 N 表示的直线过这个点时 也符合 NM 所以把点 代入直线 y 1 a x 1 解得 a 3 故 a 0 或 3 妙招 妙招 对于用集合语言叙述的问题 求解时往往需转化为代数语言或几何语言 如果转 化不等价 就会导致错误 解题时要注意条件的充分性 必要性和充要性 非常熟练三种语 言的相互转化 细节 理解符号的含义 例 9 细节 理解符号的含义 例 9 如图所示 A B 是两个非空集合 定义 BxAxxBA 且 则 是下图中的 A I B II C III D I II III 错解 错解 因 表示属于 而不属于 应选 C 错因分析 错因分析 上述解法对新定义符号 的理解不当 致使 在迁移运用时 出现错误 正解 正解 的正确理解应是属于 而不属于集合 而 A B 为图中的区域 I 故 应为图中的区域 II 应选 B 妙招 妙招 集合中的符号语言极具抽象性 准确理解集合中符合