高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究 新人教A版选修2-2.doc

高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究 新人教a版选修2-2探究一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n01，nn*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(3)利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法【典型例题1】用数学归纳法证明：135(2n3)(2n1)(2n3)5312n22n1(nn*)思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在nk时等式成立的基础上，等式左边加上nk1时新增的项，整理出等式右边的项证明：(1)当n1时，左边1，右边2122111，等式成立(2)假设当nk(kn*)时，等式成立，即135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1.则nk1时，左边135(2k3)(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)5312k22k1(2k1)(2k1)2k22k12(k1)22(k1)1，即当nk1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意nn*都成立探究二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1验证第1个n的取值时，要注意n0不一定为1，若条件为nk，则n0k1.2证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”3应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明nk1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程4证明nk1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”【典型例题2】用数学归纳法证明1(其中nn*，n1)思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由nk证nk1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论证明：当n2时，左边1，右边，10，所以左边右边，即不等式成立假设当nk(k2，kn*)时，不等式成立，即1 ，则当nk1时，1.(方法1)由于0，所以，即1 .(方法2)由于，所以1 .即当nk1时原不等式也成立，由知原不等式成立探究三 归纳猜想证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的因此归纳猜想证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列an中，a11，a2，且an1(n2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明思路分析：本题考查数列中的归纳猜想证明问题，先由前n项猜测an，再用数学归纳法证明解：a2，且an1(n2)，a3，a4.猜想：an(nn*)下面用数学归纳法证明猜想正确(1)当n1,2时易知猜想正确(2)假设当nk(k2，kn*)时猜想正确，即ak.当nk1时，ak1，即当nk1时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意nn*都正确探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：147(3n2)n(3n1)错解：证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时等式成立，即147(3k2)k(3k1)，则当nk1时，需证147(3k2)3(k1)2(k1)(3k2)(*)由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k1的等差数列的前n项和，其和为(k1)(13k1)(k1)(3k2)，所以(*)式成立，即nk1时等式成立根据(1)和(2)，可知等式对一切nn*都成立错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的错解在证明当nk1等式成立时，没有用到假设“当nk(k1，kn*)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求正解：证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时等式成立，即147(