学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(共15讲).doc

学而思2011年秋季北京四年级超常123班难题汇总第一讲 整数与数列找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。1、一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：_，从这列数的第_个数开始，每个都大于2007。【难度级别】【解题思路】找规律。第1个：3第2个：632第3个：18(3+23)23(1+2)2332322第4个：54(3+6+18)2(3+32+332)2(33+332)2(333)2332第n个：3n-12这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。由公式，第6个数：352486。由3n-12 2007，得3n-1 1003.5，n=8（其实，第6个数是486，第7个数就是48631458，第8个数1458343742007）。【答案】486，8。2、【例5】计算：1119 + 1218 + 1317 + 1416计算：199 + 298 + 397 + + 4951【难度级别】【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。2个数的中间数2个数的和除以2，或者小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。计算题中平方差的应用主要是找准中间数。另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+(502-12)=50249-(492+482+472+12)=250049-4950996=82075【答案】870，82075。3、【学案4】计算：24 + 46 + 68 + + 2830【难度级别】【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6。每个乘积的2个数分别提取个2，224，相等于提取4。24 + 46 + 68 + + 28304（12 + 23 + 34 + + 1415）括号内的，例题讲过，通用的方法是：n（n + 1）= n2 + n这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。4（12+1 + 22+2 + 32+3 + + 142+14）4（12+22+32+142+）+（1+2+3+14）4（1415+296 + 15142）4480【答案】4480。4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？【难度级别】【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。当然本题考孩子的是找规律。先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。11111555551111100000 + 5555511111100000+11111511111（100000+5）11111100005（因100005比11111大，想办法变小）11111200015（先考虑是5的倍数）11111666753（再看到20001是3个倍数）3333333335从11111666753这个式子可以看出来，111113得到3万多，66675也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。找规律，方法如下：1个1，1个5，15352个1，2个5，115533353个1，3个5，111555333335n个1，n个5，11155553333335(都是n位数)所以，5个1，5个5，11111555553333333335【答案】可以，11111555553333333335。5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？【难度级别】【解题思路】此题，孩子可能无从下手。先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。1+3+5+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025所以n最大为44，47443，偶数最多3个。给出一例：2000=1+3+5+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。【答案】最少有3个偶数。6、【作业1】计算：123456789876543219_【难度级别】【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。12=1112=1211112=1232111112=1234321数如果是n个1(1=n=9)，平方就是1n1。所以12345678987654321911111111129111111111999999999111111111(10000000001)111111111000000000111111111111111110888888889【答案】111111110888888889。7、【作业3】非零自然数的平方按照从小到大的顺序连续排列，是：149162536，则从左向右的第16个数字是_。【难度级别】【解题思路】这道题，难度也就一星，但是如果问第160个数字数多少，难度就有3星了。因为第16个数字再写几个就出来了，但是如果第160个就写不出来只能计算了。继续写下去，149162536496481100，所以第16个数字是1。计算过程如下：平方数是1位的，有1、2、3，共3个。平方数是2位的，有4、5、9，共6个。平方数是3位的，有10、11、12、31，共22个。平方数是4位的，有32、33、34、99，共68个。因为，31的平方961（3位最大的）32的平方1024（4位最小的）99的平方9801（4位最大的）100的平方10000（5位最小的）13+261513+26+3228113+26+322+468272从这个结果知道，16-15=1，第16个数字是“平方数是3位”的第1个数字，即：10的平方（100）中1。1608179，第160个数字是“平方数是4位”的第79个数字，794193，即：第20个“平方数是4位”的左数第3个，32+20-1=51，51的平方2601，左数第3个是0。所以地160个数字是0。【答案】1。8、【作业4】对于每个不小于1的整数n，令an表示1+2+3+n的个位数字。例如a11，a23，a40，a55，则a1+a2+a3+a2007_。【难度级别】【解题思路】题目不难，但孩子不一定能做出来。这种题目一看，肯定是周期问题，一定会循环的，此题的关键是，看能否坚持下去，因为到20才出现周期。n1234567891011121314151617181920an13605186556815063100题目求的是2007个数字的和。2007201007周期内的20个数字的和70，周期内前7个数字的和24要求的结果10070+247024【答案】7024。第二讲 巧求面积求面积时需要头脑灵活，但是有些题目方法确实不好想，需要摸索、体会和领悟。21、【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【难度级别】101010102134【解题思路】此题，1010100平方米，这个不一定容易看到。周长相差40米，边长相差10米。如图，(3)为小试验田，则(1)的面积是100平方米，这是关键点。40410，1010100，220100120，120260，60106，6636【答案】36平方米。22、【作业8】在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。【难度级别】【解题思路】此题问题的关键是如何使用条件“阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米”，如果考虑到填补的方法，问题就变得简单了。都补上梯形EGCB后，阴影就变成了“平行四边形ABCD”，三角形EFG就变成了“三角形EBC”。根据差不变性质，这2部分的面积差还是10平方厘米，而三角形EBC是个直角三角形面积可求（二个直角边已知）。108240，40+1050。【答案】50平方厘米。ECFADB23、【作业1】如图所示，从一个直角三角形中剪去一个面积为15cm2的长方形后剩余部分是两个直角三角形。已知AD长为3cm，求CE长是多少？【难度级别】GADECFB123456F【解题思路】看到此题，作为家长的我，是真的没做出来，关键是这种巧妙的方法不是很好想的。如图做辅助线，构成一个大长方形ABCG。由对称知道，三角形AGC和三角形ABC面积相等，又3和1面积相等，4和2面积相等，所以6和5面积相等，为15cm2。因为6的面积15cm2，宽AD3cm，所以，长15/35cm，CE5cm。【答案】5cm。AEFBGDCO24、【例8】如图，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求BCO与EFO的面积差。【难度级别】【解题思路】此题的难点在于不好理解求的“BCO与EFO的面积差”，为什么要求2个的面积差？不好下手。如果使用高中知识，可知BCO与EFO是相似，BC=2EF，可得CO=2EO，所以CO=2，EO=1（因为CE=3），结果是：24/2-12/2 = 3。HAEFBGDCO小学知识，就得从要求的“BCO与EFO的面积差”考虑，这2个都不好求，添一个什么图形能好求呢？！延长BC，BCO与EFO都添加一个梯形CHFO，就变成了求BHF与长方形EFHC的面积差了。36/2-323。【答案】面积差是3。25、【学案3】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【难度级别】【解题思路】此题不好考虑如何做辅助线，如何把花瓣拼凑成规整图形。如图虚线，在一个圆内作一个正方形，此正方形与中间的正方形大小是相等的。在虚线的正方形内空白的2个花瓣，正好可以用“圆和虚线正方形之间2个阴影”补上，凑成一个正好的正方形。所以阴影部分的面积就是4个小正方形的面积。本题的第二个难点就是，如何求一个小正方形的面积。小正方形的对角线正好是直径2厘米。使用“正方形面积对角线平方2”来求。（222）48平方厘米。【答案】8平方厘米。AEFCBGDO26、【学案4】如图， E、F、G都是正方形ABCD三条边的中点，OEG比ODF大10平方厘米，那么梯形OGCF的面积是多少平方厘米？【难度级别】AEFCBGDOHIJ【解题思路】此题较难，成人也不太容易做出来，第一：题目给的“OEG比ODF大10平方厘米”不知道如何使用，第二：不知道该怎么做辅助线。如图从G点向上作一条垂线，从O点向下作一条垂线。需要证明O是HF的中点。对长方形IGCD，DG是对角线经过长方形的中心，HF是长方形的对称轴也经过长方形的中心，所以O是长方形IGCD的中心点，所以O是HF的中点，所以OGH和ODF形状大小完全相同面积相等。这样，题目给的条件“OEG比ODF大10平方厘米”就用上了，HEG的面积就是10平方厘米。再根据E、F、G都是边上的中点，知道HEG的面积是正方形ABCD面积的1/8，正方形ABCD面积是80。四边形HGCF面积是1/4，80/4=20平方厘米，OHG的面积是1/16，80/16=5平方厘米，梯形OGCF的面积是：20515平方厘米。也可以不求出正方形ABCD面积80，HEG的面积1/8等于10平方厘米，OHG的面积1/16就是1/8的一半5平方厘米，四边形HGCF面积1/4就是1/8的2倍20平方厘米，20515就是梯形OGCF的面积。【答案】15平方厘米。第三讲 火车过桥问题火车过桥问题，情况比较多，老师逐一进行了讲解，如头头、头尾等，还分相遇或者追及，个人认为记住这些比较困难，最好记住分析的方法和原理就行了，遇到具体问题再去分析是“慢车长”还是“快车长”、是“车长+车长”还是“车长-车长”。方法就是，车头插红旗或者车尾插红旗，看看题目中的两者（或者多者）具体走的距离。解题主要考虑3个量：距离、速度、时间，距离一般使用距离和或者距离差，速度一般使用速度和或者速度差。31、【例8】有一条东西向的铁路桥，一只小狗在铁路桥中心以西5米的地方。一列火车以每小时60千米的速度从西边驶过来，火车头距离铁路桥的西桥头还有2个桥长的距离。如果小狗迎着火车跑过去，它恰好能在火车头据西桥头还有1米的时候逃离铁路桥；如果小狗以同样的速度向东跑的话，小狗会在据东桥头还有0.25米的地方被火车追上。铁路桥长多少米？小狗的速度为每小时多少千米？【难度级别】【解题思路】此题题目较长，需要画图和列表来帮助解题，要让孩子有耐心去读题、分析题。510.25小狗和火车相同时间走的距离：小狗火车小狗向西半桥-52桥-1小狗向东半桥+5-0.253桥-0.25(+)1桥-0.255桥-1.25从表格看出，5桥-1.25=5(1桥-0.25)，说明在相同时间内火车走的距离恰好是小狗的5倍，火车的速度是小狗的5倍，小狗速度60512千米/小时。由5倍关系，2桥-15(半桥-5)，求得：桥=48米。其实，可以列成二元方程来：(2S-1)/60 = (S/2-5)/V(3S-0.25)/60 = (S/2+4.75)/V这个二元方程是分数方程，最后变成S的一元二次方程，有2个解。一个解：V12，S48是正解，另外一个解S=0.25(V585)不符合题意。但是这个方程，对于小学孩子是无法解的。这仅仅是想说明，此题如果不是整数倍，也是有解的，当然给孩子出题不会这么难的。【答案】铁路桥长48米,小狗的速度为每小时12千米。32、【例7】现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行18米，慢车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间。【难度级别】【解题思路】此题不难，列在这里，想说两件事情，一是如何分析问题如何考虑使用哪个车长，二是此题有简便算法。其实火车过桥问题，主要是考虑车长、桥长。此题第一种情况，同向，头头齐。同向，是追及问题，用到的是距离差、速度差，当然，相遇类问题就用到距离和、速度和。头头齐，同向行进，可以让孩子在车头插红旗，用示意图画一下开始两车头齐，之后快车尾和慢车头齐，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了一个“快车车长”。此题第二种情况，同向，尾尾齐。尾尾齐同向行进，可以让孩子在车尾插红旗，用示意图画一下开始两车尾齐，之后快车尾和慢车头齐，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了一个“慢车车长”。此题第三种情况，同向，快车头慢车尾齐，之后是快车尾慢车头齐。可以让孩子在快车头、慢车尾插红旗，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了“慢车车长+快车车长”。这种方法，孩子就不需要记各种各样的情况下是哪个车长，学会画图即可。解题就简单了，第一种情况，求出快车车长：12(18-10)=96米，第二种情况，求出慢车车长：9(18-10)=72米，第三种情况，两车行进的距离差是“慢车车长+快车车长”，距离差/速度差，就是要求的时间，(96+72)/(18-10)=21秒。列出此题的第二个目的是，此题有简便算法，想一下，多走一个快车的时间是12秒，多走一个慢车的时间是9秒，第三种情况就是多走2个车，所以时间是：12+9=21秒。【答案】21秒。33、【例4】李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米。问货车行驶的速度是多少？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。车厢长、车头长、车厢间距，这些仅仅是为了求货车的车长。此题可以等同于火车过人问题，只是人不是静止的是有速度的（火车的速度），所以此题火车没有用处可以忽略。因是迎面，是相遇问题，使用的是距离和、速度和。此题涉及单位换算，题做完后知道，换成米/秒是小数，换成千米/小时是整数。明白以上四点，解题就简单了。货车车长15.830+10+1.230520米。车头和车厢之间是有间距的，所以1.2不要算29个要算30个。距离和520米，速度和520米/18秒=(520/1000)/(18/3600)千米/小时104千米/小时。货车速度104-60=44千米/小时。【答案】44千米/小时。34、【例3】铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时。这时，有一列火车从他们身后开过来，火车通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒。这列火车的车身总长是多少？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。火车过人问题，追及，使用距离差、速度差。很明显，距离差火车车长。3.6千米/时1米/秒，10.8千米/时3米/秒。22(V-1) = 26(V-3)V=14米/秒22(V-1)=286米【答案】286米。35、【学案4】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行驶的货车。求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【难度级别】【解题思路】火车过桥和追及问题，需要把时间弄清楚。货车速度：54千米/小时15米/秒列车速度：72千米/小时20米/秒货车过桥时间84秒，S货+S桥84151260米列车过桥时间53秒，S列+S桥53201060米货车离开桥到列车超过用了47分32秒2852秒，走的路程：28521542780米列车离开桥到超过货车用了36分3秒2163秒，走的路程：21632043260米分析：从车尾离开桥到列车追上货车，“桥到追上地点的距离”是本题孩子不容易搞明白的地方。货车车尾离开桥、列车车尾离开桥不是在同一时间，课堂上讲的头头、尾尾、头尾等等情况都是在同一时刻。事实上给孩子讲清楚：货车走的慢先走的、列车走的快后走的，但是最后追上了；不管是列车走还是货车走，也不管是先走还是后走，“桥到追上地点的距离”是不变的；在车尾插红旗，列车走的路程是“桥到追上地点的距离”，货车走的路程比“桥到追上地点的距离”少了一个“货车车长”，所以：货车路程+货车车长列车路程。42780+S货43260，得到：S货480米由前面的S货+S桥1260米，得到：S桥1260-480=780米由前面的S列+S桥1060米，得到：S列1060-780=280米【答案】货车长480米，列车长280米，桥长780米。36、【学案3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。相向，相遇问题，使用距离和、速度和。坐在快车上，距离和=慢车长=385，速度和=385/11=35米/秒。坐在慢车上，距离和=快车长=280，速度和不变，时间=280/35=8秒。【答案】280(38511)=8秒。37、【学案2】铁路与公路平行。公路上有一行人，速度是3.6千米/小时，公路上还有一辆汽车，速度是16米/秒，汽车追上并超过这个行人用了2.4秒。铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过行人用了6秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒。求火车的长度与速度。【难度级别】【解题思路】仅从字面“追上并超过”理解，感觉象“人与汽车同向”，但是个人认为题目没有说人和汽车的方向，需要考虑人的方向有2种可能。(1). 人与汽车同向追及问题，使用距离差、速度差。3.6千米/小时1米/秒。汽车追人得到，汽车长2.4(16-1)=36米火车追人得到，火车长6(V-1)火车追汽车得到，火车长+汽车长48(V-16)48(V-16)6(V-1)+36V19米/秒火车长6(V-1)6(19-1)108米(2). 人与汽车相向人与汽车、人与火车相遇，火车与汽车追及。48(V-16)6(V+1)+2.4(16+1)V19.4米/秒火车长6(V+1)620.4122.4米【答案】长108米，速度19米/秒，或：长122.4米，速度19.4米/秒。第四讲 加乘原理综合应用此讲没有新内容，是对以前学过的加乘原理的应用，但是有些题目确实挺有难度的。41、【作业4】一次考试的选择题有A、B、C、D四个选项，允许选一项或者多选（可以全选，但不能都不选），问这个选择题有多少种不同的答案？【难度级别】【解题思路】此题不难，列在这里是想说另一种方法。大家常用的方法是：选1个4种，选2个6种，选3个4中，选4个1种，共4+6+4+115种。另一种方法就是：每个选项选或不选有2种可能，2222-115。【答案】15种。42、【作业3】有一个四位数，它与它的逆序四位数的和为9999，例如7812+2187=9999,3636+6363=9999,那么这样的四位数一共有多少个？【难度级别】【解题思路】此题不算太难，但是孩子可能读不太懂“它与它的逆序四位数的和”，即便读懂了也不知道如何考虑。的逆序是，因a+d=9,b+c=9,a和d不能等于0也就不能等于9，所以a可以选择除0和9以外的8个数字，a选好后，d就确定了，b可以选择10个数字，b选好后，c就确定了。81080。【答案】80个。43、【例7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工电工都会。从7人中挑选4人完成此项工作，共有多少种方法？【难度级别】【解题思路】此题难度不大。分两种情况考虑就可以了：不选“多面手”、选“多面手”。给孩子讲清楚，3选23选13种。不选“多面手”，需要2名钳工，3名钳工选2名钳工，3种，需要2名电工，3名电工选2名电工，3种，339种。选“多面手”，又分2中情况：“多面手”当钳工、“多面手”当电工。“多面手”当钳工，还需要1名钳工，3名钳工选1名钳工，3种，需要2名电工，3名电工选2名电工，3种，339种。“多面手”当电工，需要2名钳工，3名钳工选2名钳工，3种，还需要1名电工，3名电工选1名电工，3种，339种。9+9+927种。【答案】27种。44、【例8】用四种颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不学奥而数思同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：共有多少种不同的染色方法？【难度级别】【解题思路】这道题不太难，就是在然最后2个的时候要分情况。这道题好象是某个杯赛的1道题目，原题是对5个国家染色。假设染色顺序为：学奥而思数。前3个：学奥而，432，“思”有2种情况：与“学”相同、与“学”不同。“思”与“学”相同：“数”有2种，“思”与“学”不同：“数”只有1种，所以：2+13，432（2+1）72种。【答案】72种。45、【例2】如图，讲1、2、3、4、5分别填入图中15的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。共有 种不同的填法。【难度级别】【解题思路】此题先要考虑黑格能填多少，可能容易想到4和5，但是3和5也是可以填的，这一点未必想到。黑格填4和5（21），白格填1、2、3，因1、2、3比4、5都小，所以1、2、3在白格可以任意填（321），2132112种。黑格填3和5（21），白格填1、2、4，因4只能填在黑格5的最外侧，所以4没有选择（1），1、2在白格可以任意填（21），211214种。12 + 416种【答案】16种。46、【学案2】从1到500的所有自然数中不含数字4的自然数有多少个？【难度级别】【解题思路】此题容易算错，而且容易把百位是4的忽略。此题孩子可能考虑先算含4的，实际上含4的也很多，和直接算不含4的方法一样。不含4的1位数：有8个，1、2、3、5、6、7、8、9。不含4的2位数：有8972个。不含4的3位数：百位可以选择：1、2、3，十位9种，个位有9种，399243个，外加1个500。8+72+243+1324个。【答案】324个ABCDEFG47、【学案4】给图中7个圆圈染色，有5种不同的颜色可选，要求线段相连的两个圆圈不能同色，那么共有 种不同的染色方法。（不考虑图形翻转）【难度级别】ABEFCDG【解题思路】将图形进行如下转换，转换后的图形就和例8差不多了，而且比例8还简单，不用分情况。图形转换是难点。假设染色顺序为：A-E-F-B-C-D-G，54333334860。【答案】4860种。48、【例1】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【难度级别】【解题思路】此题对孩子难度不小，首先要分情况，取三面小旗有如下3种情况：只取一种颜色、取两种颜色、取三种颜色，其次再每种情况去计算。分情况的思路孩子未必能够想到。(1)取一种颜色，只能取蓝或白，有2种，其他两种不足三面不能取。(2)取两种颜色，有3种排列可能：、413+431+43112+12+1236取两种颜色，老师给出了另一种求法：4取2（无顺序）有6种，2色3面旗有2种可能：2A1B或者1A2B，而3面小旗选好以后有三种排列方式：、，所以：62336。(3)取三种颜色，43224。所以，2+36+2462白旗不能打头的，按照反向考虑，先求出白旗打头的： 白 、 ？ 、 ？ ，14416。621646就是白旗不能打头的。【答案】共可以表示62种不同的信号，白旗不能打头有46种。49、【例4】用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成 个能被9整除的没有重复数字的四位数。【难度级别】【解题思路】此题的难点在于：能被9整除。能被9整除有个性质就是：数字之和是9的倍数。从六个数字中选择4个数字，而这4个数字的数字和是9的倍数。0+1+2+3+7+821，所以4个数字的数字和可能是9也可能是18。因不能重复，0、1、2、3之和为6，不够9，所以必须有7或者8，但是有7或者8后0、1、2、3选择3个和7或者构成和为9是不可能的（7缺2，0、1、2、3选3个数字和为2不可能，8缺1，0、1、2、3选3个数字和为1不可能），所以4个数字的数字和是9不可能，只能是18。4个数字的数字和是18，7和8必须都选，因为选1个剩下的0、1、2、3四个数字之和才6，8+614，得不到和18。7和8都选，7+815，还缺3，2个数字的数字和是3，可能是1+2，也可能是0+3，所以所选的四个数字是1、2、7、8或者0、3、7、8。当然，如果孩子不会使用上面的方法分析，也可以从6个数字选4个相加，用枚举法来尝试，看看哪些是9的倍数，枚举的结果也只有这2种组合。对1、2、7、8，有432124种。对0、3、7、8，有332118种。24+1842种。【答案】42种。4A、【例6】有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点，将三个骰子放在桌面上，向上的一面点数之和为奇数的有多少种情形。【难度级别】【解题思路】此题的难点之一是如何分析“点数之和为奇数”，另外老师说此题有二义性，老师说骰子相同和不同结果不一样，我个人认为题目没有二义性，因为：题目问“有多少种情形”没有问“有多少个不同的奇数”。先分析3个数之后为奇数。3个数组合最多有4种可能：(奇、奇、奇)，(奇、奇、偶)，(奇、偶、偶)，(偶、偶、偶)。而这4种里，只有(奇、奇、奇)和(奇、偶、偶)3数相加得奇数。此分析是此题的关键。对(奇、奇、奇)，奇有1、3、5三种可能，所以33327种，其实这27种里面数有重复的，例如1+3+3和3+1+3和3+3+1，既然认可了这属于3种情形，也就认可了3个骰子是有顺序的（或者说是不同的），所以老师说的二义性就不存在了。对(奇、偶、偶)，奇有1、3、5三种可能，偶有2、4、6三种可能，所以33327种，这是指：第1个骰子取奇数、第2个骰子取偶数、第3个骰子取偶数。当然，第1个骰子取偶数、第2个骰子取奇数、第3个骰子取偶数，即：（偶、奇、偶）也是不同的情形。（偶、偶、奇）也是不同的情形。因此有3个27，273。27+273108种。大家有不同意见，我们可以进行探讨。老师认为，骰子不同是108种，骰子相同是54种(27+27)，这样2个答案。个人考虑，如果认为(奇、偶、偶)27种就是一种情形（此观点意味着1+2+4、2+1+4、2+4+1是一样的），那么就需要思考(奇、奇、奇)中的1+3+3、3+1+3、3+3+1是不是也只能算一种情形了？这种观点下，(奇、奇、奇)就不是27种，就只有10种了（111、113、115、133、135、155、333、335、355、555），答案就应该是10+2737。其实37也不对，因为(奇、偶、偶)也没有27种那么多，因为1+2+4、1+4+2在27种中算2种，如果算1种，就只有3（22、24、26、44、46、66）3618种了，10+1828种，正确答案就是28种了。所以，我对老师说的如果骰子相同答案是：(奇、奇、奇)27种+(奇、偶、偶)27种54种，持保留意见，我认为是28种。根据我的这个分析，我个人认为，题目考察的还是108这个答案。老师下次课明确了，此题答案是108种，并给出了简便方法。第1个骰子有6种可能，第2个骰子也有6种可能。第1个骰子+第2个骰子之和，如果是奇数，要想总和为奇数，第3个骰子只能选偶数，有(2/4/6)3种可选，如果是偶数，要想总和为奇数，第3个骰子只能选奇数，有(1/3/5)3种可选。也就是说，不管什么情况，第3个骰子都是有3种可选，所以663108种。【答案】108种。4B、【学案3】求满足下列两条件的所有八位数的个数：(1)每个数位的数字为1至9中某一个；(2)任意连续三个数位组成的三位数都能被3整除。【难度级别】【解题思路】将1至9分成3组：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。由题目的第2个条件可以知道，第1位与第4位第7位相差0/3/6，第2位与第5位第8位也相差0/3/6，第3位与第6位也相差0/3/6；也就是说第1、4、7位在一起考虑，第2、5、8位在一起考虑，第3、6位在一起考虑，一起考虑的只能使用上面分组中的同一组数字。如果第1位取1，则第4位第7位只能取(1、4、7)中1个，如果第1位取2，则第4位第7位只能取(2、5、8)中1个，如果第1位取3，则第4位第7位只能取(3、6、9)中1个，其他类推。第1位：9种，第4位：3种，第7位：3种。第2位：9种，第5位：3种，第8位：3种。对于第2位的9种情况，分3种可能：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。假设第1位n=5。 第2位取(1、4、7)之一，n+16，由3位相加是3的倍数，不缺，知道第3位只能取(3、6、9)之一，第6位与第3位同组，33。 第2位取(2、5、8)之一，n+27，由3位相加是3的倍数，缺2，知道第3位只能取(2、5、8)之一，第6位与第3位同组，33。 第2位取(3、6、9)之一，n+38，由3位相加是3的倍数，缺1，知道第3位只能取(1、4、7)之一，第6位与第3位同组，33。也就是说，不管第2位取任何数，因相加是3的倍数的原因被限制了，第3位都只能取三组分组中的一组，有3个数字可选，3种情况，第6位也就跟着3种。按位序(147)(258)(36)，有：(933)(933)(33)59049种。此解法做复杂了，老师给出了答案： 如果一个三位数的前2位确定了，则前2位之和3的余数有3种可能：0、1、2，如和是0则第3位只能从（3、6、9）中选，如和是1则第3位只能从（2、5、8）中选，如和是2则第3位只能从（1、4、7）中选，第3位都是只有3个数字可选。八位数，从左边地1位开始，993，（2、3、4）也是一个三位数，第2位、第3位确定了，所以第4位也是3，后面类推，都是3。9933333331095。同时论坛上的好心人(lyc0101)也给出了此解法： 八位数的第一位（最高位）可填1至9中的任意一个（9种）；第二位同样也可填1至9中的任意一个（9种）；第三位因为要满足“连续三个数位组成的三位数都能被3整除”，而前两个数位的和除以3的余数只有三种情况：0,1,2，无论哪种情况，第三位都可以找到相应的数使三个数位上的和能被3整除！而对应每种余数都有3个数可选，所以此位的选法为3种；从第四位到第八位的选法理由都与第三位相同，所以总的个数有：9*9*3*3*3*3*3*3=59049。【答案】59049个。第五讲 抽屉原理本以为此讲没有难题，没有想到的是居然题很难，而且有些题真是难到我们这些普通家长无法做出来的成都，估计也只有数学专业的人们才能做得出来。51、【例6】一个布袋里有大小相同颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一次最少取出多少个球，才能保证有4个颜色相同的球。【难度级别】【解题思路】最不利是各颜色都取到3个，但绿色只有1个取不到3个，1+3413个，多取1个必是红、白或黄之一，可以保证取到4个颜色相同的球，13+114。如果此题再问：一次最少取出多少个球，才能保证有4个颜色不同的球？考虑颜色不同，最不利取10个红、9个白、8个黄，10+9+827，27+128必有4个颜色不同的。【答案】14个。52、【学案4】 将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一个布袋里，请问：(1)一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？(2)一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？（两只手套颜色相同即为一双）【难度级别】【解题思路】最不利是各颜色都取到3只，但白、黑都不足3只，1+2+3312个，多取1只必能得到第4只颜色相同的，12+113。先考虑颜色相同，最不利取9只绿（已有一双绿的了），再考虑不同颜色时数量不足，最不利都取1只，9+1413，再多取1只就可以配出和绿色不同的另一双手套了，13+114。【答案】(1)13只，(2)14只。53、【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【难度级别】【解题思路】除以3的余数有0、1、2三种情况，根据抽屉原理，有4个数时必有2个数除以3余数相同。对3余数相同的2个数做差能整除3，所以答案是4。【答案】是，四个自然数中必有两个数的差能被3整除。54、【作业7】在100张卡片上不重复地编写上1至100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？【难度级别】【解题思路】此题知道答案感觉不难，但是不知道答案时，也不好想。被4整除，有2个偶数相乘才能保证，其他都不能保证。当抽出50个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出2张偶数，乘积即可被4整除，也就是抽出52个数可以保证乘积能被4整除。【答案】52张。55、【学案3】任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等。【难度级别】【解题思路】此题是构造抽屉原理中苹果和抽屉。从三十位数中截取相邻的三位共可得到30228个三位数，这是苹果。由1、2、3共可组成33327个不同的三位数，这是抽屉。28个苹果放到27个抽屉里，必有一个抽屉里有2个苹果或2个以上的苹果，所以截得的三位数一定有两个相等。【答案】证明见“解题思路”。56、【例7】31个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？【难度级别】【解题思路】感觉此题和抽屉原理没什么关系。要想男生多，需女生尽量少，让两男生中间有2个女生，1+23人1组，313101，可以有10组，余下的1人不能是男生，因为没有2个女生可以在中间做间隔了，所以余下的这1人只能是女生了，男生10人。老师给出了代数方法，求解不等式方程。假设男生x人，则女生(31-x)人，男生x人有x个间隔（圆圈），1个间隔至少2名女生，所以女生至少2x人，2x31-x，解得x10，x最大为10，即：男生最多有10人。【答案】男生最多有10人。57、【例8】25名男生与25名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生。【难度级别】【解题思路】老师讲完了这道题，依然感觉到这道题很难，今天写此题时已经想不起来了老师是怎么做了，翻出笔记才记起来，说明这题真的不好做。将圆桌旁的50个位置编号：1、2、350，这50个位置分为奇数、偶数2个抽屉，252121，说明至少有1个抽屉（奇数位或者偶数位）有13个或13个以上女生。不妨设13名女生坐在奇数位上，偶数位上同理。25个奇数位，不连续的奇数位最多只有12个（例如：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，49与1是连续的奇数位），13个女生必有2个女生坐在连续的奇数位上。两个连续的奇数位中间那个偶数位就是题目要证明的。【答案】见“解题思路”。58、【作业8】在一个圆形苗圃的周边等间距的种了13棵树将该圆周十三等分，或是松树或是柏树。试说明存在同种三棵树可以作为等腰三角形的三个顶点。【难度级别】【解题思路】读明白题目很容易，而且13棵树只有2种，根据抽屉原理，可以得到至少有一种树是7棵或者7棵以上，接下来再怎么做，真的想不出来。唉！难呀！把学而思论坛上提供的答案抄下来，供大家参考吧。将每一棵树染色，或染成白色，或染成黑色，由抽屉原理，必有至少7个点同色，设为黑点。则必有至少2个黑点相邻，设为点1和点2为相邻黑点，考虑点3,8,13，其中若点3,8,13中至少有一个黑点：则该黑点必与点1和2形成等腰三角形；若点3,8,13全都是白点：则三角形（3,8,13）也是等腰三角形。从答案看出，得到一种树有7棵之后，至少有2棵相邻是关键，“2棵相邻”之后，考察相邻2棵树的左边、右边、对面