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理论力学讲义 绪 论 一 理论力学研究的对象和内容 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学 但是 什么是机械运动呢 所谓机械运动就是物体空间位置随时间的变化 热运动 电磁运动 化学反应 生命过程等不属于机械运动 理论力学包括以下三个主要部分 1 静力学 研究物体平衡时所应满足的条件 物体受力的分析方法及力系的 简化等 2 运动学 只以几何角度来研究物体的运动而不考虑引起运动的原因 3 动力学 研究物体运动与作用力之间的关系 理论力学属于古典力学范畴 它以伽里略和牛顿的基本定律为基础 研究速 度远小于光速的客观物体机械运动 现在工程实际中的大量物体都可以由古典力 学来很好的解决 二 学习理论力学的目的 1 工程专业一般都要接触机械运动问题 有些问题就要用理论力学知识来解 决 2 理论力学是一些工程专业课的基础 如 材料力学 机械原理 机械零件 结构力学 弹性力学 塑性力学 流体力学 飞行力学 振动力学 断裂力学 生物力学 以及许多专业课 3 理论力学研究方法与许多学科的研究方法有不少相同之处 因此 掌握这 些方法对其它课程的学习有很多好处 4 在自然界 体育运动 日常生活中有许多问题可用理论力学知识解释 解 决 1 理论力学讲义 静力学 静力学是研究物体在力系作用下平衡条件的科学 力系是指作用在物体上的 一群力 平衡是指物体相对于地面静止或作匀速直线运动 在静力学中主要研究以下三个问题 1 物体的受力分析 分析物体的受力个数 每个力的大小 方向和作用线的位置 2 力系的等效替换 将作用在物体上的一个力系用另一个与它等效的力系来替换这两个力系互 为等效力系 如用一个简单力系等效替换一个复杂力系 称为力系的简化 3 建立各种力系的平衡条件 研究物体平衡时 作用在其上的各种力系所需满足的条件 满足平衡条件得 力系称为平衡力系 第一章静力学公理和物体的受力分析 1 1 静力学公理 一 静力学基本概念 1 刚体 所谓刚体是这样的物体 在力的作用下其内部任意两点之间的距离始终保持不 变 这是一个理想的力学模型 由于我们在静力学中只研究刚体 故又称为刚体静力学 2 力 力是物体间相互的机械作用 这种作用使物体的机械运动状态发生变化 实践表明 力对物体的作用效果决定于三个要素 力的大小 力的方向 力的作用点 力是矢量 我们可以用一个矢量表示力的三要素 如图示 矢量长度 AB 表示力的大小 矢量的方向表示力的方向 2 理论力学讲义 AB矢量的始端 A 表示力的作用点 矢量所沿着的 直线表示力的作用线 我们用 A F0 B F A F表示力矢量 而 用 F 表示力的大小 若以 0 F FF 可写成 表示沿矢量方向的单位向量 则 0 FFF 力的单位 在国际单位中 以牛顿作为力的单位 记为 也常使用千牛 k 在工程单位制中 力的单位为公斤力 记为 kgf 有时也采用吨力 记为 tf N 和 kgf 之间的换算关系为 1kgf 9 8N 我们以后一律采用国际单位制 二二 静力学公理静力学公理 为研究力学的简化和平衡条件 首先研究两个力的合成和平衡 以及两个物 体间的相互作用等的最基本的力学规律 这些规律是人们在长期的实践中总结出 来并又经实践反复验证的 证明符合客观实际 称为静力学公理 公理一 力的平行四边形规则公理一 力的平行四边形规则 作用在物体上同一点的两个力 可以合成为一个合力 合力的作用点也在该点 合力的大小和方向由以这两个力为两边的平行四边形的对角线确定 或说 合力 等于这两个力的几何和 即 A 1 F RR 1 F 2 F 这个公理总结了最简单的力系简化规律 是较复杂力系简化的基础 公理二 二力平衡条件公理二 二力平衡条件 2 F 作用在同一个刚体上的两个力 使刚体处 于平衡的必要条件和 充分条件是这两个力的大小相的等 方向 相反 且作用在同一直线上 即 2 F A B 2 F 1 F 这两公理总结了作用刚体上的最简单的力系平衡时 1 F 3 理论力学讲义 所必须满足的条件 这个条件是既必要又充分的 公理三 加减平衡力系原理公理三 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系并不改变原力系对刚体的作用 这个公理对于研究力系的简化很重要 根据上述公理可以导出如下推理 推理一 力的可传性 作用于刚体上某点的力 可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点 并不改变对 刚体作用效果 F A B A B F F 2 F B A F 2 F 由此可见 对于刚体来说 力的作 用点已是决定力的作用效果的要 素 因此 作用于刚体的力的三要 素是 力的大小 方向和作用线 3 F C 2 F 2 F 1 F A O B 1 F 12 R 推论二 三力平衡汇交定理推论二 三力平衡汇交定理 作用于刚体上的三个相互平 衡的力 若其中的两个力的作用线 汇交于一点 则此三力必在同一平 面内 且第三个力的作用线通过汇 交点 证明见右图 公理四 作用和反作力定律公理四 作用和反作力定律 作用和反作力总是同时存在 两力大小相等 方向相反 沿着同一直线 分 别作用在两个相互作用的物体上 这个定理概括了自然界中物体相互作用的关系 下面举两个例子 4 理论力学讲义 v P P 有的同学可能要问 这种情况下不是满足二力平衡条件吗 其实不然 二力 平衡条件要求两个力作用在同一个物体上 而这两个力是作用在两个物体上的 这种情况不一定平衡 N N 定理五 刚化原理定理五 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡状态 如将此变形体刚化为刚体则平衡状态保 持不变 可见 刚体的平衡条件是变形体平衡条件 的必要条件 而非充分条件 1 P 2 P 2 P 绳索 刚性体 1 P 5 理论力学讲义 1 2 约束和约束反力 我们日常生活中见到的物体 如 飞机 炮弹 火箭等 它们的空间位移不 受任何限制 这种物体称为自由体 而还有些物体 如 机车 汽车等 它们的 空间位移都受到一定限制 这种物体称为非自由体 所谓约束 就是对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体 既然约束能阻碍物体的运动 也就是说约束能起到改变物体运动状态的作 用 所以约束对物体的作用实际上就是力的作用 这种力称为约束反力 简称反 力 约束反力的方向必与该约束所阻碍的运动方向相反 由此 可以确定约束反 力的方向或作用线的位置 约束反力的大小是未知的 应有平衡条件求出 下面介绍几种常见的约束类型和确定约束反力的方法 1 具有光滑接触面的约束具有光滑接触面的约束 这种约束只能限制接触面法线方向并指向约束内部的位移 因此 约束反力作用 在接触面处 沿接触面的法线方向 指向受力物体 这种约束称为法向反力 一 般以N表示 见图 N N N 在桥梁 屋架 以及其它工程结构中常采用滚动支座 如图 约束反力垂直于固 定面 6 理论力学讲义 2 由柔软的绳索 链条 皮带构成的约束由柔软的绳索 链条 皮带构成的约束 由于这类约束所能承受的只是拉力 所以它们对物体的约束反力也只可能是 拉力 方向沿自身的轴线背离物体 通常用TS表示这类反力 或 P T 3 光滑圆柱形铰链约束光滑圆柱形铰链约束 2 S 1 S S S 这类约束有向心轴承 圆柱形铰链和固定铰链支座等 a 向心轴承向心轴承 约束反力作用在接触点 A 沿公法线方向指向轴心 但由于 A 点不定 故 它的方向不能确定 但它的作用线必垂直于轴线并通过轴心 通常把这样的约束 反力用两个未知的正交分量 A X A Y 来表示 见图 A N A A Y A A X P 7 理论力学讲义 b 圆柱铰链和固定铰链支座圆柱铰链和固定铰链支座 图示拱形桥 有左右通过圆柱铰 C 以及固定铰链支座 A B 连接成 圆柱铰 链简称铰链 固定铰链支座简称固定铰支 这类约束与向心力轴承类似 故约束反力的确定与向心轴承相同 这三种约 束的性质是相同的 都可以简化为光滑铰链 其特点是 只限制两物体径向的相 对位移而不限制物体绕铰链的相对转动 以上介绍的实际中常见的约束类型 关于其他的较复杂的约束以后遇到时再 介绍 4 球形铰链约束 仿照圆柱铰链约束的分析方法可知 球形铰链约束反力为一个过球心的力 可分解成为三个正交分力 A A X A Y B B X B Y C C Y C X A A Y A Z A X 8 理论力学讲义 1 3 物体的受力分析和受力图物体的受力分析和受力图 前面已交待过 约束反力总是未知的 为了求出约束反力 就要根据已知力 应用受力平衡条件求解 因此 首要解决的问题是分析物体所受的全部力 这个 过程叫做受力分析 物体所受的力可分为两类 主动力和被动力 约束反力称为被动力 其余称 为主动力 为了把物体的受力情况表示清楚 我们把需要研究的物体 受力体 从周围 的物体 施力体 中立分离出来 单独画出它的简图 这个过程叫做取研究对象 或取分离体 在把施力物体对研究对象的作用力全部画出来 这样表示的简图就 称为受力图 画受力图是解决静力学问题的关键的一步 希望大家认真对待 下 面举几个例子 例一 画圆盘的受力图 解 1 取圆盘为研究对象 画出其简图 P 2 画出主动力 NT 3 画约束反力 三力汇交 则圆盘的受力图如图所示 P A B C N B A P C T 9 理论力学讲义 例二 画出 AB CD 的受力图 C B A P C N A N C D C N D N 此题应首先分析 CD 杆 在分析 AB 杆 这样可以确定全