数学物理方程第二章 分离变量.pdf

第二章 分离变量法 第二章 分离变量法 在前一章里 我们将物理学 力学 工学技术等方面的许多实际问题应用数学的方法归 结为一系列定解问题 如何求解这些问题成为本章急需解决的任务 分离变量法是求解数学 物理方程常用的一种方法 在微积分学中 计算多元函数的偏导数 重积分时 我们从一元 函数中响应问题的解法出发 启发和帮助我们解决多元函数的问题 与此类似 求解偏微分 方程的定解问题 也要设法利用常微分方程已有的结论 分离变量法的基本思想是 把数学物理方程中未知的多员函数分解成若干个一元函数的 乘积 从而把求解偏微分方程的问题转化为解若干个常微分方程的问题 下面 我们通过实 例来介绍分离变量法的步骤与实质 有界弦的自由振动 研究一根长l 两端 0 lxx 固定的弦作微小振动的现象 给定初始位移和初始速 度后 在无外力作用的情况下 求弦上任意处的位移 即求解下列定解问题 tlx时 式 永远成立 当 0 xx 而t任意变化时 可知常熟 2 tTa tT 同理当 0 tt 而x任意变化时 xX xX 的 植也为常数 这样 我们记该常数为 则有 2 tTa tT xX xX 即得 0 2 tTatT 12 1 2 0 0 11 1 2 0 lXX xXxX 下面 我们先设法求出零的 xX 但求解 xX不是一个简单的问题 因为式 中有一个待定常数 所以我们的任务即要确定 取何值 式 有 满足式 的非零解 同时又要求出这个非零解 这样的问题通常叫做施图姆 刘维尔 Sturm Liouville 问题 或固有值问题 的取值称为该问题的固有值 响应的 非零解 xX称为该问题的固有函数 因为 是未知常数 所以我们先对 的取值加以适当的限制 逐步缩小所取值范围 最终求出结果 于是我们分三种情况进行探讨 设0 不妨令0 2 则方程 0 2 xXxX 由边界条件式 得 0sin 0 lB A 由0 xX 得0 B 即 0sin l 所以 l n n L 2 1 n 且方程的通解为 x l n BxX nn sin 这样 我们称 2 1 L n l n n 为固有值问题 式 式 的一系列固有值 相应的非零解 x l n sin为对应的固有函数 将固有值 n 代入式 有 0 2 222 tT l an tT nn 其通解为 2 1 cossincos L nt l an Dt l an CtxT nnn 于是得到满足式 及边界条件式 的一族特解 2 1 sin cossincos L nx l n t l an bt l an atxu nnn 式中 nnnnnn DBbCBa 是任意常数 由初始条件式 中的 xx 是任意给定的 一般情况下 式 中的任何一个特解都不会满足初始条件式 因为式 是线性 齐次的 根据叠加原理 级数 x l n t l an bt l an atxutxu nn n n n sin sincos 11 是式 的解 且满足边界条件及初始条件 为此有 x l n axxutxu n nt 1 0 sin 0 x l n bxxu t u n ntt 1 0 sin 0 显然 n a和 l an bn 分别是函数 xx 在区间 l 0上正弦展开的傅里叶级数的系 数 即 15 1 2 dsin 2 dsin 2 0 0 xx l n x an b xx l n x l a l n l n 将 nn ba 代入式 即得原定解问题的解 当然 要使式 所确定的函数 txu确实是定解问题式 式 的解 除了要确定 nn ba 外 还要求这个级数收敛 并且对tx 可逐项微分 两次 我们只要对函数 xx 加几个条件就可以满足上述要求 具体的内容可查阅相关 教材 数学物理方程 复旦大学数学系编 这样的解称为古典解 需要注意的是 实际问题中 xx 可能不具备古典解所要求的条件 这样 由式 所确定函数 txu只能是原定解问题的一个形式解 由实变函数的理论可 知 只要 xx 在 l 0上是 2 L可积的函数列 x l k Ax k n n n sin 1 x l k Bx k n n n sin 1 分别平均收敛于 xx 则定解问题 0 0 0 0 00 0 2 2 2 2 2 x t u xu uu tlx x u a t u tt lxx 的解为 x l k t l ak Bt l ak Atxu kk n k n sin sincos 1 当 n 时 它的平均收敛于式 所给出的形式解 因为 txun满足方程及边界条件 同时近似满足初始条件 所以当n较大时 可以把 txun看作原问题的近似解 在实际工 作中 这种方法是行之有效的 在本书中 只要求出形式解 我们就认为定解问题已经解决 不讨论古典解所须具备的条件 定解问题 式 式 的级数 有明显的物理意 义 为了便于解释 我们取级数式 的一般项 将其表示为 x l n t l an bt l an atxu nnn sin sincos x l n tN nnn sin sin 式中 l an b a baN n n n nnnn arctan 22 首先固定时间t 研究振动波在任一指定时刻的形状 再固定弦上一点 看一看该点随时间 变化的规律 当 0 tt 时 有 x l n Ntxu nn sin 1 0 式中 sin 1 nnnn tNN 是一个定值 说明在任一时刻 0 txun的波形都是一条 正弦波 其振幅与时刻 0 t有关 当 0 xx 时 有 sin 2 0nnnn tNtxu 式中 0 2 sinx l n NN nn 是一个定值 这意味着弦上每一个 0 x都在作简谐振动 其振 幅为 2 n N 频率为 n 初相位为 n 若x取另外一个定值 情况也一样 只是振幅不同 而已 综上所述 txun表示这样一个振动波 所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振 动 各点的初始相位也一样 其振幅跟点的位置有关 此振动波在任一时刻的波形都是一条 正弦曲线 这 种 振 动 波 还 有 一 个 特 点 即 l 0范 围 内 有1 n个 点 永 远 不 动 即 210nm n ml xm 时 0 txun 这样的点在物理上称为节点 这说明 txun的 振动在 0 l是分段振动的 这种包含节点的振动波称为驻波 另外 驻波还在点 2 1 12 nk n lk xk 处振幅达到最大 这样的点叫腹点 从上面的讨论可知 1 txu 2 txu txun是一系列驻波 它们的频率 位相和 振幅都随n而异 因此 可以说定解问题的解式 2 1 14 是由一系列驻波叠加而成的 每一 个驻波的波形由固有函数确定 频率由固有值确定 因此 分离变量也称为驻波法 例例 1 设长为l的弦两端固定在x轴上的点0 x及lx 处 在cx 0 lc 处向上拉起h 然后放开作自由振动 求弦上点x的运动规律 txu 解 解 设定解问题为 0 0 0 00 1 0 0 2 2 2 t lxx V V t V tlx l x x V a t V 应用固有函数法 得 x l n tvtxV n n 1 sin 2 1 0 2 ndeftv t l an t nn 2 1 2 sin 1 2 0 n n xdx l n l x l tf l n x l n e an l txV n t l an 1 23 2 sin 1 2 2 则原定解问题的解为 x l n e an l l x t txWtxVtxu n t l an 1 23 2 sin 1 2 1 2 2 4 二维拉普拉斯方程 在矩形区域和圆形区域上 拉普拉斯方程边值问题也可以采用分离变量法求解 下面我 们首先考察矩形区域上的拉普拉斯方程 一个长为a 宽为b的矩形薄板 上 下两面绝热 四周边界温度已知 具体为 0 0 yaxx时保持为零度 by 时 xFu 求薄板内稳恒状态下的温度分布规 律 由第一章的内容知 这是矩形区域上的拉普拉斯方程的边值问题 3 4 2 0 2 4 20 0 1 4 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 xFuu uu ayax y u x u byy axx 此边值问题有一对边界式 2 4 2 是齐次的 因此 我们沿用前面的方法 采用分离变量法 来求解本问题 设 yYxXyxu 2 4 4 将式 2 4 4 代入式 2 4 1 和边界条件式 2 4 2 有 0 0 0 0 yYaXyYX yYxXyYxX 进行变量分离 有 Y Y X X 这样得到两个常微分方程 0 yYyY 2 4 5 0 0 0 aXX xXxX 2 4 6 依据前面第 1 节的推导 我们得到固有值问题式 2 4 6 的固有值及固有函数 分别为 2 1 sin 2 1 2 nx a n xX n a n n n 将 n 代入式 2 4 5 有 0 2 yY a n yY 2 4 7 式 2 4 7 的通解为 2 1 neDeCyY y a n n y a n nn 所以 有 x a n eDeCyYxXyxu y a n n y a n nnnn sin 则 11 sin n y a n n y a n n n n x a n eDeCyxuyxu 由边界条件式 2 4 3 得 sin 0sin 1 1 xFx a n eDeC x a n DC n b a n n b a n n n nn 解得 xdx a n XF a bn a C a n 0 sin sin 1 则原定解问题的解为 x a n y a n shd a n F a nb a yxu n a sin sin sin 2 1 0 由此例可看到 当矩形区域的两组对边的边界条件都是齐次时 方程只有零解 这从物理模型 上分析也是显然的 若两组边界条件都是非齐次的 则无法直接应用分离变量的方法 此时 我 们根据叠加原理 将其分解为两个各含有一组对边是齐次边界条件的边值问题 再利用分离变 量的方法分别求解 例 7 在矩形区域byax 0 0上 求解拉普拉斯方程的边值问题 0 sin 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 bxux a n Bxu yauybAyyu byax y u x u 解 令 yxWyxVyxu 其中 yxV满足 0 sin 0 0 0 0 2 2 2 2 bxVx a n BxV yaVyV y V x V yxW满足 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 bxWxW yaWybAyyW y W x W 应用与上例相同的方法 可以分别求出 x a a b a yb B yxv sin sh sh 0 22 2 12 sin 12 sh 12 sh 12 18 k y b k a b k xa b k k Ab yxW 则原问题的解为 0 22 2 12 sin 12k sh 12 sh 12 18 sin sh sh k b ak b a xa b k k Ab x a a b a yb B yxWyxVyxu 应用分离变量的方法 我们解决了巨型区域上的 Laplace 方程的初边值问题 当区域是 圆形的时候 如何进行变量的分离 下面我们考虑这样一个物理现象 一个半径为 0 R的薄圆 盘 上下两面绝热 圆周边缘温度已知 求达到稳衡状态时圆盘的温度分布 由第 1 章的内容知 稳恒状态下 温度函数 tyxu 与时间t无关 即 yxuu 满 足方程 0 2 2 2 2 y u x u 因为区域的边界是圆周 它在极坐标系下的方程为 0 Rr 所以在极坐标系下 边界条 件可以表示为 fu Rr 0 由于这种表形式简单 因此我们把方程用极坐标表示 这样定解问题可以表示为 9 4 2 8 4 220 00 11 0 0 2 2 2 fu Rr u rr u r rr Rr 由于温度函数是单值的 所以 ru与 2 ru实际上表示同一点的温度 即 2 ruru 2 4 10 由实际情况可知 圆内每一点的温度应当是有界的 所以有 0u 2 4 11 我们称式 2 4 10 为定解问题的周期性条件 式 2 4 11 为定解问题的有界性条件 现在应用分离变量法求方程 2 4 8 满足条件式 2 4 9 式 2 4 10 式 2 4 11 的解 设 rRru 代入式 2 4 8 有 0 1 1 2 rR r rR r R 分离变量 令其比值为为常数 得 R rRRr 2 这样 我们得到了两个常微分方程 0 2 RrRRr 0 由周期性条件式 2 4 10 及有界性条件式 2 4 11 可得 0R 2 于是 我们得到了两个常微分方程的定解问题 13 4 20 12 4 20 2 R RrRRr 15 4 22 14 4 20 由于条件式 2 4 15 满足可加性 所以我们先由定解问题式 2 4 14 式 2 4 15 入手 讨论 的取值并求出非零解 1 当0 时 令 2 不妨设0 则式 2 4 14 变为 0 2 通解为 sincos 21 cc 因为式 2 4 15 2 及 21 c c是相互独立的常数 所以有 2sinsin 2coscos 则 L 2 1 nn n 所以 L 2 1 22 nn nn L 2 1sin cos nnbna n 我们称 n 为固有值 称 ncos和 nsin为相应的固有函数 在这里 一个固有值对应多个线 性无关的固有函数 将 2 n n 代入定解问题式 2 4 12 得到欧拉方程 0 22 RnrRRr 当0 时 rdcRln 00 由有界性条件式 2 4 13 得0 0 d 所以 00 cR 当 2 n 时 有 L 2 1 nrcrR n nn 则 L 2 1sincos nrnbnarRru n nnnnn 01 20 0 sincos 2 nn nnn rnbna a ruru 2 4 16 由边界条件式 2 4 9 fu Rr 0 有 1 0 0 sincos 2 n n nn Rnbna a f 所以 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 dsinn 1 dcosn 1 d 1 f R a f R a fa n n n 2 4 17 这样 边值问题 式 2 4 8 式 2 4 9 解由级数式 2 4 6 给出 系数由式 2 4 17 确定 非齐次的拉普拉斯方程也称为柏松 Poisson 方程 其边值问题也采用固有函数法展开的 办法求解 下面我们用例题来说明求解的步骤与方法 例 8 考虑稳定的温度厂分布的问题 0 12 1 22 2 2 2 2 22 yx u yxx y u x u 解 由于在圆域上考察问题 因此边界条件采用极坐标表示较为方便 第聂问题可以表 示为 19 4 20 18 4 2 10cos2 11 1 2 2 22 2 r u rr u rr u rr u 同时 ru的自然属性有 有界性条件 0u 2 4 20 周期性条件 2 ruru 因此 对应的齐次方程的解为 0 sincos n n nn rnbnaru 可设式 2 4 18 的解为 0 sincos n nn nrbnraru 代入式 2 4 18 得 cos2sin 1 cos 1 0 2 2 2 2 rnb r n b r bna r n a r a n nnnnnn 比较等式两端 nnsin cos的系数 得到 3 个方程 23 4 20 1 22 4 20 1 21 4 22 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 nnn nnn b r n b r b a r n a r a ra r n a r a 根据边界条件式 2 4 19 得 01 01 nn ba 2 4 24 由有界性条件 0u 可得 0 n a 0 n b 2 4 25 式 2 4 21 是非齐次的欧拉方程 其通解为 3 211 4 11 r r crcra 由式 2 4 25 可知0 2 c 由式 2 4 24 可知 4 1 1 c 所以式 2 4 21 满足边界条件的解为 3 1 4 1 rrra 式 2 4 22 式 2 4 23 是齐次的欧拉方程 其通解分别为 n n n nn n n n nn rFrErb nrBrAra 1 由条件式 2 4 25 可知 0 1 0 nn FnB 由条件式 2 4 24 可得 0 10 nn EnA 所 以 0 10 rb nra n n 这样 泊松方程式 2 4 19 的解为 cos 4 1 3 rrru 即 xyxyxu 22 1 4 1 在求解泊松方程时 还有一种常用的方法叫特解法 即找出泊松方程的一个特解 yxW 令 yxWyxVyxu 这样 yxV 就是对应的拉普拉斯方程的解 若特解的选择 适当 则这种方法有时相当简单 例 9 再圆域 222 ayx 求解 27 4 20 26 4 2 222 222 2 2 2 2 ayx u ayxxy y u x u 解 22 12 1 yxxyyxW 可以验证 yxWu 是式 2 4 26 的一个解 令 yxWyxVyxu 代入式 2 4 26 及边界条件式 2 4 27 中 有 29 4 22sin 24 28 4 2 4 222 2 2 2 2 a V ayxxy x V x V ar 将拉普拉斯方程用极坐标表示 有 29 4 22sin 24 28 4 2 0 11 4 2 2 22 2 a V ar V rr V rr V ar 由式 2 4 16 得 1 0 sincos 2 n n nn rnbna a rV 代入边界条件式 2 4 29 有 1 0 4 sincos 2 2sin 24 n n nn anbna aa 比较三角函数的系数 有 20 0 0 0 nbaa nn 2 2 24 1 ab 所以 2sin 24 22r a rV xy a yxV 1