高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用教材习题点拨 北师大版选修22.DOC

高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(p65)解:(1)在从0 s到1 s的时间内,速度v关于时间t的平均变化率为=9 m/s2,在从3 s到5 s的时间内,速度v关于时间t的平均变化率为=2 m/s2.它们表示在相应的时间内,每经过单位时间速度的改变量,也就是加速度.(2)f(t)=(-t2+10t)=-2t+10,将t=1代入f(t)=-2t+10得f(1)=-21+10=8.答:(1)速度关于时间的平均变化率为9 m/s2和2 m/s2,它们表示在相应的时间内,时间每经过1 s,速度增加9 m/s和2 m/s,也就是加速度为9 m/s2和2 m/s2.(2)f(1)=8 m/s2,它的意义是在t=2 s这一时刻,每过1 s,汽车的速度增加8 m/s,也就是这一时刻汽车的加速度为8 m/s2.练习1(p67)解:f(x)=(x3-12x2+15x-10)=3x2-24x+15.当3x2-24x+15=0时,x=4.当x(4+,+)时,3x2-24x+150,所以(4+,+)为函数的递增区间;当x(4-,4+11)时,3x2-24x+150,所以(4-,4+)为函数的递减区间;当x(-,4-)时,3x2-24x+150,所以(-,4-)为函数的递增区间.在区间0,10上,分析y的符号和函数的单调性.x0(0,4-)4-(4-,4+)4+(4+,10)10y(x)15+0-0+75y-10极大值极小值-60计算极大值、极小值和端点处的函数值:f(0)=-10,f(4-)=-78+22,f(4+)=-78-22,f(10)=-60.比较上面四个数可知,在区间0,10上,函数的最大值为-78+22,最小值为-78-22.练习2(p68)解:易拉罐的成本是由所用材料的面积大小决定的,设易拉罐的底面半径为x,所用的材料面积为y,则y=2x2+2x,x0.解这个函数的最小值,得当:x=(cm)时,函数取得最小值.思路分析:实际上,在本题中,容积500 ml不是一个关键量,对于设计来说,关键在于易拉罐的形状,也就是底面直径与高的比,当总成本取最小值时易拉罐的底面直径与高的比约为1:2.习题32(p69)a组1.解:(1)q(t)=0.000 297t2+0.440 9t,q(10)=0.029 7+4.409=4.438 7,q(20)=0.118 8+8.818=8.936 8,=0.449 81.答:当t从10变到20时,函数值q关于t的平均变化率是0.449 81,它表示在铁块的温度从10 增加到20 的过程中,平均每增加1 ,需要吸收热量0.449 81 j.(2)q(t)=0.000 594t+0.440 9,q(10)=0.005 94+0.440 9=0.446 84,q(100)=0.059 4+0.440 9=0.500 3,这表明在铁块的温度为10 的这一时刻，每增加1 ,需要吸收热量0.446 84 j.在铁块的温度为100 的这一时刻，每增加1 ,需要吸收热量0.500 3 j.2.解:(1)f(x)=x2+(1-x)2=(2x2-2x+1)=4x-2,当4x-2=0时,x=.在区间0,2上,分析y的符号和函数的单调性:x0(0,)(,2)2f(x)-2-0+6y1极小值5计算极小值和端点处的函数值:f(0)=1,f()=,f(2)=5.比较上面3个数可知,在区间0,2上,函数的最大值为5,最小值为.(2)f(x)=(x3-9x2-48x+52)=3x2-18x-48,当3x2-18x-48=0时,x=-2或x=8.在区间-2,2上,分析y的符号和函数的单调性.x-2(-2,2)2f(x)0-72y104-72计算端点处的函数值:f(-2)=104,f(2)=-72.比较上面两个数可知,在区间-2,2上,函数的最大值为104,最小值为-72.答:(1)当x=2时,函数取得最大值5,当x=时,函数取得最小值.(2)当x=-2时,函数取得最大值104,当x=2时,函数取得最小值-72.3.答案:(1)v=h3;(2)该图像不能反映该函数关系，实际上v与h的关系图像是这样的，如右图所示：思路分析:求v与h的关系可以利用圆锥体积的公式v=sh=(h)2h=h3.4.解:(1)新墙的总长度为y,堆料场的长为x,堆料场的宽为(y-x),y关于x的函数为:(y-x)x=512,由此得出y=x+,x0.(2)y=(x+)=1-,1-=0时,x=32.x0,x=32.x(0,32)32(32,+)f(x)-0+y64 在x(0,32)时,函数y=x+,x0为递减函数;在x(32,+)时,函数y=x+,x0为递增函数.在x=32时,函数有极小值为64.(3)当堆料场的长:宽=2:1时,需要砌的墙所用材料最省.b组解:(1)=74.(2)f(t)=(-t3+15t2+12t)=-3t2+30t+12.f(2)=-322+302+12=60,f(4)=-342+304+12=84.答:(1)平均变化率为74 t/h,它表示从2 h到4 h这段时间,工人平均每小时生产的产品的量为74 t.(2)f(2)=60,f(4)=84,它们的实际意义是在t=2 h和t=4 h这两个时刻,工人的每小时生产的产品的量分别为60 t和84 t.stsrichard的悖论 在本世纪初关于数学基础的探讨中出现过很多著名的悖论,我们今天看起来,只是作为一个很普通的问题,在当时却几乎危及数学的发展.在此向大家介绍当时引起强烈震撼的一个richard悖论:每一个整数都可以用若干个字母的词描写出来.例如36这个数可以描写为thirtysix或four times nine.第一种描写用了9个字母.第二种描写用了13个字母.描写任一给定的数都不止一种方法,但这是无关紧要的.现在把所有的正整数分成两组,第一组包括所有那些(至少有一种方法)可以用不多于100个字母描写出来的数,第二组包括所有那些不论怎样描写都需要至少是101个字母的数.用100个或更少的字母只能描写有限多个数,因为用不多于100个字母最多只能有27的100次方个表达式.于是第二组中就有一个最小的整数.它可以用下列词组来描写:“the least integer not describa