授课一三四章所选习题解答.pdf

习题一 习题一 1 1 2 2 两个消息符号 1 X与 2 X的取值及概率分别为 1 X 1 a 2 a 2 X 1 a 2 a 3 a 4 a P 0 3 0 7 P 0 3 0 2 0 3 0 2 求它们的熵 解解 利用式 1 3 2 881 0 7 0log7 03 0log3 0 221 bitXH 971 12 0log2 023 0log3 02 222 bitXH 3 3 4 4 假定电话按键由 10 个数字 与 组成 按压每个数字键的概率均为 0 099 按压 或 的概率各为 0 005 拨号速率为 2 次 s 试求 1 每次按键产生的熵与 连续拨号的熵率 2 如果每次按键采用 4 位二进制表示 拨号产生的二进制数据率 二 元符号率 解 解 1 利用式 1 3 2 每次按键产生的熵 22 10 0 099log 0 0992 0 005log 0 0053 356H bits key 利用式 1 3 3 拨号速率为 2 次 s 连续按键产生的熵率 3 356 6 712 0 5 Hbits key R Ts key bits s 2 拨号产生的二进制数据率 44 2 8 s Rbit keykeysbits s 5 5 6 6 略 解 解 数据率为 30 4 7 28 5 059Mbps 133 60 Bytesbits Byte R s 注意 1GB 有时也可用 309 2107374182410BytesBytes 9 10 7 7 8 8 9 9 试估计下列无线通信设备的最小天线尺寸 1 短波收音机 2 FM 收音机 3 1800MHz 频段的手机 3 2 4GHz 的 WiFi 无线网络单元 解 解 要有效的辐射电磁能量 天线的物理尺寸必须大于电磁波波长的 1 10 粗略 估计 1 由表 1 5 1 知 短波收音机频率为 波长为 最 小天线尺寸为 1m 以上 MHz30 3m10 100 2 由表 1 5 1 知 FM 收音机频率为88 108MHz 波长为3 最小天线尺寸为 28cm 以上 41 2 78mm 3 1800MHz 频段的手机 mfc167 0 最小天线尺寸为 1 67cm 以上 4 2 4GHz 的 WiFi 天线网络单元 mfc125 0 最小天线尺寸为 1 25cm 以上 10 10 假定电传打字机的信道带宽为300Hz 信噪比为30dB 即 30 10 101000S N 4 1 试求该信道的容量 解 解 利用式 1 6 3 bps N S BC 1 log2 有 2 C300 log 1 1000 2 99 kbps 11 11 假定某用户采用拨号上网 已测得电话线可用频带300 3400Hz 信噪比为25dB 即 试计算该信道的容量 在选用调制解调器时 可选速率为 56 28 8 或 9 6kbps 的调制解调器中哪个较合适 2 5 10SN 解 解 带宽HzB31003003400 利用式 1 6 3 有 2 C3100 log 1 316 23 25 73 kbps 故应采用的调制解调器较合适 实际调制解调器会结合实际线路情况 自动降低 速率 以充分利用信道资源 28 8kbps 习题三 习题三 1 2 一个 AM 信号具有如下形式 202cos300010cos6000cos2 c s tttf t 其中Hz 5 10 c f 1 试确定每个频率分量的功率 2 确定调制指数 3 确定边带功率 全部功率 以及边带功率与全部功率之比 解 1 试确定每个频率分量的功率 202cos300010cos6000cos2 20cos2cos2 1500 cos2 1500 5cos2 3000 5cos2 3000 c ccc cc s tttf t f tftf ftft t s t的 5 个频率分量及其功率为 20cos2 c f t 功率为 200w cos2 1500 c ft 与cos2 1500 c ft 功率为 0 5w 5cos2 3000 c ft 与 5cos2 3000 c ft 功率为 12 5w 2 确定调制指数 202cos300010cos6000cos2 20 10 1cos30000 5cos6000cos2 c c s tttf t tt f t 因此 0 1cos30000 5cos6000m ttt max 0 6 AM m t 3 确定边带功率 全部功率 以及边带功率与全部功率之比 5 个频率分量的全部功率为 2002 0 52 12 5226 total Pwwww 边带功率为 2 0 52 12 526 side Pww w 边带功率与全部功率之比 26 0 115 226 AM 3 用调制信号 cos2 m m tAf t mc f t对载波cos2 c A 进行调制后得到的已调信号为 4 2 1cos2 cc s tAm tf t 为了能够无失真地通过包络检波器解出 问 的取值应满足什么条件 m t m A 解 注意注意 Am 应该是大于应该是大于 0 的数的数 如果 即发生了过调制 包络检波器此时将无法恢复出 因此要想无 失真通过包络检波器解出 则需要 1 m A m t m t1 m A 4 已知调制信号 cos 2000cos 4000m ttt 载波为 4 cos10t 进行单边带 调制 试确定该单边带信号的表达式 并画出频谱图 解 根据单边带信号的时域表达式 可确定上边带信号 11 cossin 22 USBcc Stm ttm tt 4 1 cos 2000cos 4000cos10 2 ttt 4 1 sin 2000sin 4000sin10 2 ttt 11 cos12000cos14000 22 tt 1 7000600060007000 4 USB Sfffff 同理 下边带信号为 11 cossin 22 LSBcc Stm ttm tt 4 1 cos 2000cos 4000cos10 2 ttt 4 1 sin 2000sin 4000sin10 2 ttt 11 cos8000cos6000 22 tt 1 4000300040003000 4 LSB Sffff 两种单边带信号的频谱图分别如下图所示 USB Sf LSB Sf ff 3000400060007000 5 6 7 8 4 3 9 10 11 图题 3 11 是一种 SSB 的解调器 其中载频455 c f kHz 1 若图中 A 点的输入信号是上边带信号 请写出图中各点表达式 2 若图中 A 点的输入信号是下边带信号 请写出图中各点表达式 并问图中解调器应 做何修改方能正确解调出调制信号 A BC D E 2 cos2 c f t s t F G sin2 c f t 图 题 3 11 解 记为基带调制信号 为其希尔伯特变换 信号幅度 m t m t c A A cos2sin2 Accc stA m tf tA m tf t c B cos2 BA ststf t c 2 cos 2sin2cos2 ccccc A m tf tA m tf tf t 1cos4sin4 22 cc cc A m tA m t f tf t E 1 2 Cc stA m t D sin2 DAc ststf t 2 sin2cos2sin 2 ccccc A m tf tf tA m tf t sin41cos4 22 cc cc A m tA m t f tf t E 1 2 Ec stA m t F 11 22 Fcc stA m tA m t G Gc stA m t 当 A 点输入是下边带信号时 各点信号如下 A cos2sin2 Accc stA m tf tA m tf t c B cos2 BA ststf t c 1cos4sin4 22 cc cc A m tA m t f tf t 4 4 E 1 2 Cc stA m t D sin2 DAc ststf t sin41cos4 22 cc cc A m tA m t f tf t E 1 2 Ec stA m t F 11 22 Fcc stA m tA m t G 0 G st 如欲 G 点输出 需将最末端的相加改为相减即可 如下图所示 A BC D E 2 cos2 c f t s t F G sin2 c f t 12 若对某一信号用 DSB 进行传输 设加至发射机的调制信号 m t之功率谱密度为 0 2 0 m mm m fff N Pff ff 试求 1 接收机的输入信号功率 假定信号幅度1 c A 2 接收机的输出信号功率 3 若叠加于 DSB 信号的白噪声具有双边功率谱密度为 0 2N 设解调器的输出端接有 截止频率为 m f的理想低通滤波器 那么输出信噪比是多少 解 设 DSB 已调信号 cos DSBc stm tt 则接收机的输入信号功率 22 11 22 iDSBm PStmtPf df 00 0 1 2 22 m f m m NNf df f 4 f 设相干解调本地载波幅度为 1 注明 最好说明这点 解调之后接收机的输出为 2 c o m tn t st 其中相干解调输入处带通噪声对应的同相噪声分量 因此输 出信号功率 c n t 4 5 2 0 1 48 m o N f Pmt 输出噪声功率为 00 2 4 nmm PN fN f 2 解调器的输出信噪功率比 a 直接计算 0 0 81 24 om onm PN fS NPN f b 或者 由公式可得 222 0 000 21 222 c m ommm AmtmtN fS NN BN BN f 4 c 或者 由解调器增益 DEM G 0 0 1 4 2 4 22 2 m DEM oo m N f SS G N NN f d 或者 由系统增益可得 SYS G 0 000 1 4 111 4 222 222 m ssi SYS obaseband mm N f PPPSS G NNN NN Bf f 13 某线性调制系统的输出信噪比为 20dB 输出噪声功率为 9 10 W 由发射机输出端到解调 器输入之间总的传输损耗为 100dB 试求 1 DSB 时的发射机输出功率 2 SSB 时的发射机输出功率 解 在 DSB 方式中 解调增益2G 因此解调器输入信噪比 20 10 11 1050 22 io SS NN 同时 在相干解调时 9 10 io NN W 因此解调器输入端的信号功率 8 505 10 ii SN W 考虑发射机输出端到解调器输入端之间的 100dB 传输损耗 可得发射机输出功率 100 10 10500 Ti SS W 在 SSB 方式中 解调增益1G 20 10 10100 io SS NN 9 10 io NN W 因此 解调器输入端的信号功率 7 10010 ii SN W 发射机输出功率 10 101000 Ti SS W 14 15 已知某模拟基带系统中调制信号 m t的带宽是5W kHz 发送端发送的已调信号功 率是 接收功率比发送功率低 60dB 信道中加性白高斯噪声的单边功率谱密度为 t P 4 6 13 0 10N W Hz 1 如果采用 DSB 请推导出输出信噪比 o S N 和输入信噪比 i S N 的关系 若要求输 出信噪比不低于 30dB 发送功率至少应该是多少 2 如果采用 SSB 重做 1 题 解 解调输入信号可写为 cos2 cc r tA m tf tn t cos2cos2sin2 ccccsc A m tf tntf tntf t 输入信噪比为 22 00 2 24 cmcm i A PA PS NN WN W c 不妨设本地载波幅度为 2 则解调乘法器输出为 22 2cos2 2cos 22cos 22sin2cos2 1cos4sin4 c ccccsc cccsc r tf t A m tf tntf tntf tf t A m tntf tntf t 解调输出为 cc A m tnt 输出信噪比为 22 2 2 0 2 c cm o c A mtA PS NN nt W 因此 2 o i S N S N 若要求 3 2 oi SS NN 10 则 输入信噪比 6 33 133 0 10 1010 2 22105 10 tr t i PPS P NN W 即W 0 5 t P 对应 SSB 解调输入信号可写为 cos2sin2 cccc r tA m tf tA m tf tn t cos2sin2cos2sin2 ccccccsc A m tf tA m tf tntf tntf t 输入信噪比为 22 0 c i A mtS NN W 解调输出为 c Am tnt 输出信噪比为 22 2 2 0 c cm o c A mtA PS NN nt W 因此 1 o i S N S N 4 7 若要求 3 10 oi SS NN 则 输入信噪比 6 33 133 0 10 21010 105 10 tr t i PPS P NN W 即W 0 5 t P 16 17 已知信号由下式描述 83 10cos21010cos 210s ttt 试确定以下各值 1 已调信号的归一化功率 2 最大相位偏移 3 最大频率偏移 解 1 22 1 1050 2 s Pst 2 3 max 10cos 21010tt rad 3 43 max 1 10 sin 21010 2 d dt 4 ftt dt FHz 18 19 已 知 调 频 信 号 6 10cos 108cos 10 FM Sttt 3 设 调 制 器 的 比 例 常 数 求其载频 调制信号 调频指数和最大频偏分别是多少 2 FM K 解 载频为 5 5 10 c fHz 又 3 8cos 102 FM ttK m t dt 于是 3 3 8 10 sin 10 2 FM m tt K 故调制信号为 33 2 10 sin10m tt 调频指数 3 max 3 2 2 10 8 0 5 10 FMm FM mm fkA ff 最大频偏为Hz 3 410 FMm kA 20 21 单音调制时 幅度不变 改变调制频率 m A m f 试确定 1 在 PM 中 其最大相移 PM 与 m f的关系 其最大频偏 PM f 与 m f的关系 2 在 FM 中 FM 与 m f的关系 FM f 与 m f的关系 解 1 对于 PM cos 2cos 2 PMccPMmm stAf tkAf t PMPM kAm 与 m f无关 max max 1 cos 2sin 2 2 PMPMmmPMmmmPMmm d fkAf tkA ff tkA f dt 故 PM f 与 m f成正比 4 8 2 对于 FM cos 2sin 2 FMm FMccm m kA stAf tf t f FMm FM m kA f 与 m f成反比 FMFMm fkA 与 m f无关 22 23 24 25 26 某模拟广播系统中基带信号 m t的带宽为10W kHz 峰均功率比 定义为 2 max M m tP 其中 M P是的平均功率 是5 此广播系统的平均发射功率为40kW 发射信号经过 80dB 信道衰减后到达接收端 并在接收端叠加了双边功率谱密度为 m t 10 0 210N W Hz 的白高斯噪声 1 若此系统采用 SSB 调制 求接收机可达到的输出信噪比 2 若此系统采用调幅系数为 0 85 的常规幅度调制 AM 求接收机可达到的输出信噪 比 解 记到达接收机的已调信号为 s t 记其功率为 则 W R P 38 40 10104 10 R P 4 采用 SSB 时 因此 1 DEM G 4 104 0 410 200 21010 R oSSBiSSB PSS NNN B 即 20 3 23dB 采用 AM 调制时 2 2 2 1 DEM mt G mt 其中 2 m t为归一化信号的平均功率 由 于 峰 均 功 率 比 为5 可 知 归 一 化 信 号 的 平 均 功 率 为1 5 于 是 2 2 0 2 20 2525 1 0 2 DEM G 因此 4 104 0 4 10 0 25250 252525 25 22 2 1010 R DEM oAMiAM PSS G NNN B 即 14 02dB 习题四 习题四 1 1 给定二进制比特序列 1101001 试给出相应的单极性 NRZ 信号 双极性 RZ 信号与 传号差分码信号的波形 解 解 单极性 NRZ 信号 双极性 RZ 信号与传号差分码信号的波形如下图所示 4 9 1 1 0 1 0 0 1 1 0 2 2 某数字基带系统速率为 2400Baud 试问以四进制或八进制码元传输时系统的比特 速率为多少 采用双极性 NRZ 矩形脉冲时 信号的带宽估计是多少 22 log2400 log 44800 bs RRMbps 解 解 以四进制传输时系统的比特率为 22 log2400 log 87200 bs RRMbps 以八进制传输时系统的比特率为 z 22 log9600 log 44800 sb RRMBaud 22 log9600 log 162400 sb RRMBaud z 采用双极性 NRZ 矩形脉冲时 信号的绝对带宽无限 因此 按惯例以脉冲的第一零点带 宽估计 它只与信号的波特率有关而与码元进制无关 因此 两种信号的带宽都为 2400 Ts BRH 3 3 某数字基带系统速率为 9600bps 试问以四进制或十六进制码元传输时系统的符号 率为多少 采用单极性 RZ 矩形脉冲时 信号的带宽估计是多少 解 解 以四进制传输时系统的符号速率为 以八进制传输时系统的符号速率为 采用矩形脉冲时信号带宽按第一零点带宽估计 对于双极性 RZ 考虑 50 的脉冲占空比 因此 四进制传输时 带宽为 2248009600 Ts BRH 而十六进制码元传输时 带宽为 2224004800 Ts BRHz 4 4 某二元数字基带信号的基本脉冲如图题 4 4 所示 图中 s T为码元间隔 数字信息 1 和 0 出现概率相等 它们分别用脉冲的有 无表示 试求该数字基带信号的功率谱 密度与带宽 并画出功率谱密度图 g t A t 0 2 s T 2 s T 图 题 4 4 解 解 平稳无关序列相应的 MPAM 信号的功率谱密度为 4 10 2 22 2 2 aa SrT k SsS mkk PfGfGf TTT S T 由题意 该信号仿单极性 NRZ 信号 但脉冲形状为三角形 首先 2 sin 22 ss ATf G fc T 又由等概率特性 111 2 10 22 an mE a 2 22222 1111 10 2224 ann E aEa 由教材式 4 2 2 该数字基带信号的功率谱为 2 22 2 2 2222 44 2 22 44 2 11 sinsin 442442 sinsin 162162 si 16 aa sTT k ssss ssss k sss ss k s s mkk P fGfGf TTTT A TfTA TfTk cc TT A TfTAkk ccf T A T f T 2 42 44 1 3 5 1 n 216 s k s fTAk cfAf kT f 2 16A 2 16 s A T 2 s R4 s R s Pf 2 4 A 2 44 3 A 2 44 5 A 6 s R 5 5 已知随机二进制序列 1 和 0 出现概率为p和 1p 基带信号中分别用和 表示 1 和 0 试问 g t g t 1 基带信号的功率谱密度及功率 2 若为图题 4 5 a 所示波形 g t s T为码元宽度 该信号是否含有离散分量 1 ss fT 4 11 3 若改为图题 4 5 b 重新回答问题 2 g t tt 1 1 00 a b 4 s T 4 s T 2 s T 2 s T g t g t 图 题 4 5 解 解 由题意可知 基带信号为双极性信号 可认为码元序列 n a为序列 于是 1 11121 an mE appp 2 222 12141 ann E aEappp 1 基带信号的功率谱密度 2 22 2 2 2 2 2 2 4121 aa s k ssss sss mkk P fG fGf TTTT pppkk G fGf TTT s T 按频域计算功率为 s PPf df 2 2 2 2 4121 ss pppk G fdfG TT s T 2 若基带脉冲如图题 4 5 a 的 g t 仿矩形 NRZ 借助教材式 4 2 8 2 2 2222 sin sinc s sss s fT G fA TTfT fT 功率谱中的的离散谱部分为 2 2 22 2 21 sinc 21 ss ss pk TkfpT TT f 可见 该信号在1 ss fT 处不存在离散分量 2 若基带脉冲如图题 4 5 b 的 g t 仿矩形 RZ 借助教材式 4 2 13 2 222 2 2 sin 2 sinc 4 2 42 sss s s A TfTTf G f fT T 功率谱中的的离散谱部分为 2 2 2 22 2 211 sinc sinc 4222 s k sss k pTkfkkfk fpf TT 为奇数 T 由可见 该信号在1k 1 ss fT 处存在离散分量 4 12 6 6 采用低通滤波技术接收二元双极性 NRZ 信号 假设二进制符号 0 和 1 是等概率的 问接收机的平均差错概率 e P计算公式是什么 6 10 e P 需要的 0b EN是多少 提示 借 鉴例题 4 6 数值 解 解 采用 LPF 接收二元双极性 NRZ 信号 当 0 1 等概时 由表 4 3 1 接收机的平 均差错概率的计算公式为 2 00 b e EA PQQ N BN 其中 2 bb EA T 1 b B T 为二元 NRZ 信号第一零点带宽 6 10 e P 时 由图 4 3 6 可估计需要的 0 13 5 b ENdB 或者 由于 双极性 LPF 接收性能与单极性匹配滤波接收性能相同 借鉴例题 4 6 数值可得 0 13 6 b ENd B 00 7 7 8 8 使用双极性的 2PAM 基带信号在长为 1000 km 的有线信道上传输数据 线路具有 1dB km 的衰减 每隔 50 km 插入一个再生中继器 每段线路在012f Hz 频段上具有 理想 恒定 的频率响应 可近似为带限 AWGN 信道 10 0 5 10N W Hz 试问 1 无 ISI 传输的最高比特速率是多少 2 在最高比特速率下 每次中继达到 10 10 b P 比特错误概率所需的 0b EN与相应的 发送功率是多少 3 每次中继达到时 整个线路的传输误码率 10 10 b P 解 解 1 根据奈奎斯特准则 由于1200HzW 因此 max 22400 s RWBaud 由于是二元传输 因此 最高比特速率是 2400bps 2 根据教材表 4 3 1 采用匹配滤波器接收系统时 0 2 b e E PQ N 借助例题 4 6 的结论 要求取 13dB 接收处信号功率为 10 10 e P 0 b EN 13 1013 10105 0 2400240010105 102 39 10 bb PREN W 50 km 共衰减 50dB 因此 发送功率是 2 39 瓦 注意 50dB 相当于倍 5 10 若采用 LPF 接收系统 信号功率应该提高一倍 因此 发送功率是 4 78 瓦 3 整个线路共有 1000 20 50 km km 个中继段级联 可以认为各中继段差错情况独立 各 自的出差错概率为 二元码元通过 20 个中继段时 若有奇数个中继段发生错误 则最终产生错误 因此 总的误码概率为 10 10 b P 1919 20 9 1 3 5 1 3 5 202020 12 1 i ii ebbbb ii PPPPP ii 10 注意 的数值极小 10 10 b P 9 9 假定二元单极性 NRZ 信号幅度为 A 经过噪声功率谱 0 2N的 AWGN 信道传输 接收 端采用 LPF 1 画出接收系统框图 2 在发送 0 的条件下 给出滤波器输出表达式 抽样值的条件均值及条件方差 条件概率密度函数表达式 4 13 3 在发送 1 的条件下 重新回答问题 2 解 解 1 接收系统框图如下 s t n t 0 2N r t y t n r 假定 LPF 的带宽为 B 冲激响应函数记为 h t 并认为带宽足够信号有用部分通过 LPF 增益归一化 2 发送为 0 条件下 LPF 输入 r tn t 输出 y tn th t 由于 噪声是高斯白噪声 滤波器增益为 1 可知抽样得到的服从正态分布 条件均值 0 条件方差 所以 条件密度函数为 n r 0 N B 2 0 2 0 1 0 2 n r N B n f re N B 3 发送为 1 条件下 LPF 输入 T r tAgtn t 由滤波器带宽足够信 号有用部分通过且增益为 1 可得输出为 T y tAgtn th tAn th t 由于噪声是高斯白噪声 滤波器增益为 1 可知抽样得到的服从正态分布 条件均值 A 条件方差 所以 条件密度函数为 n r 0 N B 2 0 2 0 1 1 2 n rA N B n f re N B 10 10 11 11 在功率谱密度为 0 2N的 AWGN 信道中进行二元基带传输 假定码元等概且发射信 号分别为 1 0 0 At tT m tT 其他 2 1 0 0 t AtT mtT 其他 1 确定最佳接收机的结构 确定滤波器特性 2 给出最佳错误概率 解 解 1 最佳接收机采用匹配滤波器结构 码元间隔取 s TT 4 14 s t n t 0 2 N r ty t 0 T V n r ds h t ksTt na 令 12 02 0 d At tTA stmtmtT 其他 匹配滤波器为 k 为任意常数 02 0 d kAt tTkA h tksTtT 其他 2 由教材式 4 3 21 可知 最小的 e P为 2 00 26 d e EA T PQQ NN 其中 2 2 2 00 2 3 TT dd AtA Es dtAdt T T 12 12 13 13 设 4 种基带传输系统的发送滤波器 信道及接收滤波