（地球探测与信息技术专业论文）三维井地电位测井技术的正演模拟研究.pdf

三维井地电位测井技术的正演模拟研究 摘要 对于高含水期油田，注水分布和剩余油分布的研究是油气开发中的一个 研究热点，也是一个研究难点。三维井一地电位测井作为国内外主要测井技术 之一，是一种高效的勘探方法，为剩余油挖潜提供可靠的依据，在油田勘探 和开发中能够大幅度提高钻探高效井的成功率，从而达到优化开发方案和提 高最终原油采收率的目的。正演计算是我们认识地表电位的良好途径，井一地 电位测井技术正演问题指的是已知井中地下介质的电阻率和电导率等参数的 分布，求解井一地电位三维地电场的电位分布。本文研究三维井一地电位的正 演，可为井一地电位反演成像的实现提供更加充分的正演支持。 对于垂直线电流源，由于源点上电压是奇异的，通常将总电位分离成正 常电位和异常电位，采用解析法计算垂直线电流源在均匀大地条件下产生的 正常电位；本文从异常电位满足的微分方程出发，采用有限差分方法计算地 下异常体引起的异常电位，进一步求解得实际电位，从而实现了三维井一地电 位的正演。对于有限差分方法求解过程中形成的线性方程组彳矽= s ，对其进 行直接解法的计算效率很低，本文引入了不完全c h 0 1 e s k y 共轭梯度( i c c g ) 方法，由于方程组中的么是大型稀疏带状对称矩阵，可以充分利用4 的稀疏 性，结果计算速度有了很大提高，相反对于内存的要求则大大减少。 为了研究地下三维异常体引起的地表电位响应，本文对水平层状模型等 进行了计算，并首次引入倾斜层状异常体以及三维球体异常体模型，最后给 出了经过本文正演算法得到的图件。结果表明，本文采用的正演算法快速、 精确，并且较准确地反映了地下三维异常体引起的电位响应，为进一步的三 维反演研究奠定了基础，提供了约束条件。 关键词：三维井一地电位，有限差分法，正演，不完全c h o i e s k y 共轭梯度法 t h ef o r w a r dm o d eiin go ft hre e dim e n s ；o n ai b o r e h oie t o s u r f a c el o g gin gt e c h n oio g y a b s t ra c t t h er e s e a r c ho fi i l 凡s e dw a t e rd i s t r i b u t i n ga 1 1 dr e m a i n i n go i li sah o ts h o tt o 1 1 i g l lw a t e rc u tp r o d u c e ri nt h ei n d u s t 眄o fo i lg a s ，a l s oah a r d 肌t a so n eo fm a i n l o g g i n gt e c l u l o l o g i e si i lt h e 、o r l d ，t h r e e d i l l l e n s i o n a lb o r e h o l e t 0 - s u f f a c el o g g i n g t e c l l o l o g yi sav a l u a b l em e t h o d ，w h i c hc a np r o v i d er e l i a b l eb a s i sf o r 乜l p p i n gt h e r e m a i l l i n go i l ，p r o m o t es u b s 切n t i a l l ys u c c e s sr a t e so ff i n d i n ge 珩c i e mw e l l si nt h e e x p l o r a t i o np r o c e s s ，f i n a l l yt oo p t i m i z ed e v e l o p m e n tp r 0 伊a ma n dp r o m o t eo i l r e c o v e r y ，f o n a r dm o d e l i l l gi sag o o dw a yt og e ts u r f - a c ep o t e n t i a l ，t h ef o 删a r d m o d e l i n go fb o r e h o l e t o 。s u r f a c ei sa 曲u a l l yc o m p u t i n gp o t e n t i a ld i s t r i b u t i o n t h r o u 曲t 1 1 ep a r a m e t e r so fu n d e r g r o u n dm e d i 咖，s u c ha sc o n d u “v i 吼r e s i s t i v i 够 mt h i sp a p t h ef - o r 、a r d 嘶也b o r e h o l e t 0 s u r f a c ei ss 锄i e da n db e c o m e s 也e b a s i so fi n v e r s i o n f o rv e r t i c a ll i n es o u r c e ，m et o t a lp o t e n t i a li su s u a l l yd i v i d e di n t on o m l a l p o t e n t i a la n da b n o 观a lo n eb e c a u s eo fv o l t a g es 协g u l a r i t yi i ls o u r c e 。n o n r l a l p o t e m i a lp r o d u c e di nh o m o g e n e o u sh a l f 二s p a c ei sc a l c u l a t e db ya u l a l y t i cm e t h o d w h i l ef o ra b n o n n a lp o t e n t i a lp r o d u c e db ym l d e r g r o m l da 1 1 0 m a l o u sb o d y ，f i l l i t e d i 宣f e r e n e em e 也o d ( f d m ) i su s e db a s e do nd i 虢r e n t i a le q u a t i o no fa b n o m l a l p o t e n t i a l f u r t h e r t h et o t a lp o t e n t i a li sc a l c u l a t e da n dt h ef 0 朋a r di sr e a l i z e d t h e e m c i e n c yw 油d i r e c tm e t h o d t os o l v et l l el m a re q u a t i o n 么= sf o n i l e dd 嘶n g f d mc a l c u l a t i o np r o c e s si sq u i t es l o w ，i nw h i c h彳i sa1 a 唱es p a r s eb a l l d s y m m e t r i cm a t r i x a c c o r d i n 9 1 y ，1 1 1 c o m p l e t ec h 0 1 e s k yc o 巧u g a _ t eg m d i e n t ( i c c g ) i sm t r o d u c e di 1 1t k sp a p i te o n v e r g e sm o r eq u i c yw h i l er e q u i r e s1 e s sm e m o r y t bi n d i c a t ep o t e n t i a ld i s t r i b u t i o np r o d u c e db yu 1 1 d e r g r o u n da 1 1 0 m a l o u sb o d y ， m o d e l ss u c ha sl a y e rc a l ( em o d e la r ec a l c u l a t e di n “sp a p e r ni sa ni i l i t i a t i o nt o i n t r o d u c ed i p p i n gb e dm o d e la n ds p h e r i c i 锣m o d e li nt 1 1 i sp a p e r ，t h e nm 印sf o 啪e d w i mf d mc a l c u l a t i o na r ee x 拉b i t e d ns h o w st h a tf o 姗a r dm o d e l i n go f 也i sp a p e r i sf a s ti 1 1c o n v e r g e n c ea n da c c u r a t e ，a l s oi m a g e sp o t e n t i a ld i s t r i b u t i o nm o r e p r e c i s e l y ，b e i n gt h ef o u n d a t i o no f 缸胁e ri n v e r s i o na i l dp r o v i d i n gc o n s t r a i n t s 。 k e y w o r d s ： t 1 1 r e e d i m e n s i o 砌b o r e h o l e - t o - s u r f a c e1 0 9 9 i 1 1 9 ， f i l l i t ed i 仃e r e n c e m e t h o d ( f d m ) ，f o m 协dm o d e l i i 培，1 1 1 c o m p l e t ec h 0 1 e s k yc o 坷u g a t eg r a d i e n t ( i c c g ) 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得一或其他教育机 构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孽轻签字日期：叫年f 月蜷日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权 书) 导师签字 签字日期：6 年，月貉 锰 釉毒m ： f 名 f 签 严 粼中 作 哆 史 飙、移rl上 位 字 学 醛 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 1 前言 1 1 研究目的和意义 二十世纪九十年代以来，剩余油分布研究以及注水效率评价一直是有 关国际会议的重要议题。随着石油开采技术的发展提高，多数油田经过长 时间的开发均进入了高含水采油期，对剩余油分布的研究成为稳产挖潜的 重要前提和保障。 目前，剩余油分布的研究方法主要有高分辨率地震技术、井间电磁技 术、示踪剂测试法、开发地质学分析方法、岩心分析方法以及测井方法等。 由于剩余油分布受到如地层非均质性、驱油进程、地下流体的物理化学性 质的变化等诸多因素的影响，对剩余油分布的研究仍是一个复杂的系统工 程。 人们将医学电阻抗c t ( c o m p u t e r iz e dt o m o g r a p h ) 、地震波c t 、电磁 波c t 的原理n 2 1 引入到井地电阻率法勘探中，从而形成了井地电阻率层析 成像法。井一地电位测井技术具有场源容易实现，实施简便，对现场无破 坏作用，分辨率高( 与普通电阻率法相比) ，穿透深度大( 与电磁波层析 成像相比) ，经济实惠( 与地震波层析成像相比) 等优点口3 。因此，对于 剩余油分布研究，井一地电位测井技术是一种高性价比的研究方法。 井一地电位测量方法，就是通过开发井的套管向井下供入大功率的电 流，在地表测量由地下介质的电性变化形成的电位分布，进而研究地下介 质的电阻率分布。根据大地介质注水前后电阻率的变化分析油水的驱动方 向，采用井地电位成像技术的优点包括：不破坏井况，进而不影响正常生 产；电特性对油水界面的区分非常敏感；同三维地震相比井一地电位成本 很低；可以连续实时对石油运移进行动态监测。因此，井一地电位测井技 术被广泛应用于研究流体识别，分析剩余油分布，确定油气藏边界和高渗 透带方向等，提高了油藏描述的精度，加深了人们对地下地质情况的认识 和了解，在油田勘探和开发中，能够大幅度提高钻探高效井的成功率，从 而达到优化开发方案和提高最终原油采收率的目的。 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 与其它地球物理学问题相同，研究井一地电位也有两类问题：一是正 演问题，二是反演问题。在这里，正演问题指的是已知井中地下介质的电 阻率和电导率等参数的分布，需求取井一地电位三维地电场的电位分布； 而反演问题是指已知井一地电位分布，求三维地下介质的电阻率分布问题。 从应用的角度来讲，井一地电位问题主要是求解反演问题，但是为了求解 反演问题，常常首先需要求解正演问题，两者是相互关联的。 正演计算是人们认识地表电位的良好途径，通过对不同地质模型的正 演计算研究得出的结论，对于资料反演具有积极的指导作用，并可用来检 验各种反演算法的正确性和反演成果的可靠性，为准确地处理解释资料提 供基础和帮助。 1 2 井一地电位测井技术正演问题的研究现状 井一地电位测井作为国内外主要测井技术之一，受到国内外专家的高 度重视。对于三维井一地电位测井技术的正演问题，一般情况下需要采用 物理模拟或者数值模拟来求解。在计算机如此发达的今天，数值模拟与物 理模拟相比则更容易实现。 正演模拟的数值方法主要分为三种：有限差分方法、有限单元方法和 边界单元方法。 ( 1 ) 、有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 或简称为f d m ) 。这是 一种经典的数值模拟计算方法，其基本原理就是用差商代替微商，将待求 解的连续微分方程变换为离散的差分方程，并通过求解差分方程得到原微 分方程的近似解。 ( 2 ) 、有限单元法( f i n i t ee 1 e m e n tm e t h o d 或简称为f e m ) 。有限单元 法是从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次泛函的极值问题 转化为多元二次函数的极值问题，后者等价为求解一组多元线性代数方程 组，是一种从部分到整体的方法，使分析过程大为简化。 ( 3 ) 、边界单元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 或简称为b e m ) 。边界单 元法的前身就是边界积分方程法，随着有限单元法的兴起，其单元划分和 插值函数的概念引入到了边界积分方程法中，发展成为边界单元法。8 0 2 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 年代初，边界单元法首先在电法电磁法的地形研究领域占有一席之地， 以解决复杂的地形影响问题。 国外，l i n e s 与j o n e s 以及z h d a n o v 等人讨论了三维散射问题的有 限差分公式，但是并没有给出三维数值模拟的结果h 5 1 。m i z u n a g a 等( 1 9 8 8 ) 哺3 将并一地电位测量方式进行了发展：即把整个套管井作为供电电源，在地 表进行电位测量，并给出了均匀介质中的二维正演模型，其三维正演的数 值模型是在1 9 9 1 年完成的( m i z u n a g ae ta 1 ，1 9 9 1 ) 口1 。三维正演模型的 建立不但大大简化了测量过程，而且使生产过程的动态监测成为可能。水 永秀树等( 1 9 9 1 ) 实现了线电流源为垂直情况的三维地电场有限差分正演， 并对地表视电阻率分布特征等问题进行论述阳3 。t o r r e s v e r d i na n d h a b a s h 3 基于非均匀介质中电磁散射问题的局部非线性近似，利用积分方 程法研究了频率域中垂直磁偶极源的2 5 维正演。 国内，考虑到直接求解三维地电总场会在场源点出现奇异性，徐世浙 采用异常电位求解方法，给出了求解点源三维异常电位的有限单元法，相 比总电位求解法提高了计算精度n0 n 1 。周熙襄等人( 1 9 8 6 ) 利用有限差分 法求解出点源三维地电场总电位n 羽。吴小平( 1 9 9 8 ) 利用不完全c h o l e s k y 共轭梯度实现了点源总电位三维有限差分正演n 引。吴小平( 2 0 0 3 ) n 盯利用 对称超松弛预条件共轭梯度法( s s o r p c g ) 实现了点源异常电位三维有限 元正演，使得正演计算速度和精度得到显著提高。王志刚，何展翔等( 2 0 0 6 ) n 5 3 在直流电法满足的基本微分方程的基础上，采用有限差分方法进行井地 电法的三维数值模拟研究，并在数值模拟中考虑了金属套管和井液对数值 模拟结果的影响，对金属套管和井液进行了充填。徐凯军，李桐林( 2 0 0 6 ) 针对垂直有限线源，首先推导了线电流源的边界条件，然后利用有限差分 实现了三维地电场的正演n6 i 。由于现在的油井和水井有很多是倾斜的，刘 地渊，徐凯军等( 2 0 0 6 ) 针对任意形状线电流源，从异常电位所满足的微 分方程出发，利用有限差分方法实现了任意形状线电流源三维地电场正演 n 7 1 。毛先进等n 8 ，1 9 3 将传统的边界积分方程进行改进，使积分方程法可以适 应地下多个不均匀体的正演计算，并得到2 5 维和三维的计算结果。 总的来说，三种数值模拟方法都有一定的优势和不足：有限差分法不 涉及计算耗时的偏导数运算，因此计算速度较快，可在不影响地形效应或 3 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 要求精度不高的情况下使用，并且适当选择数值差商和数值积分的步长， 可有效地提高有限差分的计算精度。在处理复杂的几何形状时，有限单元 法灵活性和适应性比其他方法要好，它的缺点在于计算量比较大，计算时 间较长，将它直接用于反演迭代以及对模型的修改效果较差。边界单元法 降低了定解问题的维数，但构造复杂模型较难，因此主要用于二维正演的 计算。 1 3 本文的主要研究内容 面： 本文在前人工作的基础上，研究重点集中在三维井一地电位正演算法方 ( 1 )针对垂直有限线源，用解析法计算垂直线电流源在均匀大地条 件下产生的正常电位。围绕消除源点附近奇异性的异常电位微分方 程，推导了有限差分方法求解微分方程的计算过程 ( 2 )基于有限差分的数值计算，利用不完全c h 0 1 e s k y 共轭梯度方法 求解线性方程组4 矽= s ( 3 )进行模型计算与分析，首次引入倾斜层状异常体以及三维球体 异常体模型，研究异常体对电位响应的变化 4 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 2 基本理论 2 1 井一地电位测量技术的原理理论基础 2 1 1 电阻率变化与含油饱和度的关系 不同开发阶段中含油气饱和度与地层电阻率变化的相互关系是井一地电 位测井技术研究剩余油分布的基础。地下储层含水饱和度会随着油气的产出 以及水的注入而发生较大的变化，r a n g a n a y a k i 等乜伽利用电阻率测井方法研究 注蒸汽前后电阻率的变化时发现，由于蒸汽将重油驱替，加上地层温度的升 高，在含油饱和度高的构造顶部，经过勋的注蒸汽开采后地层电阻率可降低 1 2 个数量级。另外m a n s u r e 等乜假设注水和注蒸汽过程中地层因素变化较 小的前提下，利用电阻率测井及饱和度公式并结合开发地质资料，研究了注 蒸汽过程中残余油饱和度的平面分布变化情况。 经过实验分析数据以及测井电阻率的统计分析得出，在注水和注蒸汽井 中，由于孔隙流体性质及温度的变化，电阻率变化关系式为： 式中： ( 2 1 ) 足。、冠：分别是注水或注蒸汽前、后地层电阻率，q 朋； c l 、c 2 分别是注水或注蒸汽前、后孔隙流体电导率，从c 聊； 互、正分别是注水或注蒸汽前、后的地层温度，。c ； s 。，、s 。：分别是注水或注蒸汽前、后地层的含水饱和度，； 聆饱和度指数。 2 1 2 井一地电位测井技术原理 井一地电位测井技术是在地表向井中套管施加一个大功率的电流，电流通 过水泥胶结井段、无水泥胶结井段以及射孔井段非均匀地流向地层( “漏电 5 旦q = 如百 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 流) ，从而在非均匀电性变化的地下地层中形成一个非均匀的电场，通过 测量地表的电位分布可研究地下介质的电阻率分布。 井一地电位测井的测量系统如图2 1 所示。图中，选一口井作为供电井， a 为供电电极，另选一口井作回流井，b 为回流电极。两口井的距离与探测深 度有关，为确保所测电场为均匀场选择距离一般在一千米以上。心为测量电 极。若套管较深，回流电极距供电电流井较近，在实际处理中不能将回流电 极作为无穷远电极处理，它的影响应当考虑瞳2 1 。 u r 1 7 1i 测盈系统 a 电极1 r 1r 1r mn 供 l 也 套 筏； 图2 1 井一地电位测量原理 图2 2 显示了电流密度在井中的非均匀分布情况。由于水泥的致密性，水 泥胶结井段与射孔井段的地层( 目标层) 相比是高阻的，因此电流大多通过无 水泥胶结井段和射孔井段流向地层。由实验和理论分析可以得出乜3 2 钔，在地表 测量的由套管流入地层中的“漏电流 近乎与套管垂直，并且对地层有较大 的穿透深度。在几千米的套管上电流是非均匀分布的，由于套管直径与套管 长度以及测量点距套管的距离相比可以忽略不计，因此在正演计算和反演成 像等数据处理中，可将套管当成传输垂直线电流源处理。 6 三维井地电位测井拄术的演模拟研究 射 电流 幽2 2 电场和电流密度存套管以及地层中的分疖 由于石油与围岩的电阻率截然不同，因此能够利用井一地电位测井技术对 生产油井剩余油气分布及注水井注水推进方向和波及范围进行测量研究。石 油与围岩电阻率的不同，使得它们对周围的电流线分别表现出强烈的排斥和 吸引，由此必然使套管线电极发出的电流线产生畸变，也就是使油井周围 工建立的地下空间电场产生畸变。如果产生的畸变场达到足以波及地表的强 度，那么就可以通过观翔4 井周围地面电位的变化，结合地下地层的沉积相分 布、地层水矿化度和岩性信息等资料，借助于现代计算机信息处理技术，利 用电阻率这个参数的差异定性或半定量地研究地下地层的剩余油气分布和注 永的推进情况。另外，通过在射开井段加注高矿化度的导电流体，可咀扩大 高、低阻分布区电阻率的差异，得到洼水前、后电阻率的变化陪况”圳。 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 2 2 物理基础理论1 宏观实物均由大量原子、分子所组成。任何元素的原子都含有带正电的 原子核和若干个带负电的电子。正常状态下，核外电子总电量与核电量等值 而异号，所以原子呈电中性，整个宏观物体不显电性。不论用什么方法，若 使宏观物体内部或表面失去若干电子，物体将显电性，通常称物体内部或表 面带正电。反之，当宏观物体内部或表面有过剩电子，称物体内部或表面带 负电。 2 2 1 电荷分布及守恒定律 一般来说，带电物体的电荷在内部或表面的分布情况不同，但可看为是 连续分布，常用电荷密度来描写。由于带电体和观测条件不同，常有下列电 荷分布： ( 1 ) 点电荷 当带电体的大小在所研究的问题中可以略去不计时，近似地把电荷看作 集中于一点，其总电量为g ，称该带电体为点电荷。如图2 3 所示，带电体 大小比至观测点的距离，小很多时，带电体可看为点电荷。 q 移叭 r p 图2 3 点电荷 ( 2 ) 线电荷密度 当电荷分布在极细的线状物内，其粗细的线度远小于至观察点p 的 距离，如图2 4 ，则电荷分布的粗细可略去不计，近似认为电荷分布在 曲线上，称为线电荷分布。一般情况下，电荷在曲线上的分布是非均匀 的。在曲线上任选一无限小段为，其上电量为却，则g 与z 在极限 情况下的比值称为线电荷密度，得 三维井- 地电位测井技术的正演模拟研究 岛= 等= 粤 ( 2 - 2 ) 刖一o ，铘 、。7 一般来说，向是空间坐标的函数。当指明是均匀分布时，岛是常量。 图2 4 线电荷密度 ( 3 ) 面电荷密度 当电荷分布在极薄的曲面内，其厚度远小于至观测点的距离，时，如 图2 5 ，厚度可略去不计，可认为电荷分布在曲面上，则称为面电荷分布。 一般情况，电荷在曲面上的分布是非均匀的，在曲面上任选一面元厶， 其上电量为g ，则g 与厶在极限情况下的比值，称为面电荷密度，得 舻鹄鲁= 安 ( 2 3 ) 一般来说，级是空间坐标的函数。当指明是均匀分布时，风是常量。 ( 4 )体电荷密度 图2 5 面电荷密度 当带电体的电荷分布于物体内时，称为体电荷分布，如图2 6 。一般 情况，电荷分布是非均匀的，在带电体内任选一体积元y ，其内电量为g ， 则g 与矿在极限情况下的比值，称为体电荷密度，得 9 三维井一地电位测井技术的正演模拟研究 p 矿= 鸩参= 嘉 ( 2 4 ) 一般来说，所是空间坐标的函数。当指明是均匀分布时，所是常量。 ，7 一”“、，、 、 j ，1 ， v l镌飘 j 、? 。m j3 、 g 7 、一，7 图2 6 体电荷密度 在正常状态下，物体是电中性的，物体里正、负电荷的代数和为零。如 果在一个孤立系统中有两个电中性的物体，由于某些原因，使一些电子从一 个物体移到另一个物体上，则前者带正电，后者带负电，不过两物体正、负 电荷的代数和仍为零。总之，在孤立系统中，不管系统中的电荷如何迁移， 系统的电荷的代数和保持不变，这就是电荷守恒定律。电荷守恒定律就像能 量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律那样，也是自然界的基本守恒 定律。无论是在宏观领域里，还是在原子、原子核和粒子范围内，电荷守恒 定律都是成立的。 2 2 2 电场与电位 电荷周围存在着电场，表征电场性质的物理量通常称为电场强度，简称场 强，用互表示，e 是空间位置的矢量函数。 点电荷的电场强度为 啪力= 去吾c 争 ( 2 5 ) 式中，= 8 8 5 4 1 0 。2c 2 ( 聊2 ) 为真空中的介电系数，g 为激发电场 l o 三维井一地电位测井技术的正演模拟研究 的电荷，犬为场点位置。 对于各种电荷分布的电场中一点的电场强度，只需把分布的电荷作无限 分割，分割为线电荷元p ，刃、或面电荷元以出、或体电荷元p 矿d y 看作点电 荷，按式( 2 5 ) 求得电荷元在场中一点的场强地，而后按矢量叠加原理求 得整个电荷分布在该点的总场强。针对线电荷分布，如图2 7 所示，它的场 强e 的积分表示式为 啪纠= 弘= 去工学c 争 浯6 ， 应当指明，场源电荷分布的电荷密度岛( ，) 是源点( x ，y 。，少) 的坐标函数， 式中的，= 一一) 2 + ( y 一少) 2 + 0 一z ) 2 】17 2 是场点p ( x ，y ，z ) 和源点( x ，y ，z ) 坐标的函数。上述积分是对源点( 一，y ，) 进行，所以最后电场强度e 只是场 点尸( x ，y ，z ) 的函数。 电位矽与电场强度e 的关系为 e = 一v 彩 图2 7 d e ，z ) ( 2 7 ) 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 有限长均匀直线电荷的电位为 = 南z n 筹 ( 2 8 ) 式中，g 为带电线的电量，z 为带电线的长度，_ ，吃分别为场点至带电线 上、下端的距离。 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯 度的关系e = 一v 矽和高斯定理微分式厂( x j x ，) 量石o ( 觇，g ，鼻c ) ，即 可导出静电场的泊松方程： 等+ 等+ 等蚓矽= 一去 瓠2 卸1 8 z z ? s n 式中，p 为自由电荷密度；纯数s ，为各分区媒质的相对介电常数。 真空中，g ，= 1 ，所以电位的微分方程为 v 2 彩：一旦 占 式中，s = s o 。 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 在没有自由电荷的区域里，p = 0 ，泊松方程就简化为拉普拉斯方程： v 2 矽= 0( 2 1 1 ) 2 2 3 欧姆定律与连续性方程 电流是由大量电荷作定向运动形成的。用电流密度矢量，来描写导电媒 质中电流的分布。欧姆定律的微分形式为 ，= o 匠 ( 2 一1 2 ) 式中，仃为电导率。 电荷守恒定律是最普遍的基本规律。无论电荷是流动还是不流动，是稳 定流动还是非稳定流动均应遵守。用数学方程表示此规律即是连续性方程。 在非稳定情况下，电流密度，和电荷密度p 都是空间尺和时间，的函数。 1 2 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 非稳定电流电场连续性方程的微分形式为 v ，：一塑( 窒：尘 研 在稳定情况下j 与p 均不是时间函数，故 望! 墨：尘：o 研 则v ，= o 式( 2 1 4 ) 为稳定电流电场的电流连续性方程。 2 2 4 静电场的边值问题 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题，此 处边界条件实际上是指给定的边值。 边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克 莱( d i r i c h l e t ) 问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称 为诺依曼( n e u m a n n ) 问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量 的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。 解边界值问题的方法主要有电像法、分离变量法、解析函数法等分析解 法以及有限差分法、有限单元法等数值解法，还有模拟实验解法等。 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 3 井一地电位测井技术有限差分方法的正演模拟 3 1 异常电位的微分方程侧 在井地电位的实际数值计算中，通常以总电位矽，为研究对象。由于源点 附近存在的奇异性，因此为了简化问题，数据处理中通常将总电位分离成背 景电位和异常电位乜8 3 ： ，= 丸+ 矽 ( 3 1 ) 式中， 矽，总电位； 九背景电位，用均匀介质中垂直线电流源的理论电位公式计算； 矽三维地下介质的异常电位。 通常情况下，正常电位丸是总电位矽，的主要部分，异常电位只占总电 位的一小部分。其中，正常电位丸由理论公式计算得出，有解析解，可认为 没有误差，所以当，有计算误差矽，时，矽的误差为= 办。 由于 咖币l 币t 勿矽 另外以 矽，所以总电位，的相对误差垒鍪对于异常电位矽的相对误差 矽 掣的影响是很大的。因此为了提高电位的计算精度，研究直接计算异常电位 驴 的数值方法是非常有必要的。 如图3 1 ，地下放置一电流强度为，的线电源上，空间中作任意闭合面r ， 并且q 是r 所围的区域，歹表示电流密度矢量。由通量定律可知，图3 1 ( a ) ， 三在闭合面r 上时，流过闭合面r 的电流总量为，；图3 1 ( b ) ，上在闭合面r 之外时，流过闭合面r 的电流总量为零，即 1 4 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 亨订= ； 主茎：rl ， ，7：；、，；j：!，?7 三i、点! 、舟 - r 7 ，7 ，7 7 、。、，。i ，一，7 7 7 、 图3 1 ( 3 2 ) 依据数学分析中的奥高公式，将矢量的面积分转换成矢量的散度的体积 分，可得： 妒= p 艘茎0 陆3 ， 又根据前述欧姆定律以及静电场的守恒性，便可得电位满足的微分方 程： 一v ( 内以) = ， ( 3 4 ) 其中，仃是介质的电导率。 对于式( 3 4 ) 的总电位矽，的基本微分方程： 一v ( d v 谚) = 歹 q 当地下充满电导率为盯= 的均匀介质时，此时的电位称为正常电位丸，代 入上式得： 一v ( 盯o v 丸) = ， 求解上式求得丸。 假设半无限空间中存在着两种介质，如图3 2 所示，围岩介质的电导率 为仃。，不均匀介质体的电导率为盯：，则电源所在处的介质电导率为仃。= 仃，。 用q ，q ：分别表示仃，仃：所占的区域，用识l ，识：和办，欢分别表示q ，q ：区域 1 5 、，冬鸾 蔬： 一 ，、 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 中的总电位和异常电位，那么则有 识，= 丸+ 办办2 = 死+ 欢 用盯表示介质的电导率，仃表示异常电导率，那么有仃= 仃一c r 0 ，则 仃1 = 0 ，仃2 = 仃2 一仃l 将式( 3 4 ) 总电位的微分方程分解为 一v ( d v 诈) = 一v ( 田矽+ 仃v o + 仃o v 九) = j 又因 一v ( 吼v 丸) = ， 则有地下介质异常电位的基本微分方程 一v 【仃( x ，j ，z ) v 矽( x ，y ，z ) = 一v 【仃( x ，y ，z ) v 九( x ，y ，z ) 】 ( 3 5 ) 式中，仃( x ，y ，z ) 为求解区内介质的电导率，( x ，y ，z ) 为异常电位， 仃( x ，y ，z ) 为异常电导率，丸( x ，y ，z ) 为正常电位。 图3 2 1 6 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 3 2 正演模拟方法比较 井一地电位测井技术正演问题指的是已知井中地下介质的电阻率和电导 率等参数的分布，求解井一地电位三维地电场的电位分布。正演方法有解析法、 物理模拟法和数值模拟法等，由于对于场源和复杂物性分布，解析法和物理 模拟法不适合它们的正演情况，并且由于计算技术和计算机技术不断的发展， 数值模拟法已越来越成为正演最主要的方法。 目前主要的数值模拟方法包括有限单元法、有限差分法和边界单元法等。 ( 1 ) 有限单元法( f e m ) 的基本思想是将问题的求解域离散化，得到有限个 单元，单元彼此之间仅靠节点相连。在单元内假设近似解的模式，通过适当 的方法，建立单元内部点的待求量与单元节点量之间的关系。由于单元形状 简单，易于由能量关系或平衡关系建立节点量之间的方程式，然后将各个单 元方程集合成总体线性方程组，引入边界条件后求解该线性方程组即可得到 所有的节点量，进一步计算导出量后问题就得到了解决。 ( 2 ) 有限差分法( f d m ) 是计算机数值模拟最早采用的方法，最经典的方 法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节 点代替连续的求解域。有限差分法以t a y l o r 级数展开等方法，把控制方程 中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点 上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题 的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值 方法。 ( 3 )边界单元法( b e m ) 应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把 空间求解域的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一 点的求解变量( 如温度) 与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方 程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边 界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。 上面三种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有 限个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。由于有限差分法直接由微分 方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助t a y l o r 展开，直接写 出离散方程，一般有限差分法可以使精度更高一些；有限元方法比有限 1 7 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 差分方法优越的方面主要在于能适应不规则区域，但是这只是指的是传 统意义上的有限差分，现在发展的一些有限差分已经能适应不规则区域。 对于椭圆型方程，如果区域规则，传统有限差分和有限元都能解，在求 解效率上，这里主要指编程负责度和收敛快慢、内存需要，肯定有限差 分有优势；而限制边界单元方法的主要障碍为潜在的高位矩阵求逆问题。基 于此，本文采用有限差分方法对异常电位的微分方程进行数值求解。 3 3 有限差分法原理3 应用数值模拟技术进行计算，首先需要将所模拟的空间进行数值化，用离 散的空间中的点来表示连续的空间；还需将场的方程进行离散，用离散的空间 点的函数值来表示连续的空间变化函数。 有限差分方法以差分原理为基础，用各离散点上函数的差商来近似替代该 点的偏导数，把待解的边值问题转化成一组相应的差分方程。接着，求解出差 分方程组( 线性代数方程组) 在各个离散点上的函数值，便可得到边值问题的数 值解。 以位场计算为例，在二维地电断面情况下，位场所满足的方程( 傅良魁， 1 9 9 1 ) 3 0 3 为 有源时：v 2 矽( z ，z ) = 厂 ( 3 6 ) 无源时：v 2 矽( x ，z ) = o ( 3 7 ) 式中：矽表示电位，厂表示源项。 1 8 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 ，一lf + 1 1 23 r ， ，肘 r x 矽 p 2见 办 1 ( ，量、 ， ill 。 图3 3 二维等步长正方形网格 首先进行网格剖分，地下断面被平行于坐标轴的两组直线族划分成正方 形或长方形网格。如图3 3 所示，相邻直线间的距离为乃，每个正方形为一 单元，其边长办称为步长，网格的交点称为节点，边界线以内的节点称为内 节点，节界上的节点称为边界节点。 网格上任一点的坐标( x ，z ) 为： x = 砌( f = o ，1 ，2 ，m ) z = 砌( 后= 0 ，1 ，2 ，) 则任一节点的坐标( x ，z ) 可表示为( 砌，砌) ，或简化为( f ，后) ，即可用阶梯状 折线代替原来的曲线段。 对于某一内节点( f ，j j ) ，假定该处的电位为矽( f ，七) ，由于办很小，因此可将 节点( i ，七) 四周的电位在节点处展开成泰勒级数： 1 9 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 矽( f + 1 ，七) = 矽( f ，七) + 丸( f 矽( f 一1 ，尼) = 矽( f ，忌) 一丸( f 矽( f ，七+ 1 ) = ( f ，尼) + 丸( f ( f ，尼一1 ) = 矽( f ，尼) 一矽：o 后) 办+ 丸( f 尼) j 1 2 + 丸( f 尼) 乃+ 九( f 尼) 乃+ 丸( f 后) 等+ 红( f ，七) 等+ 的等一虹( f ，七) 等+ 的等+ 红( f ，七) 等+ 尼) 等咆( f ，尼) 等+ 式中，丸，丸，和丸，九，分别表示对x 和z 的一阶导数、二阶导 数、。 将前两个式子相加，忽略乃的四次项以及更高项，整理后可得： 啪盟堕芎掣 仔8 ) 同理： 啪搠型业等掣 ( 3 _ 9 ) 将式( 3 8 ) 和式( 3 9 ) 代入含源分区均匀岩石中位函数矽满足的微分 方程( 3 6 ) ，得函数( x ，z ) 的差分方程： ( f + 1 ，后) + 矽( f ，尼一1 ) + 矽( f 一1 ，后) + 矽( f ，七+ 1 ) 一4 矽( i ，七) = 办2 厂 ( 3 1 0 ) 同理，对于无源分区均匀介质，位函数矽( x ，z ) 满足的微分方程( 3 7 ) 的 差分方程为： 矽( f + 1 ，后) + 矽( f ，后一1 ) + 妒( f 一1 ，尼) + 矽( f ，七+ 1 ) 一4 矽( f ，七) = 0 ( 3 1 1 ) 对于边界节点，其相应的差分方程可根据边界条件给出。 对于全部节点，可分别用以下矩阵形式表示： - 卜移) - 妒 ( 3 1 2 ) - 】彩) = o ( 3 一1 3 ) 式中，阻】是方程组的系数矩阵，与物性参数( 如电阻率) 的分布有关；劬) 是电位矽的列向量，其分量为所有节点上的电位；扩) 是常向量。 已知电阻率分布以及边界条件后，对线性方程式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 3 ) 求解，便可求得电位的空间分布。 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 3 4 均匀介质中垂直线电流源的理论电位 对于均匀全半空间中的有限长垂直线电流源，其理论电位公式为b ： 小鼎r 丽寺斧2 型h 1i 塑鲤i 。4 2 万( ，2 7 1 ) z l z p + ( ，1 一z 尹) 2 + 名。 式中， p 地层视电阻率； 、乞分别为供电套管的项、底埋深； z ，为测点的埋深； 昂测点距供电线源的径向距离； ，供电电流强度； 丸一任何点p ( ，z p ) 由线电流源引起的电位。 由于所使用的回流电极距测量电极和供电电极的距离不太远，回流电 极不能当作无限远电极考虑。回流电极与套管长度相比，不可以看成点电 极，其电位为b ： 驴鼎e 丽希2 l nl 生尘筵鳖兰兰丝 l i b zp + 0 q t b z p 、) 1 十r 蠢 ( 3 1 5 ) 式中， b 、乞丑分别为电流回流套管的顶、底埋深； 测点距电流回流套管的径向距离； 九曰任何点p ( ，z p ) 由电流回流套管引起的电位。 由此，在任何测点尸( ，邵) 测得的电位丸为 丸= 九一+ 丸b ( 3 1 6 ) 2 1 三维井地电位测井技术的正演模拟研究 3 5