浅谈几道平面几何试题的一题多解.pdf

6 l l等 学 匝圃 浅谈几道平面几何试题的一题多解 黄 志 军 南京 外国语学校 2 2 2 0 0 8 中 图分类号 0 1 2 3 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 6 0 4 0 0 0 6 0 5 近年来 全 国高中数学联赛加试平面几 何试题在位置 难度上进行了调整 突出体现 一 道优秀的平面几何试题的考核功能 把具 体的平面几何题 目的求解放在一种策略指导 下进行 强调对题 目的已知条件与求证 目标 间运用联系的观点分析 并把 目标放在优先 考虑的地位 用事物间联系的观点分析思考 建立两者之间的联系 最终解决问题 一 道优秀的平面几何试题往往可以从不 同的知识层面考查学生运用所学知识分析并 解决问题的能力 一题多解能够从不 同的角 度启发学生获得解决 问题 的思路 当然多解 要立足知识的交汇点 思路 的发生整合点进 行训练 注意度的调控 本文立足全国高中数学联赛平面几何题 的辅导做一探索 例 1 如图 1 在锐角 A B C中 B A C 6 0 过点 B C分别作 A B C外接 圆的切 线 B D C E 且满足 B D C E B C 直线 D E与 A B C的延长线分别交于点 F G C F与 B D交 网 1 收稿 日期 2 0 1 5 1 2 1 1 于点M C E与 B G交于点 证明 A M 2 0 1 4 全国高中数学联合竞赛 证 法 1 如 图 2 立足切 线 B D 与 C E 设 其交点为 则 B K C K 图 2 结合 B D C E 知 D E B C 围绕角的关系有 A BC DFB FDB DBC B AC 于是 B c D 船 j A C 由D E B C MC 再由条件 B D B C 知 MC BC BD MC BC BD AC 一一一 M F FD FD MF FD FD AB 如何转化 呢 作 B A C的平分线 与 B C交于点 联结 L N 则 M C 一L C L M B F M F FD FD AB L B 2 0 1 6年第 4期 7 类似地 C G 由此推出 A 1 8 0 一 1 8 0 一 CA L 由B c F G及内角平分线定理得 L M l M BF CG CL AB BC 一 一 一 一 LN BF CG L N BC AC BL B 一 BL A C 故 A A A M 证法 2 如图3 F D H E G 3 由B D C E B C 且 B D C E为切线 知 B C f D E B MC D MF F M FD FD 一 MC BC BD 注意到 B A C D B C B D F 而 B D F D为 B D F的边 得 A B C D F B c E C G F M FD AB 一 MC BD AC 作 B A C的平分线 与 F G交于点 且 联结 H M H N 则 M H A C 一 M C A C H G 类似地 N H A B 故 M H A B A C N H A 删 cG 船 腿 则 A H M C 3 A H N A M A 证法 3 如图4 作 flA G 与A F交于 点 P 作 N Q 4 与A G交于点 Q F D E G 幽 4 由 B D C E B C D B C E C B 得 B C f f F G DFB ABC FDB DBC B AC D F B A B C P M F M 由 瓦 PM FM DF FD AB 一 一 AC PM MC BC BD AC PM AB A C 一AP C M BC DB AC Y P F 而 政 AP AF A C 类似地 Q N A B A C A Q A G A B 由B C F G A F A C A G A B 于是 P M Q N A P A Q 又 MP A 1 8 0 一 B A C NQ A 故 A P M A Q N j A M A 例 2 已知圆内接 四边形 A B C D内有一 点 P 满足 D P A P B A P C D 点 P在 三边 A B B C C D上的射影分别为 F G 证 明 A P D E F G 证法 1 由 D P A P B A P C D 知 A B P的外接圆与 D P C的外接圆切于点P 由根J 定理 知 A B P的外接圆与 D P C 的外接圆在切点 P处的公切线 A B C D三线 交于一点 Q 且 Q P B Q A P 另一方面 由 PE LA B P F B C P G C D 8 中 等 数 学 于是 P E B F P E Q G分别 四点共圆 故 阳 P C B P P E G P Q C FEG FEP PEG 船 P P Q G Q P B一 Q C B P A Q一 D A Q P A D 类似地 E G F A D P 因此 A P D E F G 证法 2 由证法 1 知 A B P的外接 圆 与 D P C的外接圆在切点 P处 的公切线 A B C D三线交于一点 Q 显然 P G Q E P E B F分别四点共圆 P E G P Q G F E P F B P 故 F E G F E P P E G P Q G F B P 如图 5 设 尸 与 A D交于点 Q J H 5 由 p P B A Q P Q G Q D A P Q G F B A 则 P A D Q K A一 Q P A P Q G F B A一 P B A P Q G F B P F E G 类似地 A D P E G F 故 A P D E F G 例 3 已知 A B C的内切 圆与边 B C C A A B分别切于点 D F M 分别为 D E D F的中点 直线 MN与 交于点 证明 D K B E 证法 1 如图 6 设 为 A B C的内心 6 因为 分别为 D E D F的中点 所以 M N E F K ME F E D 9 0 一 C B A CMK 9 0 一 K ME C B A C B L 又 K C M I C B 则 c c 西C K C I C M C B C 另一方面 由射影定理得 CD CI CM CD CB C K 而 C D C E 故 CD C B C K C D L C K D K ffB E 证法2如图 6 设 为 A B C的内心 为o 的半径 刚 s i n 一 C MK KE M E s i n KME C E s i n C MK r s i n KME 由 B C四点共 圆得 CMK DBI KME 9 0 一 DBL 故 si n V 3 s i n DBI C O S DBI DB 又 C E C D 于是 D K B E 一 一 K E r DB DB 证法 3如图 7 设 B E与 A B C的内切 2 0 1 6年第 4期 9 圆交于另一点 尸 为 P E的中点 图 7 可得 到调 和 四边形 P D E F 且 L DP E DF AEF 又 由 分别为 D E D F的中点知 K N E F j A E F E K M L DP EKM 注 意到 D P L ME K 于是 P D L E K M 而 分别为 咫 E D的中点 因此 L D E MK D L E D MD K B E D E D K D K ffB E 例 4 设 A B C的内切圆与边 B C C A A B分别切于点 D E F A E A F B F B D C D C E的中点分别为 K U 证明 三直 线 K L MN u 所 围成 三角形 的外接 圆与 A B C的外接圆为同心圆 证法 1 如图8 直线 K L MN 两两交 于点 R P Q 为 A B C的内心 0为 P Q P 图 8 Q 的外心 E F f Q R F D f R P D E f f P Q 于是 P Q R与 D E F位似 而 D分别为 D E F P Q R的外心 因此 O P I D 但 上 B C 从而 O P上 B C 因为直线 M N是点 圆 与 A B C的内 切圆o 的根轴 而点 P在直线MN上 所以 点 P到o 的幂为 P B 类似地 点 P到o 的幂也为 P C 由此 P B P C 这表明 点 P在边 B C的 垂直平分线上 而 O P上 B C 因此 O P为边 B C的垂直 平分线 类似地 O Q为边 c A的垂直平分线 故 也为 A B C的外心 这表明 P Q R的外接圆与 A B C的外 接圆是同心圆 证法 2 先给出一个引理 引理设 0为 A B C所在平面上一点 且 BOC 2 BAC COA 2 CB A AOB 2 ACB 则 0为 A B C的外心 证 明略 回到原题 如图 8 设直线 K L M N 两两交于点 R P Q 0为 A B C的外心 因为直线 MN是点 圆 B与 A B C的内 切圆o 的根轴 而点 P在直线MN上 所以 点 P到o 的幂为 P B 类似地 点 P到O 的幂也为 P C 由此 船 P C 这表 明 点 P在边 B C的 垂直平分线上 又点 0也在边 B C的垂直平分线上 因 1 0 中 等 数 学 此 O P J B C 类似地 O Q上 C A O R上 A B 于是 Q O R 1 8 0 一 B A C P Q f D E R P f f F D 1 j Q P R E D F 9 0 一 B A C Q O R 2 Q P R 类似地 R O P 2 R Q P P O Q 2 Q 南引理 知 0为 P Q R的外心 故 P Q R的外接圆与 A B C的外接 圆 是同心 圆 证法 3 如 图 9 设 直 线 K L MN 两 两交于 点 R P Q o分 别 为 A B C 的 内 心 外心 M 与 与 I D 1 C与 D E分别 交于点 z P 9 则 I B I D I Y I C B Y Z C四点共 圆 又 分别为 B F B D的中点 则 M N F D 又 F D上 馏 故 MN为 Y B的垂直平分线 类似地 为 Z C的垂直平分线 于是 直线 MN与 的交点 P为 B y z C四点共 圆的圆心 记此 圆为 r 而 B C为o0与圆 1 的公共弦 故 O P上 B C 类似地 O Q上 C A O R上 A B 再 注意到 上 Q R 即知 R Q O X A C 类似地 O R Q B A L 但 B A I I A C 于是 O R Q R Q O 因此 O R O Q 类似地 o P O Q 从而 O P O Q O R 因此 0为 P Q R的外心 这表明 P Q R的外接圆与 A B C的外 接圆为同心圆 欢迎订购 国内外数学奥林 匹克试题精选 2 0 0 2 2 0 1 2 南 中等数学 编辑部 主编 浙江大学 出版社 出版 的 国内外数学奥林 克试 题精选 2 0