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浅谈指数与指数函数姜岩摘要：指数函数在新课标中占有重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温趋势。重点是指数函数的图像与性质，以及指数函数的实际应用问题，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视。另外，最简单的指数方程有可能出现在2012年的高考之中。接下来，让我们一起探讨一下指数与指数函数的相关问题。关键词：根式 幂 指数 指数函数在研究此部分内容时，我们要从指数函数的背景出发，去理解掌握幂的含义、意义及运算。从而掌握指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点。大体上分为两部分，即指数与指数函数。在每一部分又有比较系统的分类，现在让我们一起进入指数函数的研究讨论。一、 指数在研究指数部分还可以概括为“指数五问”，即：如何理解次方根的概念；如何进行根式运算；如何理解分数指数幂的意义；分数指数幂和指数指数幂的异同；有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质。以下就是从这几个方面，通过典型例题分析来加深讨论进而理解归纳指数函数知识点。（一）如何理解次方根的概念对于次方根概念的理解，按照从特殊到一般，再由一般到特殊的学习方法，即从平方根、立方根推广到次方根，再由次方根的意义对应到某个题目中的为具体数。我们也可以换另外一种方式来理解，若一个数的次方等于，那么怎么用来表示的呢？如果回答，这个回答是不正确的，因为它不完整。而正确答案应该是其主要性质有：（1） 当为奇数时，；（2） 当为偶数时，其中，性质（2）尤为重要。在解题过程中一定要分析透彻，了解已知的是奇数还是偶数，在解答偶数情况时一定要注意加绝对值，在根据情况进行下一步去绝对值的运算。否则就会出现符号错误。对于根式的概念可概括如下：表2-1根式概念符号表示备注如果，那么叫做的次方根1且当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数负数没有偶次方根（二）如何进行根式运算对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算。一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质行进计算。但要注意的是，计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分数，又含有负指数。例1.化简下列各式（其中各字母均为正数）（1）；（2）. 分析：先化为分数指数幂，再进行运算。解：（1）原式=. （2）原式= = = = =.评注：根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便，对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果。但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。例2.(2011年广西梧州诊断题)计算：（1）；（2）已知，求的值.分析：（1）先化为分数指数幂，再进行运算。注意绝对值。（2）先对已知条件进行转化，再对所求算式进行类似转化，从而找到切入点。解：（1）原式= = = =.（2）已知， 即.则， 于是：.同上运算就可得到：，.设, 则：.从而=.评注：题（1）中的最后一步有成立，间接说明，故可以直接去绝对值。在平时解题过程中也要注意题中的隐含条件。 题（2）是培养解题的转换思想，这类题型的特点就是由已知条件入手，使其转化为桥梁条件，在进一步对所求式进行转换，进而得到最终结果。（三）如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法。规定=（,、都是正整数，且），=（,、都是正整数，且），在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已。的正分数指数幂为，的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视、的具体数字而定。例3.计算：（1）；（2）.分析：本题考查分数指数幂的综合运算，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算。解：（1）原式= =.（3） 原式= = =.评注：进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题。（四）分数指数幂和整数指数幂的异同（）相同点：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算；（）不同点：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式。（五）有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质有理数指数幂与整数指数幂在运算形式上是完全一样的，都是，式中。对于这三条性质，不要求证明，但必须记准、会逆用、要用活。例4.（2011年广东珠海模拟题）化简的结果是 （ ）A. B. C. D. 分析：.答案：B.以上是对指数式运算的简单分类介绍。通过例题分析，我们可以了解到指数算式运算的大体特点和一般方法。接下来是进一步对指数式运算的常用技巧的归纳：.注意使用乘法公式例5.计算：解：原式= = = = =评注：本题连续应用平方差公式，使计算大为简化。.注意因式分解例6.计算：解：原式=.评注：本题把分子、分母分别分解因式、约分，再分解因式，计算十分简捷。. 注意运用分式的基本运性质例7.计算解：评注：本题利用了分式的基本性质，消去了分子、分母的公因式。. 使用换元法例8.计算：解：设则原式= = =评注：通过换元法把分数指数、负分数指数都化为正整数指数，给解题带来很大方便。.注意运用指数运算的法则 例9.计算：解：原式=.评注：本题应用了幂的运算法则，使计算变得比较简便。. 用“1”进行代换例10.计算：解：原式= = =评注：本题根据各式的特点，对各式分子中的“1”分别用巧妙地进行代换，是运算变得较为简捷。小结：在指数这部分分为五大部分进行研究，由次方根的概念到根式的运算；分数指数幂的意义，与整数指数幂的异同及其运算。特别是在混合运算时一定要注意细节，还有一般运算所用的方法。二、 指数函数指数函数是中学数学中三类基本初等函数之一，是高考必考内容，主要考查定义域、值域、图象以及指数函数的主要性质（单调性），比较两个函数的值大小，以及解指数函数不等式，并能解决某些实际问题。接下来是对指数函数知识点的分类讨论呢。在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像，等函数均不符合的形式，因此，它们都不是指数函数。画指数函数函数的图象，应抓住三个关键点：，.熟记指数函数，在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系。关于指数函数的图象和性质可概括为下表所示：表7-1定义叫指数函数定义域值域图象性质（1）.（2）图象经过点。（3），当时，；当时，当时，；当时，.（4），为增函数，为减函数。（5）非奇非偶函数。（一）函数定义域及值域问题例11.求下列函数的定义域（1）； （2）.解：（1），即.函数的定义域为.（2）由，得.当时，；当时，.原函数的定义域为当时，；当时，.例12.求的值域。解：，即例13.设，求函数的最大值和最小值.分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域求法，可求得函数的最值。解：设，由，知，则所以原函数可转化为，对称轴 故函数最小值为，因端点距对称轴远，故函数的最大值为.评注：换元法是一种常见的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到，等。（二）函数的图象问题 指数函数的重点是函数的概念、图象和性质，其中图象是关键。当底数时，的图象特征是“一撇”，当底数时，的图象特征是“一捺”，合起来记忆就是“一撇一捺”，两者都位于轴上方且都必过点。指数函数的图象是解题的重要工具和好帮手，所以我们首先要学好指数函数的图象及其变换。1.平移变换例14.为了得到函数的图象，可以把函数的图象 （ ）A向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解：，可以把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象。故选D。评注：一般地，函数的图象可由的图象向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度得到；函数的图象可由的图象向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度得到。2.对称变换 例15.函数的图象是 （ ） A B. C. D. 解：当时，由条件可得函数的图象特征是“一撇”，在第一象限内，又图象关于轴对称，故选B项。 评注：一般地，函数的图象可由的图象先得到在第一象限内的部分，再由图象关于轴对称得到。3.伸缩变换例16.在同一坐标系中，直线与函数，的图象依次交于A、B、C、D四点，则这四点由上而下依次为 （ ）AABCD B.DCBA C.BCDA D.CABD解：因为函数的图象可由图象的纵坐标拉伸（横坐标不变）而得，函数的图象可由图象的纵坐标拉伸（横坐标不变）而得，又函数与，与的图象分别关于轴对称，画图可知交点A、B、C、D自上而下排列。故选A项。评注：一般地，函数的图象可由图象的纵坐标伸缩（横坐标不变）得到。4.翻折变化例17.函数的递减区间、递增区间分别是 （ ）A.， B.， C., D.,解：因为，所以可把函数的图象向下平移个单位得到函数的图象，再把轴下方的部分向上翻折即得函数的图象，从而知递减区间、递增区间分别是，。故选A项。评注：一般地，函数的图象可由的图象在轴下方的部分向上翻折得到。最后，是指数函数图象的性质的一些妙用：5.比较指数幂的大小例18.比较下列两个指数幂的大小（1） ；（2） ；（3） .解：（方法一）（1）属于同底不同指数幂的比较大小，直接利用单调性得；（2）属于不同底而指数相同的指数比较大小，可以运用是增函数得； （3）属于不同底不同指数的比较大小，找中间变量，得.评注：指数幂比较大小的问题有三种类型：同底不同指；不同底同指；不同底不同指。除上述解法外，还有“数形结合”法，即将要比较大小的幂指数函数的图象画在同一坐标系中，按指数画出竖线得交点交点靠上的对应数值较大。解：（方法二）（1）作出函数图象和直线、，如图11-1所示，得交点A、B。由于点A在点B的上方，故； （2）作出函数图象、和直线，如图11-2，得交点C、D。由于点C在点D的上方，故；（3）同上画出图象，进行比较。例19.已知，它们互不相等，比较与的大小。解：若则，；若则故当时，.同理可得，当时，；当时，=例20.（2008年安徽高考题）在同一平面之骄傲坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称。若，则的值为 （ ）.A. B. C. D.分析：依题意得点位于函数的图象上，点关于轴的对称点必位于的图象上，点关于直线的对称点位于函数的图象上，因此有，。解：答案选B项。6.求参数的范围例21.当时，的值总大于，则实数的取值范围 （ ）A B C. D解：作出两条指数函数图象。如图12-1。因为当时，的值总大于，作直线的交点在轴上的投影对应值为由图象看出，于是有，解得。故选D项。 图12-1（三）函数的单调性问题1. 比较大小例22.比较与的大小。分析：此题是以为底的两个指数函数值大小的比较，应先比较指数幂的大小。解：是单调递增函数，若，即，若，即时，有，若，即时，有，例23.（2009年江苏高考题）已知函数若实数、满足，则、的大小关系为 。分析：，为R上的减函数，由可知，故填.解：.评注：一般比较同底数幂的大小，即依据指数函数的单调性。2.解指数不等式例24.当为何值时，分析：此题底数不同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质求出的最值范围。解：不等式等价于是单调递减函数，原不等式的解集是3.解指数方程例25.解方程分析：此方程是由三个不同底数的指数式构成的，且左边是和函数，所以不能直接用单调性来求解。由观察知是方程的一个根，那么方程还有其他的根吗？即中是否含有方程的根？由此启发我们考虑构造指数函数，用单调性来处理。解：原方程等价于构造函数，显然，当时，即是原方程的根。又当时都是减函数，即时减函数。当当原方程只有一个根.例26.（2008年上海高考题）已知函数（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。解：（1）当时，；当时，由条件可知 ，即；解得：.（2）解：当时，即，.故的取值范围是4.指数函数的单调性例27.（2011年江苏苏州测试题）已知（1） 求函数的单调区间； （2） 与的大小.解：（1）由可作出函数的图象如图16-1所示。因此函数在上递减；函数在上递增。 图16-1（2） 即当时，；同理当，；当时，.例28.（2009年湖南高考题）设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数取函数，当时，函数的单调递增区间为 （ ）.A. B. C. D. 分析：当时，的单调递增区间为.解：答案选C项。例29.（2007年山东高考题）设函数与的图象的交点为，则所在的区间是 （ ）.A B. C. D.分析：考查函数，则为R上的递增函数。且为连续函数，. 解：答案选B项。（四）求指数函数的最值例30.已知，求的最小值与最大值。分析：先对函数进行变形转化为的二次函数，换元后求最值。解：原函数可化为令，由，为增函数，知，时，有最大值；当时，有最小值.评注：解形如的函数一般要做一下转化：令，便有，转化为在闭区间上的二次函数求最值问题。（五）指数函数的定点问题例31.判断是否有恒通过的定点？解：令，即，则.函数恒通过定点. 评注：指数函数的函数值为时，自变量取，即函数恒通过定点（即不管取何值，指数函数都恒过点）。在研究与指数函数有关的复合函数时，常令指数为，以发现该函数通过的定点。（六）讨论形如函数的性质例32.已知函数.（1） 求的定义域和值域；（2） 证明：；（3） 讨论的单调性。分析：，通过分离常数，使变量集中，那么讨论函数的性质就比较容易了。（1）解：.由，故的定义域为R.又，则有.故的值域为(2)证明：，且定义域为R.（3）解：对进行分类讨论： 当时，由为增函数，得为减函数，则为增函数； 当时，类似地，可得为减函数。故当时，在R上为增函数；当时，在R上为减函数。评注：此题（3）中，若，则为增函数，增，也增，此时无法判断的增减性。造成这一困难的原因在于：变量分布的“范围”太大，因而变化因素不集中，通过分离常数，使变量集中于分母，就容易判断其增减性了。这种变量集中的思想在数学解题中具有广泛的应用。如二次函数求最值时，常常使用配方法，就是这种思想的体现。（七）与指数函数有关的复合函数问题求复合函数“”型函数的单调区间，特别是指数函数与二次函数的复合的单调性问题，满足“同增异减”法则。例33.已知函数，求它的单调区间。分析：这是一个复合函数问题，注意应用复合函数单调性的判断方法。解：令，则是关于的减函数。令，则在上是减函数，在上是增函数，可得在上是增函数，在上是减函数。评注：问题的一般结论为：复合函数为增函数，则的单调性相同；若为减函数，则的单调性相反。例34.（2011年江西九江模拟题）已知函数在区间上为减函数，求的取值范围。解：由知，函数在上是减函数，在上是增函数。当时，是减函数，故当时，为减函数，此时，同理时.当时，在上为减函数。的取值范围为.评注：根据指数函数的定义，研究指数函数通常从分析底数开始，当底数时，指数函数是增函数；当时，指数函数为减函数。形如的单调性要根据两函数在相应区间上的单调性确定。其单调性遵循同增异减的规律。（八）指数函数的综合问题在讨论指数函数的性质或利用其性质解决问题时，应特别注意函数的底的取值是还是，其单调性的确定涉及分类讨论的思想。例35.已知，.试判断在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？解：设，则，即.的定义域是.设，则，若，则此时，即.同理若，则.综上所述，当且时，在上单调递增。例36.（2011年湖南十二校联考题）已知函数是奇函数，则当时，设的反函数是，则 。分析：函数是奇函数，当时，则设令，得，故填.答案：.例37.（2011年四川成都诊断题）已知定义域为R的函数是奇函数。（1） 求、的值；（2） 证明：函数在R上是减函数；（3） 若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围。解：（1）是R上的奇函数，故即，.且恒成立，即（2）设.，则，故函数在R上是减函数。（3）由于是减函数，不等式，可变形为，即，.小结：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应