用张量数学推导一般曲线坐标系中的弹性力学几何方程.pdf

仁 汉大学 学 报 第 卷第 期 年 月 6 在 尸点 若固定 中任意两个量而让另一个量变化 可得到通过尸点的一组坐标线 6 变形体变形后 一般会使该系 坐标线的几何形状发生改变 但变形体中每一点相对于该曲线 坐标系的坐标不改变 仍为8 这样选定的坐标系称为拖带坐标系 6 我们定义 一 奥 8 一 口 8 为拖带坐标系的协变基标矢量 确定了坐标线 的增值的大小及方向 即 切于 坐标线 且指向少增加的一方 6 8 式中 8 4 8 8 是 尸点相对于 固定坐标系的位置矢量 8 4 是尸点在固定系中的坐标 8 我们限定 卒孕共进零翔 8 二 8 收稿日期 一 9 一 江汉大学 学报 年第 期 这样将使得拖带坐标系中的点与固定坐标系中的点成一 一对应的关系 二 是线性无关的 6 在拖带坐标系中 空间微弧长可表示为 2 9 丫 8 8 1 28 8 式中对8 8 求和 6 由8 式得到 并 由8 式可知 8 8 8 己 社二 反一丁 万了石奋 8 沿 坐标线 的微弧长度为 了 百而 我们可通过式 岁 裂 定义拖带坐标系的逆变基标矢量 6 关系式8 称为 与 的共扼式 8 由8 式可求得 一 一己 6 一又 石 勺 己 阴 券 8 己 己 二 截 所以 若知道某一度规张量的分量 通过8 9 式则可求出其共扼度规张量相应的分量 6 空间任一矢量都可在拖带坐标系的协变式逆变基矢上进行分解 取空间一矢量 3 令 为位移梯度函数 它反映了物体变形后几何位形的变化 和 分别为变 形前后 坐标系的度规矢量 变形体变形前后的微弧 长度分别可表示为 5 5 由 2 1 1 应变张量定义 变形体精确应变量可表达如下 6 七 万欠 6 一 6 6 3 刘超 英 用张量数 学推 导一般曲线坐标系 中的弹性力学几何方程 8这里我们主要讨论几何方程的推导方法 并不研究应变张量定义的合理性 所以仍采用 1 1 应变定义 6 由8 式可知 二 广 堆 8 将8 式代入8 式 可得 8占 走 8句 翻 乳 千 8 将8 式代入8 式 可得 11 应变张量在一般曲线坐标系中的表达式 一 合 8 6 8 9 由于矢量的逆变分量与通常意义下矢量分量的形式相同 当我们作出小变形理论的假设 按广义量纲原理的要求 并使变形前拖带坐标系与固定的直角直线坐标系重合 6 可 得到关于 小变形 的 4应变张量在直线直角系下的表达式 一 己 6 留 任 专8答牛 6 子 竺 丁 8 一 丫 一 这里8 二 8 8乞二 6 按 上述转换法则 可得 6 七 下丁 二 二 6 十二 丁 乙 一 8 在8 式中 矿 矿 分别是位移 在拖带坐标系单位基矢 8 二 上的投 影 6 即为 在 拖带坐标系中的物理分量 6 是变形后的微弧 长 由小变形假设 可忽略变形前后几何位形 改变的影响 亏主 2或者 三 型竺立虱 一 顾些 夕丫 丫 8 一 低 一 瓮8 豁 叭 由咚 与8几 式可推出小 变形 4 应变张量在一般曲线坐标系中的表达式 作出例子 我们讨论在正交曲线坐标系中弹性力学几何方程的推导 6 在正交坐标系中 一 一 振势 一 一 振势 所以 式可 化 了蔽 口 七 不二 一 二二 二尸丁 乙 了 擂豁 8 因为豁一 豁一 所以 一 合 嗯粤 画 瓜 口 6 十鱼 运 胡 衡 一 存 一 一 鲡一 时 己 甄 丛 时 一 一 其中 扩 6 二厂 十 一寸一 厅一 乙 了 己 己 时 一 剥念 念豁瓮 笋 时 江 汉大学学报 年第 期 护云 工二 6 丫瓦 一旦兰 七 二下丁一不二丁 二 下 1 1 十 一下二竺 二丫下 1 2 乙 了称 己 了 了 二 丫 目 万 石 护奋舀 二 丫 瓦 月 二4 则上式为 6 6 己 匕于 下丁 下丁一一十下下一下 下二甲又下了 十下扩 干干 甲 下灭二丁 飞 月 月 月 户 一 月 月 口 茎 己 4 石丁石节 占 占 一 即 一从 卜 弃沙七共下 擎 七典下 弊 协 月 七花 下不 又不 不不二 十下下 只二二 月 七弓 不二二 二一 下沂早十下犷只不 月 月 月 9 户 这就是正交曲线坐标中的弹性力学几何方程 6 其与某些文中推导的结果相 同 结论 用张量分析推导一般曲线坐标系的力学方程 完全避免了几何直观的讨论 6 但在推导中 应注意 物理分量不是张量 所以在具体运算过程中应将物理分量化为张量分量 而物理分量 与通常的矢量分量相同 最后的结果仍 要用物理分量表达 6 然而张量数学在处理简单问