高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积导学案 北师大版必修4.doc

2.5从力做的功到向量的数量积问题导学1向量数量积的定义及几何意义活动与探究1已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120(1)求ab；(2)求a在b上的射影迁移与应用(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角120”换成“ab”，求ab(1)数量积的符号同夹角的关系：若ab0为锐角或零角；若ab0或a与b至少有一个为0；若ab0为钝角或平角(2)求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求ab2平面向量数量积的运算活动与探究2已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为60，求ab；(ab)2；(ab)2；a2b2；(2a3b)(3a2b)迁移与应用1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为45，则aaab_2已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)_向量数量积的运算中要注意的问题：(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式(ab)(ab)a2b2；(ab)2|a|22ab|b|2；(ab)2|a|22ab|b|2(3)向量数量积的表示中的“”，既不能省略，也不能写成“”3求向量的模活动与探究3(1)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()a0 b2 c4 d8(2)已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|a2b|迁移与应用已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a(a2b)，求|3ab|，|a2b|求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化4求向量的夹角问题活动与探究4已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：(1)a与b的夹角；(2)ab与ab的夹角的余弦值迁移与应用1若向量a，b满足|a|，|b|1，a(ab)1，则向量a，b的夹角的大小为_2已知非零向量a，b满足|a|b|ab|求：(1)a与ab的夹角；(2)a与ab的夹角向量夹角的求法：(1)求向量的夹角要利用公式cos ，通常分别要求ab和|a|b|的值(2)对于不方便单独求出ab与|a|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)(3)要注意向量夹角的取值范围为0，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系5解决有关垂直问题活动与探究5已知ab，且|a|2，|b|1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a(t3)b与katb垂直，试求k的最小值迁移与应用已知a，b是两个非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，试求a与b的夹角向量垂直的应用(1)理论依据：abab0(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解当堂检测1若|a|5，|b|6，a，b60，则ab()a15 b15 c15 d102已知|a|4，|b|3，ab6，则a与b的夹角为()a150 b120 c60 d303已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()aab babc|a|b| dabab4若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|a3b|_5已知两个非零向量a，b，夹角120，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1(1)夹角(2)0，180(3)垂直(4)同向反向垂直ab预习交流11201202(1)|a|b|cos ab|a|b|cos (2)|b|cos |a|cos (3)fs预习交流2提示：无关由向量射影的定义知，a在b方向上的射影为|a|cos ，其中为a，b的夹角，所以a在b方向上的射影只与|a|和a，b的夹角有关预习交流3c解析：mn|m|n|cos 1354612.3(2)|e1|e2|cos cos (3)ae|a|cos (4)ab0(5)|a|(6)(7)等号预习交流4(1)120(2)74(1)abba(2)a(bc)abac(3)(ab)a(b)预习交流5(1)提示：若a，b，c为实数，当b0时，abbcac，但对于向量的数量积，该推理不正确，即abbcdac.由下图很容易看出，虽然abbc，但ac.(2)提示：对实数a，b，c而言，(ab)ca(bc)；但对向量a，b，c而言，(ab)ca(bc)未必成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)未必成立课堂合作探究【问题导学】活动与探究1解：(1)ab|a|b|cos 54cos 12010；(2)a在b上的射影为|a|cos .迁移与应用解：(1)b在a上的射影为|b|cos 2；(2)ab，a与b的夹角0或180.当0时，ab|a|b|cos 020.当180时，ab|a|b|cos 18020.活动与探究2解：ab|a|b|cosa，b4510；(ab)2|a|22ab|b|216202561；(ab)2|a|22ab|b|216202521；a2b2|a|2|b|216259；(2a3b)(3a2b)6|a|25|a|b|cos 606|b|26165456254.迁移与应用11解析：aaab111cos 451.20解析：b(2ab)2abb22|a|b|cos 120|b|22444216160.活动与探究3(1)b解析：|2ab|2.(2)解：因为a2|a|225，b2|b|225，ab|a|b|cos 55cos ，所以|ab|5.|a2b|5.迁移与应用解：a(a2b)，a(a2b)0，a22ab0，ab.|3ab|4.|a2b|.活动与探究4解：(1)(ab)(ab)|a|2|b|2，又|a|1，|b|2，|b|.设a与b的夹角为，则cos ，45.a与b的夹角为45.(2)|ab|，|ab|.设ab与ab的夹角为，则cos .ab与ab的夹角的余弦值为.迁移与应用1135解析：设夹角为，a(ab)1，|a|2ab1，即21cos 1，cos ，a，b的夹角为135.2解：如图所示，在平面内取一点o，作a，b，以，为邻边作平行四边形oacb，使|，所以四边形oacb为菱形，oc平分aob，这时ab，ab.(1)由于|a|b|ab|，即|，所以aoc60，即a与ab的夹角为60.(2)aoc60，aob120.又|，oab30，即a与ab的夹角为30.活动与探究5解：ab，ab0.又a(t3)b与katb垂直，a(t3)b(katb)0.ka2tab(t3)(k)ab(t3)tb20，4k(t3)t0.k(t23t)2(t0)当t时，k取最小值.迁移与应用解：由条件知由得46ab23b20，即2abb2，代入式得a2b2，|a|b|.cos .60.【当堂检测】1a2b3b4